18. Detection de Rupture (Change-Point) : inferer le moment d’un changement de regime (jumeau PyMC)

Serie Parite .NET <=> Python (#4956). Ce notebook est le jumeau Python de Infer-18-Change-Point.ipynb (Infer.NET / C#, inférence EP). La specification probabiliste est identique ; seul le moteur d’inférence change : EP analytique cote .NET, échantillonnage CompoundStep (NUTS + Metropolis) cote Python, car la localisation cp est une variable discrète.

Ce notebook complète la famille des « séquences dans le temps » : il étend PyMC-14 (Séquences / HMM) au cas où ce n’est pas l’état qui change à chaque instant, mais la structure du processus qui bascule une seule fois à un instant inconnu.

Durée estimée : 50 minutes | Prérequis : PyMC-14-Sequences (HMM).

1. Motivation : la où le HMM et le filtre de Kalman s’arrêtent

PyMC-14 modélise une séquence où l’état caché est discret et change à chaque instant. Le filtre de Kalman (Infer-17) en est le pendant continu. Les deux infèrent un état récurrent — un par pas de temps.

Le point de rupture est différent : l’inconnue n’est pas une trajectoire d’états, mais un unique entier cp in {0, ..., N-1} — l’indice où le processus bascule. On veut le postérieur \(p(cp \mid y)\) sur cette unique variable structurelle, et les paramètres des deux régimes qu’elle sépare.

Origine. Le change-point bayésien a été formalisé en message-passing sur la distribution du run-length par Adams & MacKay (Adams & MacKay, 2007, « Bayesian Online Changepoint Detection », arXiv:0710.3742). Ce notebook en est l’équivalent off-line : PyMC retourne d’un coup la distribution a posteriori sur la localisation de la rupture, là où Adams-MacKay fait du streaming.

import numpy as np
import pymc as pm
import pytensor.tensor as pt
import arviz as az
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore", message=".*data structure.*")
warnings.filterwarnings("ignore", message="PyTensor could not link to a BLAS")  # advisory pytensor (#3436)
print(f"PyMC {pm.__version__}, ArviZ {az.__version__}")

# --- Helper reutilisable : diagnostics de convergence NON ARRONDIS (az.summary) ---
def rapport_convergence(idata, nom):
    """Rapport de convergence strict : r_hat < 1.01, ess_bulk > 400, ess_tail > 400, 0 divergence.

    round_to="none" garde les valeurs NON arrondies (round_to=None retomberait sur
    l'arrondi par defaut d'ArviZ, qui masquerait un r_hat de 1.0096). Les divergences
    ne mesurent que la partie NUTS (variables continues) ; le melange du point de
    rupture discret (Metropolis) se lit dans les r_hat / ess de la variable cp.
    """
    summ = az.summary(idata, round_to="none")
    max_rhat, var_rhat = float(summ["r_hat"].max()), summ["r_hat"].idxmax()
    min_bulk, var_bulk = float(summ["ess_bulk"].min()), summ["ess_bulk"].idxmin()
    min_tail, var_tail = float(summ["ess_tail"].min()), summ["ess_tail"].idxmin()
    ok_rhat, ok_bulk, ok_tail = max_rhat < 1.01, min_bulk > 400, min_tail > 400
    if "diverging" in idata.sample_stats:
        n_div = int(idata.sample_stats["diverging"].sum())
        ok_div = n_div == 0
        div_txt = f"{n_div} divergence(s) NUTS -> {'OK' if ok_div else 'ECHEC'} (cible = 0)"
    else:
        ok_div = None
        div_txt = "n/a (aucun pas NUTS dans ce trace) -> critere non applicable"
    print(f"=== Diagnostics de convergence : {nom} ===")
    print(f"  max r_hat    = {max_rhat:.4f}  ({var_rhat})  -> {'OK' if ok_rhat else 'ECHEC'} (cible < 1.01)")
    print(f"  min ess_bulk = {min_bulk:.1f}  ({var_bulk})  -> {'OK' if ok_bulk else 'ECHEC'} (cible > 400)")
    print(f"  min ess_tail = {min_tail:.1f}  ({var_tail})  -> {'OK' if ok_tail else 'ECHEC'} (cible > 400)")
    print(f"  divergences  : {div_txt}")
    verdict = ok_rhat and ok_bulk and ok_tail and (ok_div is not False)
    print(f"  VERDICT strict (r_hat<1.01, ess_bulk/ess_tail>400, divergences=0) : "
          f"{'CONVERGENCE OK' if verdict else 'CONVERGENCE INSUFFISANTE'}")

