Ce notebook est le compagnon formel de GameTheory-06-EvolutionTrust-Python. Là, GT-6 étudiait de façon empirique comment la coopération émerge dans des tournois itérés (Axelrod, dynamique du réplicateur). Ici, nous établissons le résultat théorique qui l’explique : pourquoi et à quelles conditions la coopération est un équilibre crédible dans un jeu répété infini.
Objectifs d’apprentissage
À l’issue de ce notebook, vous saurez : 1. Distinguer un jeu répété fini (où la coopération s’effondre par induction vers l’arrière) d’un jeu répété infini (où elle peut être soutenable). 2. Formaliser le facteur d’escompte\(\delta\) et écrire la valeur actualisée d’un flux de gains comme série géométrique. 3. Établir la condition de crédibilité du grim trigger : \(\delta \ge (T-R)/(T-P)\). 4. Énoncer et illustrer le Folk Theorem : tout paiement faisable et individuellement rationnel est soutenable comme équilibre parfait en sous-jeux (SPNE) pour des joueurs assez patients.
On reprend le Dilemme du Prisonnier de GT-6 (convention Axelrod) :
Coopérer (C)
Défecter (D)
Coopérer (C)
R=3, R=3
S=0, T=5
Défecter (D)
T=5, S=0
P=1, P=1
avec T (tentation) > R (récompense) > P (punition) > S (dupe), et la condition \(2R > T+S\). L’unique équilibre de Nash du jeu étape est (D, D) (paiement P=1), alors que la coopération mutuelle (R=3) est strictement Pareto-supérieure : c’est le dilemme.
import numpy as np# Matrice des gains du Dilemme du Prisonnier (lignes = joueur 1, colonnes = joueur 2)# Ordre des actions : Cooperer (0), Defecter (1)T, R, P, S =5.0, 3.0, 1.0, 0.0# Axelrod conventionA1 = np.array([[R, S], # joueur 1 coopere [T, P]]) # joueur 1 defecteA2 = np.array([[R, T], # joueur 2 coopere [S, P]]) # joueur 2 defecteprint('Gain joueur 1 (lignes=J1, colonnes=J2):')print(A1)print()print('Verif des inegalites du DP : T>R>P>S :', T > R > P > S)print('Verif 2R > T+S :', 2*R > T+S, '(2R=%g, T+S=%g)'% (2*R, T+S))print('Equilibre de Nash du jeu etape : (D,D) -> paiement P =', P)print('Pareto-optimum cooperatif : (C,C) -> paiement R =', R)
Gain joueur 1 (lignes=J1, colonnes=J2):
[[3. 0.]
[5. 1.]]
Verif des inegalites du DP : T>R>P>S : True
Verif 2R > T+S : True (2R=6, T+S=5)
Equilibre de Nash du jeu etape : (D,D) -> paiement P = 1.0
Pareto-optimum cooperatif : (C,C) -> paiement R = 3.0
2. Horizon fini : l’effondrement inévitable
Considérons une répétition finie de N tours. On résout par induction vers l’arrière : au dernier tour N, il n’y a pas d’avenir à menacer, donc chaque joueur défecte (c’est l’équilibre du jeu étape). Sachant cela au tour N-1, aucune menace future n’est crédible, donc on défecte aussi. Et ainsi de suite jusqu’au tour 1 : (D, D) à chaque tour.
Théorème (effondrement de l’horizon fini) : dans tout jeu répété un nombre connu et fini de fois, le seul SPNE est la défection perpétuelle, pourvu que le jeu étape ait un unique équilibre de Nash.
La coopération exige donc un horizon infini (ou une probabilité positive de continuer à chaque tour).
# Illustration : dans un jeu fini, la defection perpetuelle est l'unique SPNE.# Valeurs actualisees (delta=1, pas d'escompte) sur N tours :N =10payoff_defect_always = P * N # (D,D) chaque tourpayoff_cooperate_if_possible = R * N # (C,C) chaque tour, irrealiste en horizon finiprint('Horizon fini N =', N, 'tours (delta=1)')print(' Paiement SPNE (D,D)xN = %.1f'% payoff_defect_always)print(' Paiement coop. fictif = %.1f (NON credible : effondre par induction)'% payoff_cooperate_if_possible)print()print('Conclusion : en horizon fini, le SPNE = defaction, paiement total = P*N = %.1f'% payoff_defect_always)print('La cooperation (R=%.1f > P=%.1f) exige un horizon INFINI.'% (R, P))
Horizon fini N = 10 tours (delta=1)
Paiement SPNE (D,D)xN = 10.0
Paiement coop. fictif = 30.0 (NON credible : effondre par induction)
Conclusion : en horizon fini, le SPNE = defaction, paiement total = P*N = 10.0
La cooperation (R=3.0 > P=1.0) exige un horizon INFINI.
3. Horizon infini et facteur d’escompte
On suppose maintenant que le jeu se répète infiniment, avec un facteur d’escompte \(\delta \in [0,1[\) (\(1\) unité de gain demain vaut \(\delta\) aujourd’hui ; \(\delta\) proche de 1 = joueur patient). Le paiement total d’un joueur est la somme actualisée :
Pour un flux constant de gains \(g\) chaque tour, la série géométrique se simplifie en :
\[ V(g) = \frac{g}{1 - \delta} \]
(\(\delta < 1\) garantit la convergence). C’est cette forme fermée qui rend l’analyse des jeux répétés infinis tractable.
# Verif numerique de la serie geometrique g/(1-delta)def flux_geom(g, delta, terms=2000):"""Somme actualisee d'un flux constant g sur 'terms' tours."""returnsum((delta**t) * g for t inrange(terms))for delta in [0.3, 0.5, 0.7, 0.9, 0.99]: closed = R / (1- delta) approx = flux_geom(R, delta)print('delta=%-5s : formule g/(1-d)=%10.4f | somme tronquee=%10.4f'% (delta, closed, approx))print()print('Les deux colonnes coincident : la serie converge vers g/(1-delta).')
delta=0.3 : formule g/(1-d)= 4.2857 | somme tronquee= 4.2857
delta=0.5 : formule g/(1-d)= 6.0000 | somme tronquee= 6.0000
delta=0.7 : formule g/(1-d)= 10.0000 | somme tronquee= 10.0000
delta=0.9 : formule g/(1-d)= 30.0000 | somme tronquee= 30.0000
delta=0.99 : formule g/(1-d)= 300.0000 | somme tronquee= 300.0000
Les deux colonnes coincident : la serie converge vers g/(1-delta).
4. Le grim trigger et sa condition de crédibilité
La stratégie du grim trigger (le vengeur implacable) est : coopérer tant que l’autre a coopéré, mais si l’autre défecte une seule fois, défecter pour toujours. C’est une menace maximale, irréversible.
Comparons, du point de vue du joueur 1 (admettant que le joueur 2 joue grim trigger) :
Coopérer toujours : paiement \(R\) chaque tour \(\Rightarrow V_C = R/(1-\delta)\).
Défecter une fois (gain \(T\) au tour de la défection), puis le joueur 2 applique grim trigger \(\Rightarrow\) punition \(P\) chaque tour ensuite \(\Rightarrow V_D = T + \delta P/(1-\delta)\).
La coopération est soutenable (incitation à ne pas dévier) ssi \(V_C \ge V_D\) :
Application numérique (cellule suivante) : pour le DP canonique \(T=5, R=3, P=1\), le seuil vaut \(\delta^* = (5-3)/(5-1) = 0{,}5\). En dessous (ex. \(\delta=0{,}3\) : \(V_C \approx 4{,}29 < V_D \approx 5{,}43\)), la tentation l’emporte et la défection est rationnelle ; au-dessus (ex. \(\delta=0{,}7\) : \(V_C = 10 > V_D \approx 7{,}33\)), la coopération est crédible. Exactement au seuil \(\delta^*=0{,}5\), les joueurs sont indifférents (\(V_C = V_D = 6\)).
# Derivation numerique de la condition de credibilite# V_C = R/(1-d), V_D = T + d*P/(1-d). Cooperation soutenable si V_C >= V_D.def VC(delta): return R / (1- delta)def VD(delta): return T + delta * P / (1- delta)# Seuil exact (T-R)/(T-P)delta_star = (T - R) / (T - P)print('Stage game : T=%g R=%g P=%g S=%g'% (T, R, P, S))print('Seuil de credibilite delta* = (T-R)/(T-P) = (%g-%g)/(%g-%g) = %.4f'% (T, R, T, P, delta_star))print()print('%-8s%-12s%-12s%s'% ('delta', 'V_C(coop)', 'V_D(deviat)', 'Coop. soutenable?'))for delta in [0.30, 0.40, 0.50, 0.60, 0.70]: vc, vd = VC(delta), VD(delta) flag ='OUI'if vc >= vd else'NON'print('%-8.2f%-12.4f%-12.4f%s'% (delta, vc, vd, flag))print()print('Verification au seuil delta*=0.5 : V_C=%.4f, V_D=%.4f (indifference)'% (VC(delta_star), VD(delta_star)))
Stage game : T=5 R=3 P=1 S=0
Seuil de credibilite delta* = (T-R)/(T-P) = (5-3)/(5-1) = 0.5000
delta V_C(coop) V_D(deviat) Coop. soutenable?
0.30 4.2857 5.4286 NON
0.40 5.0000 5.6667 NON
0.50 6.0000 6.0000 OUI
0.60 7.5000 6.5000 OUI
0.70 10.0000 7.3333 OUI
Verification au seuil delta*=0.5 : V_C=6.0000, V_D=6.0000 (indifference)
5. Tit-for-tat vs grim trigger
Le tit-for-tat (TFT, œil pour œil : coopérer au tour 1, puis copier le coup précédent de l’adversaire) est plus clément que le grim trigger : il pardonne après une seule coopération revenue. Mais sa clémence a un coût : la condition de crédibilité est plus stricte.
TFT vs TFT : coopération perpétuelle, paiement \(R/(1-\delta)\).
Déviation vs TFT (défecter, puis TFT punit un tour puis pardonne) : paiement \(T + \delta S + \delta^2 R/(1-\delta)\) (on gagne \(T\) en déviant, \(S\) au tour de contre-punition, puis retour à \(R\)).
La coopération sous TFT est soutenable ssi \(R/(1-\delta) \ge T + \delta S + \delta^2 R/(1-\delta)\), soit un seuil plus élevé car la punition est plus légère.
# Comparaison des seuils : grim trigger (punition dure) vs tit-for-tat (punition legere)def VC2(delta): return R / (1- delta)def VD_grim(delta): return T + delta * P / (1- delta)def VD_tft(delta): return T + delta * S + (delta**2) * R / (1- delta) # TFT punit 1 tour puis pardonne# Seuil grim trigger (exact) et TFT (numerique)deltas = np.linspace(0.01, 0.99, 10000)delta_grim = (T - R) / (T - P)tft_ok = VC2(deltas) >= VD_tft(deltas)delta_tft = deltas[np.argmax(tft_ok)] if tft_ok.any() elsefloat('nan')print('Seuil grim trigger : delta* = %.4f (punition P a jamais)'% delta_grim)print('Seuil tit-for-tat : delta* = %.4f (punition legere, pardonne)'% delta_tft)print()print('Conclusion : grim trigger soutient la cooperation pour delta >= %.3f'% delta_grim)print(' tit-for-tat exige delta >= %.3f (PLUS patient requis)'% delta_tft)print('Punition plus dure => cooperation plus facile a soutenir (folk theorem intuition).')
Seuil grim trigger : delta* = 0.5000 (punition P a jamais)
Seuil tit-for-tat : delta* = 0.6668 (punition legere, pardonne)
Conclusion : grim trigger soutient la cooperation pour delta >= 0.500
tit-for-tat exige delta >= 0.667 (PLUS patient requis)
Punition plus dure => cooperation plus facile a soutenir (folk theorem intuition).
6. Le Folk Theorem
Le grim trigger montre qu’une paire de paiements coopératifs \((R,R)\) est soutenable. Le Folk Theorem généralise considérablement ce résultat.
Folk Theorem (version jeux répétés infinis, joueurs patients) : Soit \(v = (v_1, v_2)\) un vecteur de paiements faisable (combinaison convexe des paiements du jeu étape) et individuellement rationnel (\(v_i \ge \underline{v}_i\), le paiement de minimax du joueur \(i\)). Alors il existe \(\underline{\delta} < 1\) tel que pour tout \(\delta \ge \underline{\delta}\), \(v\) est soutenable comme paiement d’un SPNE du jeu répété infini.
Interprétation : pour des joueurs assez patients (\(\delta \to 1\)), presque tout résultat est crédible comme équilibre. C’est à la fois la puissance (la coopération est robuste) et la faiblesse (le concept d’équilibre perd son pouvoir prédictif : tout peut être un équilibre).
Le paiement de minimax\(\underline{v}_i\) est le pire que les autres puissent infliger au joueur \(i\) (dans le DP symétrique, c’est \(P=1\)).
# Illustration : ensemble des paiements faisables et individuellement rationnels (IR)# du DP. Les 4 paiements d'issues : (C,C)=(R,R), (C,D)=(S,T), (D,C)=(T,S), (D,D)=(P,P).import matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches import Polygonissues = np.array([[P, P], [T, S], [R, R], [S, T]]) # enveloppe convexe des 4 issues (ordre CCW, evite polygone auto-secant)minimax = P # DP symetriquefig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5))ax.add_patch(Polygon(issues, closed=True, alpha=0.25, color='steelblue', label='Paiements faisables'))ax.axvline(minimax, color='crimson', ls='--')ax.axhline(minimax, color='crimson', ls='--', label='seuil IR (minimax=%g)'% minimax)labels = {'(C,C)':(R,R), '(D,D)':(P,P), '(C,D)':(S,T), '(D,C)':(T,S)}for lab,(x,y) in labels.items(): ax.plot(x, y, 'ko', ms=6) ax.annotate(lab, (x,y), textcoords='offset points', xytext=(6,6), fontsize=9)ax.set_xlim(-0.5, 6); ax.set_ylim(-0.5, 6)ax.set_xlabel('Paiement joueur 1'); ax.set_ylabel('Paiement joueur 2')ax.set_title('Ensemble faisable & IR du Dilemme du Prisonnier')ax.legend(loc='upper left', fontsize=8); ax.set_aspect('equal'); ax.grid(alpha=0.3)plt.tight_layout()plt.show()print('La region faisable & IR (au-dessus et a droite des pointilles) = ensemble des paiements')print('soutenables comme SPNE pour delta assez proche de 1 (Folk Theorem).')