# --- Terrain de jeu : serie avec un SEUL changement de regime ---
# Le vrai point de rupture est CACHE ; on verifiera que le modele le recupere.
np.random.seed(42)
N = 100
vrai_cp = 50                      # vrai indice de rupture (inconnu du modele)
mu_avant, mu_apres = 2.0, 7.0     # moyennes des deux regimes
sigma = 1.5                       # bruit d'observation
t_idx = np.arange(N)
data = np.where(t_idx <= vrai_cp, mu_avant, mu_apres) + sigma * np.random.randn(N)
print(f"Serie generee : N={N} points, vrai cp cache a t={vrai_cp} (mu {mu_avant} -> {mu_apres}, sigma={sigma})")
PyMC 5.28.5, ArviZ 0.23.4
Serie generee : N=100 points, vrai cp cache a t=50 (mu 2.0 -> 7.0, sigma=1.5)

2. Le modèle de point de rupture gaussien

On déclare cp comme un entier d’a priori uniforme sur {0, ..., N-1}, deux moyennes de segment (a priori gaussiens vagues) et une précision commune. Pour chaque instant t, on branche la vraisemblance selon la position de cp : gaussienne de moyenne mean1 avant la rupture, mean2 après. L’idiome PyMC est pm.math.switch(t <= cp, mean1, mean2) — equivalent exact du Variable.If/IfNot(block.Index <= cp) d’Infer.NET.

Référence. Le choix d’un a priori uniforme sur cp correspond à la fonction de risque (hazard) constante du modèle de run-length d’Adams-MacKay (Adams & MacKay, 2007, arXiv:0710.3742, §2.1 « The Changepoint Prior »). C’est la paramétrisation par défaut de la famille DLM (Dynamic Linear Models) de Western & Harrison (Western & Harrison, 1989, Bayesian Forecasting and Dynamic Models, Springer, chap. 12 « Outliers and Structural Changes »), qui sert de référence canonique dans la littérature de la prévision bayésienne.

PyMC <=> Infer.NET : CompoundStep au lieu de EP

Comme cp est discrète et les moyennes/précision continues, PyMC ne peut pas utiliser NUTS seul (NUTS exige des variables différentiables). Il compose automatiquement un CompoundStep : NUTS pour (mean1, mean2, precision) + Metropolis pour cp. EP, lui, propage les messages analytiquement sur le graphe de facteurs.

# --- Modele de change-point gaussien ---
coords = {"t": t_idx}
with pm.Model(coords=coords) as modele_cp:
    cp = pm.DiscreteUniform("cp", lower=0, upper=N - 1)           # localisation de la rupture
    mean1 = pm.Normal("mean1", mu=0.0, sigma=10.0)                # variance 100 -> sigma 10
    mean2 = pm.Normal("mean2", mu=0.0, sigma=10.0)
    precision = pm.Gamma("precision", alpha=1.0, beta=1.0)        # mean 1
    sigma_det = pm.Deterministic("sigma_det", 1.0 / pt.sqrt(precision))
    mu = pm.math.switch(t_idx <= cp, mean1, mean2)                # branchement avant/apres
    pm.Normal("y", mu=mu, sigma=sigma_det, observed=data)
    idata_g = pm.sample(
        2000, tune=1500, chains=4, cores=1, random_seed=42,
        target_accept=0.95, progressbar=False, idata_kwargs={"log_likelihood": False},
    )

cp_samples = idata_g.posterior["cp"].values.flatten().astype(int)
cp_counts = np.bincount(cp_samples, minlength=N)
cp_proba = cp_counts / cp_counts.sum()
cp_mode = int(cp_counts.argmax())
m1 = float(idata_g.posterior["mean1"].mean())
m2 = float(idata_g.posterior["mean2"].mean())
sig = float(idata_g.posterior["sigma_det"].mean())
print(f"=== Posterieur sur le point de rupture cp ===")
print(f"  mode (argmax) = {cp_mode}    (vrai cp cache = {vrai_cp})")
print(f"  moyenne       = {cp_samples.mean():6.2f}")
print(f"Moyenne avant  (mu1) : {m1:6.3f}  (vrai {mu_avant})")
print(f"Moyenne apres  (mu2) : {m2:6.3f}  (vrai {mu_apres})")
print(f"sigma estime        : {sig:6.3f}  (vrai {sigma})")
print()
rapport_convergence(idata_g, "idata_g - rupture gaussienne (cp discret en Metropolis, continu en NUTS)")
=== Posterieur sur le point de rupture cp ===
  mode (argmax) = 50    (vrai cp cache = 50)
  moyenne       =  50.00
Moyenne avant  (mu1) :  1.676  (vrai 2.0)
Moyenne apres  (mu2) :  7.009  (vrai 7.0)
sigma estime        :  1.361  (vrai 1.5)