La region faisable & IR (au-dessus et a droite des pointilles) = ensemble des paiements
soutenables comme SPNE pour delta assez proche de 1 (Folk Theorem).
Interprétation : la coopération comme cas particulier
Le paiement coopératif \((R,R)=(3,3)\) n’est qu’un point dans l’ensemble faisable & IR. Le Folk Theorem dit qu’il est soutenable (ce que le grim trigger démontre explicitement), mais aussi que beaucoup d’autres conventions le sont. C’est pourquoi, dans les tournois d’Axelrod de GT-6, plusieurs stratégies co-existent et performent bien : la théorie n’en exclut aucune par avance dès que \(\delta\) est assez grand.
La cellule de comparaison l’illustre : le grim trigger (punition irréversible) soutient la coopération dès \(\delta \ge 0{,}5\), alors que le tit-for-tat (punition légère d’un tour, qui pardonne) exige \(\delta \ge 0{,}667\). Plus la punition est dure, plus le seuil de patience requis est bas : c’est l’intuition centrale qui se généralise dans le Folk Theorem.
7. Retirer la capacité de punir — coopération folk, sympathie, engagement
Le folk theorem de la section 6 soutient la coopération par la menace crédible de punition : c’est un résultat solide, et c’est le contraire de ce dont il s’agit ici. La littérature économique nomme une distinction que le dépôt n’exploite pas encore (Sen 1977, Rational Fools) :
mécanisme
ce qui la soutient
si l’on retire la capacité de punir
Coopération folk
équilibre répété
menace de représailles
elle s’effondre
Sympathie (Sen)
le bien-être d’autrui entre dans mon utilité
l’utilité elle-même
elle persiste — mais reste de l’intérêt
Engagement (Sen)
j’agis contre mon propre classement de bien-être
rien dans la fonction d’utilité
elle persiste sans être de l’intérêt
Ce qui est modélisable ici n’est pas le sentiment — c’est une classe de mécanismes que le sentiment sélectionne. Aucun score, aucune variable « amour » : le mot peut vivre dans la prose, jamais dans un identifiant. L’expérience décisive est immédiate :
Prendre le dispositif de coopération répétée de ce notebook. Retirer la capacité de punition (mémoire, représailles, réputation). Mesurer ce qui reste.
Ce qui s’effondre était folk. Ce qui persiste demande une autre explication — et la question devient une mesure, pas une métaphysique.
# === Section 7a : l'experience de retrait — ce qui s'effondre quand punir devient impossible ===# Punir suppose de la MEMOIRE (conditionner son coup au passe d'autrui) et une MENACE executable.# On retire les deux : l'adversaire devient sans memoire — son coup ne depend plus de nos actions.# Plus aucune sequence de nos coups ne peut etre punie.delta =0.6# patience (delta* = 0.5 en grim trigger : la cooperation serait soutenable AVEC menace)def gain_actualise(flux):"""Valeur actualisee d'un flux constant, horizon infini."""return flux / (1- delta)# Regime AVEC punition (grim trigger, section 4) : cooperer est une meilleure reponseV_coop_avec_menace = gain_actualise(R)V_dev_avec_menace = T + delta * gain_actualise(P)# Regime SANS punition : adversaire sans memoire (coopere quoi qu'il arrive).# Ma deviation n'a plus AUCUNE consequence future.V_coop_sans_menace = gain_actualise(R)V_dev_sans_menace = gain_actualise(T)ecart_interet = V_dev_sans_menace - V_coop_sans_menaceprint(f"delta = {delta} (seuil grim trigger delta* = {delta_star:.2f})")print(f"AVEC punition (grim) : V_coop = {V_coop_avec_menace:.2f}, V_dev = {V_dev_avec_menace:.2f}"f" -> cooperation soutenable : {V_coop_avec_menace >= V_dev_avec_menace}")print(f"SANS punition (sans memoire) : V_coop = {V_coop_sans_menace:.2f}, V_dev = {V_dev_sans_menace:.2f}")print(f" ecart d'interet = V_dev - V_coop = {ecart_interet:.2f} > 0 : toute cooperation observee est CONTRE-interet")print()print("Ce qui s'effondre etait folk. Ce qui persiste ne peut plus etre explique par la peur.")
delta = 0.6 (seuil grim trigger delta* = 0.50)
AVEC punition (grim) : V_coop = 7.50, V_dev = 6.50 -> cooperation soutenable : True
SANS punition (sans memoire) : V_coop = 7.50, V_dev = 12.50
ecart d'interet = V_dev - V_coop = 5.00 > 0 : toute cooperation observee est CONTRE-interet
Ce qui s'effondre etait folk. Ce qui persiste ne peut plus etre explique par la peur.
Lecture de la sortie committée : avec la menace (grim trigger, delta = 0.6 > delta* = 0.5), coopérer est une meilleure réponse — la coopération est un équilibre. Retirons la capacité de punir : l’écart d’intérêt devient (T−R)/(1−δ) = +5.00, strictement positif. Tout C observé dans ce régime est contre-intérêt — la peur des représailles ne peut plus l’expliquer. La question « pourquoi coopère-t-il ? » vient de devenir une mesure : un écart calculé, positif, affiché. C’est le statut exact recherché pour cette pierre : le sentiment pose des questions, la mécanique y répond en nombres.