=== Diagnostics de convergence : idata_g - rupture gaussienne (cp discret en Metropolis, continu en NUTS) ===
  max r_hat    = 1.0076  (cp)  -> OK (cible < 1.01)
  min ess_bulk = 903.8  (cp)  -> OK (cible > 400)
  min ess_tail = 1134.5  (cp)  -> OK (cible > 400)
  divergences  : 0 divergence(s) NUTS -> OK (cible = 0)
  VERDICT strict (r_hat<1.01, ess_bulk/ess_tail>400, divergences=0) : CONVERGENCE OK
# --- Visualisation : posterieur discret sur la localisation de la rupture ---
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Masque des masses significatives (>0.5% du pic) pour annotations
significant = cp_proba >= 0.005

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 5))
ax.bar(np.arange(N), cp_proba, color="#3b6fb6", edgecolor="#1f3f70", linewidth=0.4)
# Mise en evidence du mode (argmax) par une barre rouge
mode_idx = int(np.argmax(cp_proba))
ax.bar([mode_idx], [cp_proba[mode_idx]], color="#d04a3a", edgecolor="#7a1d12", linewidth=0.6,
       label=f"Mode posterieur : t={mode_idx}  (P={cp_proba[mode_idx]:.4f})")
ax.axvline(50, color="gray", linestyle="--", linewidth=1.0, alpha=0.6,
           label=f"Vrai point de rupture cache : t=50")
ax.set_xlabel("Indice de temps t (le modele ignore cette ligne)")
ax.set_ylabel("Masse de probabilite P(cp = t)")
ax.set_title("Posterieur discret sur la localisation du change-point")
ax.set_xlim(-1, N)
ax.set_ylim(0, cp_proba.max() * 1.15)
ax.legend(loc="upper left", fontsize=9)
plt.tight_layout()
plt.show()

# Sortie texte minimale : mode + entropie
print(f"Mode posterieur sur cp : t={mode_idx} (P={cp_proba[mode_idx]:.4f})")
print(f"Masses significatives (>0.5% du pic) : {int(significant.sum())} indices sur {N}")
print("Voir graphique ci-dessus pour la distribution complete.")

Mode posterieur sur cp : t=50 (P=0.9875)
Masses significatives (>0.5% du pic) : 3 indices sur 100
Voir graphique ci-dessus pour la distribution complete.

Lecture

Le mode du postérieur sur cp tombe très près du vrai point caché (50), et les moyennes de segment approchent les vraies valeurs (2 et 7). Le signal étant fort (|mu_apres - mu_avant| = 5 >> sigma), le postérieur se concentre sur quelques indices autour du vrai cp.

Côté convergence, le rapport rapport_convergence de la cellule du modèle passe tous les critères stricts (r_hat < 1.01, ess_bulk/ess_tail > 400, 0 divergence NUTS) — le pire score est justement porté par la variable discrète cp (r_hat 1.0076, ess_bulk ≈ 904), qui reste confortablement dans les clous : le postérieur concentré ne doit rien à un artefact d’échantillonnage.

3. Le cas canonique : les catastrophes minieres (loi de Poisson)

Le jeu de données historique du change-point bayésien est la série annuelle des catastrophes de mines de charbon en Grande-Bretagne (1851–1962, Jarrett 1979). Il s’agit de comptes : le modèle naturel est une loi de Poisson dont le taux bascule une fois — de ~3 accidents/an avant la réforme de sécurité des années 1880 à ~1/an après.

C’est l’exemple introductif canonique de la documentation PyMC. Même idiome que le cas gaussien : DiscreteUniform sur l’année de rupture, switch sur la plage des années, mais pm.Poisson(taux) en lieu et place de la gaussienne.

Sources. La série de comptages des catastrophes minières britanniques 1851-1962 est due à Jarrett (Jarrett, R. F., 1979, « A note on the discontinuities in the series of British disaster data », The Statistician 28(2):141-143) ; elle a été reprise comme banc d’essai canonique par Carlin, Gelfand & Smith (Carlin, B. P., Gelfand, A. E. & Smith, A. F. M., 1992, « Hierarchical Bayesian Analysis of Changepoint Problems », J. Royal Statistical Society, Series C (Applied Statistics) 41(2):389-405), qui sert de référence standard à toute la famille des modèles de change-point bayésiens (PyMC, Stan, Infer.NET).