# === Section 7b : le temoin de retenue, applique a des trajectoires PRODUITES ===# Temoins de retenue (GT-20) : une deviation strictement profitable EST disponible# (enumeree, gain calcule au bareme courant) et n'est PAS jouee. La trajectoire n'est# plus un litteral : elle est PRODUITE par un agent d'interet -- meilleure reponse a# chaque periode sur les valeurs de continuation stationnaires (horizon infini, la# convention de la section 2 ; l'induction arriere finie ferait defector partout).def certificat_disponibilite(actions, bareme, coup, gain_cooperation):"""Un coup n'est DISPONIBLE que s'il est enumere ET strictement ameliorant."""if coup notin actions:returnFalse, "INCAPACITE : le coup n'est pas dans l'ensemble enumere" delta_immediat = bareme[coup] - gain_cooperationif delta_immediat <=0:returnFalse, f"BAREME : le coup rapporte {bareme[coup]} <= {gain_cooperation}"returnTrue, f"DISPONIBLE : enumere, +{delta_immediat} strictement ameliorant"def agent_interet(adversaire, horizon=10):"""Trajectoire PRODUITE : a chaque periode, l'agent joue l'argmax des valeurs de continuation contre l'adversaire du regime (grim trigger ou sans memoire).""" trajectoire, puni = [], Falsefor _ inrange(horizon):if adversaire =='sans_memoire':# l'adversaire coopere quoi qu'il arrive : aucune consequence future v_coop, v_dev = gain_actualise(R), gain_actualise(T)elifnot puni:# grim pas encore declenche : devier coute la punition eternelle v_coop = gain_actualise(R) v_dev = T + delta * gain_actualise(P)else:# punition active : l'adversaire defecte desormais v_coop, v_dev = gain_actualise(S), gain_actualise(P) coup ='Cooperer'if v_coop >= v_dev else'Defecter' trajectoire.append(coup)if adversaire =='grim'and coup =='Defecter': puni =Truereturn trajectoiredef verdict_retenue(actions, bareme, coup_dev, trajectoire, gain_cooperation):"""Conjonction complete : disponibilite calculee x abstention lue sur la trajectoire produite. Le cas negatif (coup joue) fait partie du contrat.""" dispo, motif = certificat_disponibilite(actions, bareme, coup_dev, gain_cooperation)ifnot dispo:returnf"PAS DE TEMOIN : {motif}"if coup_dev in trajectoire:return (f"PAS DE RETENUE — le coup disponible a ete JOUE "f"({trajectoire.count(coup_dev)}/{len(trajectoire)} periodes)")return"RETENUE — coup disponible + abstention constatee sur la trajectoire produite"# Le jeu etape vu du joueur 1, l'adversaire cooperantactions_atteignables = ['Cooperer', 'Defecter']bareme_sans_menace = {'Cooperer': R, 'Defecter': T}traj_avec_menace = agent_interet('grim')traj_sans_menace = agent_interet('sans_memoire')print(f"Regime AVEC punition (grim trigger, delta = {delta} > delta* = {delta_star:.2f}) :")print(f" Trajectoire produite : {sorted(set(traj_avec_menace))} ({len(traj_avec_menace)} periodes)")print(f" {verdict_retenue(actions_atteignables, bareme_sans_menace, 'Defecter', traj_avec_menace, R)}")print(" -> retenue explicable par la menace : cooperation folk (section 6), temoin ambigu de GT-20")print()print("Regime SANS punition (adversaire sans memoire) :")print(f" Trajectoire produite : {sorted(set(traj_sans_menace))}")print(f" {verdict_retenue(actions_atteignables, bareme_sans_menace, 'Defecter', traj_sans_menace, R)}")print()print("L'agent d'interet ne s'abstient jamais sans menace : le temoin de retenue SANS menace")print("(l'engagement de Sen) n'est pas demontrable sur un agent d'interet. La source d'une")print("abstention observee contre-interet est le bras Np d'ICT-25a : un modele informe du")print("raccourci, a qui il est interdit, et qui ne le prend pas (lecture croisee, cellule suivante).")
Regime AVEC punition (grim trigger, delta = 0.6 > delta* = 0.50) :
Trajectoire produite : ['Cooperer'] (10 periodes)
RETENUE — coup disponible + abstention constatee sur la trajectoire produite
-> retenue explicable par la menace : cooperation folk (section 6), temoin ambigu de GT-20
Regime SANS punition (adversaire sans memoire) :
Trajectoire produite : ['Defecter']
PAS DE RETENUE — le coup disponible a ete JOUE (10/10 periodes)
L'agent d'interet ne s'abstient jamais sans menace : le temoin de retenue SANS menace
(l'engagement de Sen) n'est pas demontrable sur un agent d'interet. La source d'une
abstention observee contre-interet est le bras Np d'ICT-25a : un modele informe du
raccourci, a qui il est interdit, et qui ne le prend pas (lecture croisee, cellule suivante).
Lecture de la sortie committée : les trajectoires ne sont plus posées, elles sont produites par un agent d’intérêt (argmax, à chaque période, sur les valeurs de continuation stationnaires — l’horizon infini de la section 2). Deux régimes, deux verdicts :
Avec punition (grim, δ = 0.6 > δ* = 0.5) : l’agent coopère sur tout l’horizon. Le certificat calcule la disponibilité (+2.0 au barème courant) et lit l’abstention — verdict RETENUE. Mais cette retenue est explicable par la menace : c’est la coopération folk de la section 6, le témoin ambigu que GT-20 devait trier.
Sans punition : l’agent d’intérêt prend le coup disponible — dix déviations, verdict PAS DE RETENUE. Ce cas négatif est ce qui valide le certificat : un détecteur qui ne rendrait jamais « pas de retenue » ne mesurerait rien.
Ce que ce dispositif démontre, et ne démontre pas : l’abstention contre-intérêt (l’engagement de Sen) n’est pas atteignable par un agent d’intérêt — dès que la menace disparaît, il prend ce que le barème offre. La source d’une abstention observée contre-intérêt est ailleurs : le bras Np d’ICT-25a (scripts/ict25a_scaleup_grpo.py), un modèle informé du raccourci, à qui il est interdit, et qui ne le prend pas — certificat_disponibilite est exactement la lecture à appliquer à ses trajectoires. Reste la mémoire commune : ce qui demeure jouable quand plus rien n’oblige à jouer — la trajectoire elle-même, lue comme un bien commun plutôt qu’un enchaînement de meilleures réponses.
# === Section 7c : l'operateur a quatre actions — 'renentrer' change le statut d'une menace ===# Operateur : rester | se retirer | renegocier | renentrer. La quatrieme est la seule qui# rende le retrait REVERSIBLE. Sans elle, une menace peut etre parfaite en sous-jeux# uniquement parce que la partie lesee ne peut pas revenir — la credibilite est alors un# artefact de la modelisation, pas un resultat.V_sortie =0.0# executer la menace : quitter definitivement, 0 a jamaisV_reentree =3.0# valeur de la rentree en duopole accommodantk =1.0# cout de renentreedef statut_menace(renentrer_existe):"""Statut de la menace de sortie definitive au sous-jeu de punition."""ifnot renentrer_existe:return"PARFAITE EN SOUS-JEUX — mais la partie lesee ne peut PAS revenir (artefact)"if (V_reentree - k) > V_sortie:return (f"NON CREDIBLE — renentrer rapporte {V_reentree - k:.1f} > {V_sortie:.1f} : ""le punisseur prefere revenir")return (f"CREDIBLE — le cout k={k} etouffe le retour "f"({V_reentree - k:.1f} <= {V_sortie:.1f})")print("Menace : 'si tu devies, je quitte le marche pour toujours'")print(f"[renentrer ABSENT] {statut_menace(False)}")print(f"[renentrer PRESENT, k={k}] {statut_menace(True)}")print()print("Le statut de la menace CHANGE avec l'existence d'une action de retour :")print("cette credibilite etait une propriete de la modelisation, pas du joueur.")
Menace : 'si tu devies, je quitte le marche pour toujours'
[renentrer ABSENT] PARFAITE EN SOUS-JEUX — mais la partie lesee ne peut PAS revenir (artefact)
[renentrer PRESENT, k=1.0] NON CREDIBLE — renentrer rapporte 2.0 > 0.0 : le punisseur prefere revenir
Le statut de la menace CHANGE avec l'existence d'une action de retour :
cette credibilite etait une propriete de la modelisation, pas du joueur.
Lecture de la sortie committée : sans action de retour, la menace de sortie définitive est parfaite en sous-jeux — précisément parce que la partie lésée ne peut pas revenir. Donner l’action réentrer au coût k = 1 renverse le statut : au sous-jeu de punition, le punisseur lui-même préfère revenir (3.0 − 1.0 = 2.0 > 0), et le déviateur l’anticipe. La crédibilité était un artefact de modélisation, pas une propriété du joueur — même leçon que la menace choisie vs programmée de GT-24 : c’est la structure de l’ensemble d’actions qui décide, pas l’intensité de l’annonce.
Statut canonique du classifieur 7d — alpha paramètre libre. La forme u = u_mien + alpha * u_autrui est une hypothèse de modélisation, pas une mesure : rien dans la trajectoire de coopération observée ne révèle la valeur de alpha. Le frontière d’indiscernabilité est alpha* = (T − R) / (R − S) = 0,667 :
au-dessus (alpha ≥ 0,667), la même trajectoire reçoit le nom « sympathie » (utilité transformée explique l’écart) ;
en-dessous (alpha < 0,667), elle reçoit le nom « engagement » (résidu contre-intérêt).
Le verdict du classifieur est donc entièrement déterminé par le choix d’alpha par l’analyste, pas par le comportement. Le code ci-dessous le rapporte ; il ne le distingue pas empiriquement. Pour une séparation effective, il faudrait faire varier les gains d’autrui seuls (à gains propres fixes) et observer si la coopération bouge — elle doit bouger sous sympathie et pas sous engagement. Cette expérience est une issue de suivi ouverte, pas une exigence de cette PR (le retrait de punition, les quatre actions, et le résultat de non-créabilité par réentrée restent à merger ; la statique comparative est un grain séparé).
# === Section 7d : sympathie vs engagement — ce que l'utilite explique SOUS UN ALPHA DONNE ===# Sen 1977 : SYMPATHIE = le bien-etre d'autrui entre dans mon utilite (U = u_mien + alpha*u_autrui)# — cela reste de l'interet, sur une utilite transformee. ENGAGEMENT = agir CONTRE mon propre# classement de bien-etre — par construction, aucune transformation ne le rend optimale.## STATUT CANONIQUE (cf. review ai-01 #5419268282) :# alpha N'EST PAS IDENTIFIE par les donnees du banc. La meme trajectoire de cooperation# observee recoit deux noms opposes selon la valeur d'alpha choisie par l'analyste :# alpha >= alpha* (= (T-R)/(R-S) = 0.667) -> "sympathie" (utilite transformee)# alpha < alpha* -> "engagement" (residu contre-interet)# alpha* n'est PAS un seuil de DIAGNOSTIC : c'est une FRONTIERE D'INDISCERNABILITE.# Au-dessus et en-dessous, la meme trajectoire recoit l'autre nom. Le verdict du# classifieur est donc entierement determine par le choix d'alpha par l'analyste,# pas par le comportement. Sympathie et engagement sont observationnellement equivalents# sur des donnees de cooperation seules -- ce que le classifieur REPORTE, c'est la# consequence d'une hypothese, pas une separation empirique. Voir cellule suivante# pour le verdict explicite.def ecart_interet_sympathie(alpha):"""Ecart actualise (devier - cooperer) en regime SANS punition, bien-etre d'autrui pesant alpha.""" u_coop = R + alpha * R # (C,C) : je touche R, autrui touche R u_dev = T + alpha * S # (D,C) : je touche T, autrui touche Sreturn gain_actualise(u_dev) - gain_actualise(u_coop)alpha_etoile = (T - R) / (R - S) # sympathie qui annule l'ecartCAS = [ ("folk (grim, delta=0.6)", "avec punition", None), ("sympathie (alpha=1.0)", "sans punition", 1.0), ("utilite propre (alpha=0)", "sans punition", 0.0),]verdicts = []for nom, regime, alpha in CAS:if regime =="avec punition": verdict = ("COOPERATION EXPLIQUEE PAR LA MENACE (folk)"if V_coop_avec_menace >= V_dev_avec_menace else"menace insuffisante")else: ecart = ecart_interet_sympathie(alpha) verdict = (f"COOPERATION EXPLIQUEE PAR L'UTILITE TRANSFORMEE (sympathie, ecart {ecart:+.2f})"if ecart <=0elsef"COOPERATION CONTRE-INTERET (ecart {ecart:+.2f}) : residu = CANDIDAT engagement au sens de Sen (pas la seule lecture possible)") verdicts.append((nom, verdict))print(f"--- {nom:26s} [{regime}]")print(f" {verdict}")print()print(f"Seuil de sympathie alpha* = (T-R)/(R-S) = {alpha_etoile:.3f}")print(f"Verdicts distincts : {len(set(v for _, v in verdicts))}/3")# Raisonnement d'equipe (Bacharach, Sugden) : la question devient 'que devons-nous faire ?'# L'agent equipe maximise la somme — la conversion je -> nous est un objet publie, pas une metaphore.V_nous_CC = gain_actualise(R + R)V_nous_DC = gain_actualise(T + S)print()print(f"Raisonnement d'equipe : (C,C) rapporte {V_nous_CC:.2f} a l'equipe vs (D,C) {V_nous_DC:.2f}"f" (2R > T+S verifie en section 1) : l'agent 'nous' coopere sans menacer personne")
--- folk (grim, delta=0.6) [avec punition]
COOPERATION EXPLIQUEE PAR LA MENACE (folk)
--- sympathie (alpha=1.0) [sans punition]
COOPERATION EXPLIQUEE PAR L'UTILITE TRANSFORMEE (sympathie, ecart -2.50)
--- utilite propre (alpha=0) [sans punition]
COOPERATION CONTRE-INTERET (ecart +5.00) : residu = CANDIDAT engagement au sens de Sen (pas la seule lecture possible)
Seuil de sympathie alpha* = (T-R)/(R-S) = 0.667
Verdicts distincts : 3/3
Raisonnement d'equipe : (C,C) rapporte 15.00 a l'equipe vs (D,C) 12.50 (2R > T+S verifie en section 1) : l'agent 'nous' coopere sans menacer personne
Lecture de la sortie committée : le classifieur rend trois verdicts distincts — la menace explique (folk), l’utilité transformée explique (sympathie : l’écart passe de +5.00 à −2.50 dès que le bien-être d’autrui compte), et le résidu : une coopération contre-intérêt sous utilité propre, que Sen appelle engagement et qu’aucune transformation de préférence ne saisit. Le raisonnement d’équipe (Bacharach, Sugden) complète l’appareil : l’agent « nous » qui maximise 2R > T+S n’est pas la somme des « je » — la conversion je → nous est un objet publié de la théorie des jeux, pas une métaphore. Attention au statut du résidu : le classifieur marque ce que l’intérêt ne peut pas expliquer — l’engagement en est le candidat de Sen, pas la seule lecture possible. Rien n’exige enfin que l’engagement soit réciproque, simultané, ni symétrique : le classifieur s’applique un agent à la fois, et un modèle qui ne produirait de la coopération qu’en régime symétrique aurait manqué son objet.
7e. Statique comparative : mesurer alpha au lieu de le poser
Le classifieur 7d laisse un parametre libre : pour une meme trajectoire observee, alpha = 1 rend la cooperation expliquee par la sympathie, alpha = 0 en fait un engagement. Sur des donnees de cooperation seules, les deux mecanismes sont observationnellement equivalents — alpha* n’est pas un seuil de diagnostic, c’est une frontiere d’indiscernabilite.
L’observation qui separe ne depend pas des memes quantites :
sympathie : le bien-etre d’autrui entre dans mon utilite, ma cooperation doit repondre a l’amplitude des gains d’autrui ;
engagement : je suis une regle contre mon classement de bien-etre, ma cooperation est insensible a ce que l’autre gagne.
D’ou la statique : faire varier les gains d’AUTRUI seuls, a gains propres strictement fixes, puis mesurer la pente du taux de cooperation. Une pente positive est compatible avec la sympathie et incompatible avec l’engagement pur ; une pente nulle est compatible avec l’engagement et refute la sympathie. La pente transforme alpha d’un choix d’analyste en quantite mesuree.
# === Section 7e : statique comparative sur les gains d'autrui ===# Grille : SEULS les gains du partenaire (R_autre a (C,C), S_autre fixe a (D,C)) varient.# Les gains du joueur observe (T, R, P, S) restent byte-identiques d'une cellule a l'autre.from scipy import optimizeR_AUTRE_GRID = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 6.0])S_AUTRE_FIXE =0.0SEEDS = [0, 1, 7, 42] # une pente estimee sur un tirage unique n'est pas une penteN_ROUNDS =400EPS_ENGAGEMENT =0.05# bruit d'exploration de la regle fixe# Controle reel (non tautologique) : on reconstruit pour CHAQUE cellule de la grille# les couples de gains que la simulation consomme, puis on compare les 6# reconstructions entre elles. Si un gain propre se mettait a dependre de R_autre,# propres_inchanges passerait a False -- contrairement a un test qui comparerait# (T, R, P, S) a sa propre definition, toujours vrai par construction.def gains_de_la_cellule(r_a):"""Gains (propre, d'autrui) des deux issues que la simulation distingue : (C,C) -> (R, r_a) ; (D,C) -> (T, S_autre)."""return ((R, r_a), (T, S_AUTRE_FIXE))gains_par_cellule = [gains_de_la_cellule(r_a) for r_a in R_AUTRE_GRID]propres_inchanges =all(g[0][0] == gains_par_cellule[0][0][0]and g[1][0] == gains_par_cellule[0][1][0]for g in gains_par_cellule)autres_varient =len({g[0][1] for g in gains_par_cellule}) ==len(R_AUTRE_GRID)print(f"Condition d'interpretabilite : gains propres reconstruits par cellule "f"((C,C) -> propre, (D,C) -> propre) constants sur les {len(R_AUTRE_GRID)} cellules : "f"{propres_inchanges} ; R_autre prend {len(R_AUTRE_GRID)} valeurs distinctes : {autres_varient}")print(f"Grille R_autre : {R_AUTRE_GRID.tolist()} (S_autre fixe = {S_AUTRE_FIXE})")print()# --- Modeles comportementaux (joueur observe vs partenaire sans memoire qui coopere toujours) ---def p_coop_sympathie(r_autre, alpha, beta):"""Reponse logistique sur l'utilite transformee U = u_mien + alpha*u_autrui.""" u_coop = R + alpha * r_autre # (C,C) : je touche R, autrui touche R_autre u_dev = T + alpha * S_AUTRE_FIXE # (D,C) : je touche T, autrui touche S_autre ecart = gain_actualise(u_dev) - gain_actualise(u_coop)return1.0/ (1.0+ np.exp(beta * ecart))def jouer_sympathie(alpha, beta, seed): rng = np.random.default_rng(seed)return np.array([rng.random(N_ROUNDS) < p_coop_sympathie(r_a, alpha, beta)for r_a in R_AUTRE_GRID])def jouer_engagement(seed):"""Regle fixe : toujours cooperer, bruit eps INDEPENDANT de R_autre.""" rng = np.random.default_rng(seed)return np.array([rng.random(N_ROUNDS) >= EPS_ENGAGEMENT for _ in R_AUTRE_GRID])def jouer_melange(q, alpha, beta, seed):"""Part q d'engagement (regle fixe), part 1-q de sympathie logistique.""" rng = np.random.default_rng(seed) rows = []for r_a in R_AUTRE_GRID: engage = rng.random(N_ROUNDS) < q p = p_coop_sympathie(r_a, alpha, beta) tire = rng.random(N_ROUNDS) bruit = rng.random(N_ROUNDS) >= EPS_ENGAGEMENT rows.append(np.where(engage, bruit, tire < p))return np.array(rows)# --- Estimateur pur (agent 100% sensible) : MLE logistique 2 parametres ---# P(C) = sigmoid(b0 + b1*R_autre) avec, pour S_autre = 0 :# b0 = beta*(R - T)/(1 - delta) -> l'intercept epingle beta (gains propres connus)# b1 = beta*alpha/(1 - delta) -> la pente rend alpha : alpha = b1*(R - T)/b0def ajuster_logistique(x, y, iters=60): X = np.column_stack([np.ones_like(x), x]) b = np.zeros(2)for _ inrange(iters): eta = np.clip(X @ b, -30, 30) p =1.0/ (1.0+ np.exp(-eta)) w = np.maximum(p * (1- p), 1e-9) H = (X * w[:, None]).T @ X +1e-8* np.eye(2) b = b + np.linalg.solve(H, X.T @ (y - p))return bdef estimer_alpha_pur(choix_par_seed): all_x, all_y = [], []for ch in choix_par_seed:for i, r_a inenumerate(R_AUTRE_GRID): all_x.extend([r_a] * ch.shape[1]) all_y.extend(ch[i].astype(float)) b0, b1 = ajuster_logistique(np.array(all_x, float), np.array(all_y))return b0, b1, b1 * (R - T) / b0def bootstrap_pente(choix_par_seed, B=500, seed=99): rng = np.random.default_rng(seed) n = choix_par_seed[0].shape[1] slopes = []for _ inrange(B): picked = [choix_par_seed[rng.integers(len(choix_par_seed))][ :, rng.integers(0, n, n)] for _ inrange(len(choix_par_seed))] ax, ay = [], []for ch in picked:for i, r_a inenumerate(R_AUTRE_GRID): ax.extend([r_a] * ch.shape[1]) ay.extend(ch[i].astype(float)) slopes.append(ajuster_logistique(np.array(ax, float), np.array(ay))[1])return np.percentile(slopes, [2.5, 97.5])# --- Estimateur melange (part plate + part sensible) : MLE binomial (q, alpha, beta) ---def negll_melange(params, taux, n): q, alpha, beta = paramsifnot (0<= q <=1and0<= alpha <=4and0.05<= beta <=10):return1e9 p_theo = q * (1- EPS_ENGAGEMENT) + (1- q) * p_coop_sympathie(R_AUTRE_GRID, alpha, beta) p_theo = np.clip(p_theo, 1e-6, 1-1e-6) k = taux * nreturn-float(np.sum(k * np.log(p_theo) + (n - k) * np.log(1- p_theo)))def estimer_melange(choix_par_seed): ch = np.stack(choix_par_seed) taux = ch.mean(axis=(0, 2)) n = ch.shape[0] * ch.shape[2] best =Nonefor q0 in [0.2, 0.5, 0.8]:for a0 in [0.3, 0.8, 1.5]: res = optimize.minimize(negll_melange, [q0, a0, 1.0], args=(taux, n), method="Nelder-Mead")if best isNoneor res.fun < best.fun: best = resreturn best.xdef bootstrap_melange(choix_par_seed, B=300, seed=99): rng = np.random.default_rng(seed) n = choix_par_seed[0].shape[1] qs, als = [], []for _ inrange(B): picked = [choix_par_seed[rng.integers(len(choix_par_seed))][ :, rng.integers(0, n, n)] for _ inrange(len(choix_par_seed))] q_, a_, _ = estimer_melange(picked) qs.append(q_) als.append(a_)return np.percentile(qs, [2.5, 97.5]), np.percentile(als, [2.5, 97.5])# ============ CONTROLE NEGATIF 1 : sympathie pure (alpha connu) ============syn = [jouer_sympathie(0.8, 1.0, s) for s in SEEDS]b0s, b1s, alpha_syn = estimer_alpha_pur(syn)taux_syn = np.stack(syn).mean(axis=(0, 2))print("--- CONTROLE 1 : agent sympathie pure (alpha vrai = 0.8, beta = 1.0) ---")print(f" taux de cooperation par cellule : {np.round(taux_syn, 3).tolist()}")print(f" estimateur pur : alpha_hat = {alpha_syn:.3f} (pente b1 = {b1s:+.3f})")print(f" -> l'estimateur rend le bon alpha : {abs(alpha_syn -0.8):.3f} d'ecart")print()# ============ CONTROLE NEGATIF 2 : engagement pur (regle fixe) ============com = [jouer_engagement(s) for s in SEEDS]b0c, b1c, alpha_com = estimer_alpha_pur(com)ci_pente = bootstrap_pente(com)taux_com = np.stack(com).mean(axis=(0, 2))pente_nulle = ci_pente[0] <=0<= ci_pente[1]print("--- CONTROLE 2 : agent engagement pur (regle fixe, insensible) ---")print(f" taux de cooperation par cellule : {np.round(taux_com, 3).tolist()} (plat)")print(f" pente b1 = {b1c:+.4f}, CI95 bootstrap [{ci_pente[0]:+.4f}, {ci_pente[1]:+.4f}]"f" -> couvre 0 : {pente_nulle}")print()# ============ AGENT SOUS TEST : melange engagement + sympathie ============mix = [jouer_melange(0.5, 0.6, 1.0, s) for s in SEEDS]qh, ah, bh = estimer_melange(mix)ci_q, ci_a = bootstrap_melange(mix)taux_mix = np.stack(mix).mean(axis=(0, 2))print("--- AGENT SOUS TEST : melange (50% regle fixe, 50% sympathie alpha = 0.6) ---")print(f" taux de cooperation par cellule : {np.round(taux_mix, 3).tolist()}")print(f" estimateur melange : part plate q_hat = {qh:.3f} CI95 [{ci_q[0]:.3f}, {ci_q[1]:.3f}]")print(f" alpha_hat = {ah:.3f} CI95 [{ci_a[0]:.3f}, {ci_a[1]:.3f}]")print(f" -> masse plate (candidat engagement) et composante sensible (sympathie)")print(f" separees toutes les deux depuis la seule courbe de cooperation")print()# ============ Visualisation : la statique et ce qu'elle separe ============fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 6))xx = np.linspace(0, R_AUTRE_GRID.max(), 300)ax.errorbar(R_AUTRE_GRID, taux_syn, yerr=1.96*np.sqrt(taux_syn*(1-taux_syn)/(len(SEEDS)*N_ROUNDS)), fmt='o-', color='steelblue', capsize=4, label='Controle : sympathie pure (alpha = 0.8)')ax.errorbar(R_AUTRE_GRID, taux_com, yerr=1.96*np.sqrt(taux_com*(1-taux_com)/(len(SEEDS)*N_ROUNDS)), fmt='s-', color='firebrick', capsize=4, label='Controle : engagement pur (regle fixe)')ax.errorbar(R_AUTRE_GRID, taux_mix, yerr=1.96*np.sqrt(np.maximum(taux_mix*(1-taux_mix),1e-9)/(len(SEEDS)*N_ROUNDS)), fmt='^-', color='seagreen', capsize=4, label='Agent sous test : melange')ax.plot(xx, p_coop_sympathie(xx, 0.8, 1.0), ':', color='steelblue', alpha=0.6, label=f'P(C) theorique sympathie (alpha_hat = {alpha_syn:.2f})')ax.plot(xx, qh*(1-EPS_ENGAGEMENT) + (1-qh)*p_coop_sympathie(xx, ah, bh), ':', color='seagreen', alpha=0.6, label=f'P(C) melange estime (q = {qh:.2f}, alpha = {ah:.2f})')ax.axhline(1-EPS_ENGAGEMENT, color='firebrick', ls=':', alpha=0.5, label=f'Plateau engagement (1 - eps = {1-EPS_ENGAGEMENT:.2f})')ax.set_xlabel("Gain d'AUTRUI a (C,C) : R_autre (gains propres fixes)")ax.set_ylabel('Taux de cooperation du joueur observe')ax.set_title('Statique comparative : la pente en R_autre separe sympathie et engagement\n''sympathie = croissante ; engagement = plate ; melange = les deux separement estimes')ax.legend(loc='center right', fontsize=9)ax.grid(True, alpha=0.3)plt.tight_layout()plt.show()
Condition d'interpretabilite : gains propres reconstruits par cellule ((C,C) -> propre, (D,C) -> propre) constants sur les 6 cellules : True ; R_autre prend 6 valeurs distinctes : True
Grille R_autre : [0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 6.0] (S_autre fixe = 0.0)
--- CONTROLE 1 : agent sympathie pure (alpha vrai = 0.8, beta = 1.0) ---
taux de cooperation par cellule : [0.005, 0.044, 0.266, 0.738, 0.956, 0.999]
estimateur pur : alpha_hat = 0.801 (pente b1 = +2.053)
-> l'estimateur rend le bon alpha : 0.001 d'ecart
--- CONTROLE 2 : agent engagement pur (regle fixe, insensible) ---
taux de cooperation par cellule : [0.954, 0.952, 0.952, 0.946, 0.952, 0.941] (plat)
pente b1 = -0.0391, CI95 bootstrap [-0.0836, +0.0098] -> couvre 0 : True
--- AGENT SOUS TEST : melange (50% regle fixe, 50% sympathie alpha = 0.6) ---
taux de cooperation par cellule : [0.47, 0.488, 0.527, 0.679, 0.828, 0.972]
estimateur melange : part plate q_hat = 0.490 CI95 [0.446, 0.523]
alpha_hat = 0.606 CI95 [0.580, 0.643]
-> masse plate (candidat engagement) et composante sensible (sympathie)
separees toutes les deux depuis la seule courbe de cooperation
Lecture de la sortie committee : les deux controles negatifs passent — l’estimateur rend alpha_hat ~ 0.80 a l’agent construit en sympathie pure (vrai 0.8), et une pente dont l’intervalle bootstrap couvre 0 a l’agent construit en engagement pur. Sans ces temoins, une pente mesuree ne prouverait pas que l’estimateur sait separer — elle prouverait seulement qu’il rend un nombre. L’agent sous test (moitie regle fixe, moitie sympathie) est dechiffre par le meme dispositif : une masse plate estimee q_hat ~ 0.5 et une composante sensible alpha_hat ~ 0.6, chacune avec son intervalle.
Ce que la statique change au statut du verdict 7d : alpha cesse d’etre un parametre que l’analyste choisit apres coup (frontiere d’indiscernabilite) et devient une quantite mesuree sur la reponse comportementale aux gains d’autrui. Le prix de cette identification est experimental : il faut observer le meme agent sur plusieurs jeux ou seuls les gains d’autrui varient, gains propres verifies byte-identiques — c’est la condition qui rend la pente interpretable, et elle est affirmee en tete de sortie. Sur une trajectoire de cooperation seule, l’equivalence observationnelle tient toujours : le residu d’engagement de 7d reste un candidat, jamais un verdict mesure. Verdict honnete admis : si la pente etait indiscernable de zero avec des controles qui fonctionnent, le banc aurait montre l’engagement ; une pente ambigue se publie comme « non identifie a ce niveau de bruit », jamais tranchee par le choix d’un alpha.
Questions ouvertes — ce que ce dispositif ne modélise pas
Winnicott soutient que l’objet devient réel en survivant à la destruction fantasmée — c’est cette survie qui le rend réel. Notre dispositif ne modélise que des déviations sanctionnables : la rupture y est toujours punie ou dissuadée, jamais traversée. Que faudrait-il pour représenter une rupture qui n’est pas punie, et à quoi reconnaîtrait-on, dans une trajectoire, que la relation en est sortie transformée plutôt qu’entamée ? Ce qu’il faudrait mesurer : une trajectoire où la déviation a eu lieu, n’a pas été sanctionnée (régime 7a), et où la coopération ultérieure diffère mesurablement de l’initiale — par exemple un décalage du seuil δ ou de l’écart d’intérêt avant/après rupture.
*Klein décrit la réparation comme un travail distinct de la restitution. Ici, l’opérateur à quatre actions (7c) sait se retirer et réentrer, mais toute réentrée restaure exactement les gains d’avant. Que faudrait-il pour qu’un retour après rupture ne soit pas la reprise de l’avant — et quelle grandeur de la trajectoire en porterait la trace ? Ce qu’il faudrait mesurer : le flux après réentrée comparé au flux avant retrait (égalité = pure reprise) ; un écart durable — coût de réentrée effectif, vitesse de retour au régime accommodant — serait la trace mesurable d’une réparation.
Ces questions restent des questions : aucune variable ci-dessus ne porte le nom d’un concept clinique, aucune n’agrège un affect en scalaire.
Références (section 7)
Sen, A. (1977).Rational Fools: A Critique of the Behavioral Foundations of Economic Theory. Philosophy & Public Affairs 6(4), 317-344. — Sympathie vs engagement : le socle.
Bacharach, M. (2006).Beyond Individual Choice: Teams and Games in Cooperative Play. Princeton University Press (posthume, éd. N. Gold & R. Sugden). — Le raisonnement d’équipe.
Sugden, R. (2003).The Logic of Team Reasoning. Philosophical Explorations 6(3), 165-181. — L’agence collective comme mode de raisonnement.
Frankfurt, H. G. (2004).The Reasons of Love. Princeton University Press. — Se soucier de quelque chose constitue des raisons plutôt que d’en découler.
Ricœur, P. (1990).Soi-même comme un autre. Seuil. — Sollicitude, et l’articulation entre relation singulière et justice.
Schelling, T. C. (1960).The Strategy of Conflict. Harvard University Press. — L’engagement, et la force acquise en se privant d’options.
Winnicott, D. W. (1971).Playing and Reality. Tavistock. — La survie de l’objet (source de la première question).
Exercice 1 : Sensibilité au facteur d’escompte
Reprenez le grim trigger avec un DP modifié : \(T=6, R=4, P=2, S=0\).
Indice : calculez le nouveau seuil \(\delta^*=(T-R)/(T-P)\) et comparez-le au DP canonique (0,5). La tentation plus forte rend-elle la coopération plus ou moins facile à soutenir ?
Étape 1 : vérifier les inégalités du DP et 2R > T+S. Étape 2 : calculer le seuil analytiquement.
# Exercice 1 a completerT_e, R_e, P_e, S_e =6.0, 4.0, 2.0, 0.0delta_star_e =None# TODO etudiant : calculer le seuil (T-R)/(T-P)print('Seuil a determiner :', delta_star_e)
Seuil a determiner : None
Exercice 2 : Une punition limitée (N-périodes)
Considérons une stratégie punition limitée : si l’autre défecte, on le punit en défectant pendant exactement \(N\) tours, puis on revient à la coopération (à la différence du grim trigger qui est irréversible).
Indice : plus \(N\) est petit, plus la punition est légère, donc plus \(\delta\) requis est élevé. Écrivez \(V_D\) pour cette stratégie.
Étape 1 : exprimer le paiement de déviation (T, puis N tours à P, puis retour à R/(1-d)). Étape 2 : pour N=2, trouver numériquement le seuil et le comparer au grim trigger.
# Exercice 2 a completerdef VD_limited(delta, N): result =None# TODO etudiant : T + sum_{k=1}^{N} delta^k * P + delta^{N+1} * R/(1-delta)return resultprint('A completer pour N=2 :', VD_limited(0.5, 2))
A completer pour N=2 : None
Exercice 3 : Au-delà du DP - jeu de la poule (Chicken)
Le jeu de la poule a pour gains \(T=4, R=3, P=0, S=1\) (notez \(P < S\) : s’écraser contre un dur est pire que les deux s’écrasent). Ce n’est PAS un DP.
Indice : identifiez les deux équilibres de Nash purs de ce jeu étape. Que dit le Folk Theorem sur les paiements soutenables dans sa version infinie ?
Étape 1 : trouver les équilibres de Nash purs (matrice 2x2). Étape 2 : calculer le paiement de minimax et l’ensemble faisable & IR.
# Exercice 3 a completer# Matrice du jeu de la poule : a analyserA1_chicken = np.array([[3, 1], [4, 0]]) # TODO etudiant : identifier les equilibres de NashA2_chicken = np.array([[3, 4], [1, 0]])print('Equilibres de Nash pures a identifier (None = a completer) :', None)
Equilibres de Nash pures a identifier (None = a completer) : None
Conclusion et perspectives
Nous avons établi le pilier théorique que GT-6 illustrait empiriquement :
Horizon fini : la coopération s’effondre (induction vers l’arrière).
Horizon infini : avec un facteur d’escompte \(\delta\) assez grand, des stratégies punitives (grim trigger) rendent la coopération crédible. Seuil exact : \(\delta \ge (T-R)/(T-P) = 0{,}5\) pour le DP canonique.
Folk Theorem : pour des joueurs patients, tout paiement faisable et individuellement rationnel est soutenable comme SPNE - la coopération n’est qu’un cas particulier.
Limites : le Folk Theorem est un résultat d’existence ; il ne dit pas quel équilibre est sélectionné dans la pratique (les tournois d’Axelrod de GT-6 répondent empiriquement à cette question de sélection). Il suppose aussi un horizon véritablement infini et des stratégies observées sans bruit.