# --- Catastrophes minieres britanniques, 1851-1962 (Jarrett 1979) ---
disasters = np.array([
    4,5,4,0,1,4,3,4,0,6, 3,3,4,0,2,6,3,3,5,4,
    5,3,1,4,4,1,5,5,3,4, 2,5,2,2,3,4,2,1,3,2,
    2,1,1,1,1,3,0,0,1,0, 1,1,0,0,3,1,0,3,2,2,
    0,1,1,1,0,1,0,1,0,0, 0,2,1,0,0,0,1,1,0,2,
    3,3,1,1,2,1,1,1,1,2, 4,2,0,0,1,4,0,0,0,1,
    0,0,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,1
])
N2 = disasters.size
annees = 1851 + np.arange(N2)
t2 = np.arange(N2)
print(f"Serie catastrophes miniers : {N2} annees ({annees[0]}..{annees[-1]})")

with pm.Model() as modele_disasters:
    cp2 = pm.DiscreteUniform("cp2", lower=0, upper=N2 - 1)
    early_rate = pm.Exponential("early_rate", lam=1.0)    # taux avant (prior faible)
    late_rate = pm.Exponential("late_rate", lam=1.0)      # taux apres
    rate = pm.math.switch(t2 <= cp2, early_rate, late_rate)
    pm.Poisson("disasters_obs", mu=rate, observed=disasters)
    idata_d = pm.sample(
        2000, tune=1500, chains=4, cores=1, random_seed=42,
        target_accept=0.95, progressbar=False, idata_kwargs={"log_likelihood": False},
    )

cp2_samples = idata_d.posterior["cp2"].values.flatten().astype(int)
cp2_mode = int(np.bincount(cp2_samples, minlength=N2).argmax())
er = float(idata_d.posterior["early_rate"].mean())
lr = float(idata_d.posterior["late_rate"].mean())
print(f"\nAnnee de rupture detectee : {1851 + cp2_mode}  (indice {cp2_mode})")
print(f"Taux AVANT  : {er:5.2f} catastrophes/an")
print(f"Taux APRES  : {lr:5.2f} catastrophes/an")
print(f"Rapport de taux : {er / max(lr, 1e-6):.1f}x")
print()
rapport_convergence(idata_d, "idata_d - catastrophes minieres (cp2 discret en Metropolis, taux en NUTS)")
Serie catastrophes miniers : 112 annees (1851..1962)

Annee de rupture detectee : 1891  (indice 40)
Taux AVANT  :  3.07 catastrophes/an
Taux APRES  :  0.94 catastrophes/an
Rapport de taux : 3.3x

=== Diagnostics de convergence : idata_d - catastrophes minieres (cp2 discret en Metropolis, taux en NUTS) ===
  max r_hat    = 1.0046  (cp2)  -> OK (cible < 1.01)
  min ess_bulk = 1129.2  (cp2)  -> OK (cible > 400)
  min ess_tail = 1085.5  (cp2)  -> OK (cible > 400)
  divergences  : 0 divergence(s) NUTS -> OK (cible = 0)
  VERDICT strict (r_hat<1.01, ess_bulk/ess_tail>400, divergences=0) : CONVERGENCE OK

Lecture

Le postérieur concentre la rupture autour de 1890–1891 — soit exactement la période des grandes réformes de sécurité dans les mines britanniques. Le taux passe de ~3,1 à ~0,9 catastrophe par an, un rapport de ~3,3×. C’est le résultat historique de la littérature sur les modèles de point de rupture (Carlin, Gelfand & Smith 1992 ; PyMC en fait son exemple introductif). Cote Infer.NET ce sont des messages EP qui resolvait le postérieur ; cote PyMC c’est l’échantillonnage CompoundStep (NUTS + Metropolis sur cp).

Pourquoi cette date. La rupture estimée vers 1890-1891 coincide avec le Coal Mines Regulation Act 1887 et la création des inspectors districts, qui ont impose des normes de sécurité et de ventilation. C’est cette concordance entre un changement structurel mesuré statistiquement et un fait historique documenté qui fait de la série Jarrett 1979 le banc d’essai préféré des modèles de change-point bayésiens.

Le rapport de convergence confirme l’inférence : tous les critères stricts passent, avec un pire score porté par la variable discrète cp2 (r_hat 1.0046, ess_bulk ≈ 1129) et 0 divergence NUTS — la partie continue (les taux) est géométriquement saine, et le cp2 discret, hors de portée de NUTS, mélange correctement par propositions Metropolis.

4. Vraie rupture ou caprice du bruit ? Le piege de la flexibilite

Un modèle de point de rupture est flexible : il peut, si on le laisse faire, trouver une « meilleure » coupure dans n’importe quelle série — y compris du pur bruit. C’est le piège du surajustement. Pour le mesurer, on génère une série sans rupture (moyenne constante) et on lui applique le même modèle. On quantifie la concentration du postérieur sur cp par son entropie \(H\) (en bits) : \(H_{max} = \log_2 N\) pour un postérieur plat (aucune idée sur la localisation), \(H \to 0\) pour un postérieur piqué sur un seul indice.

def H_bits(samples, n):
    """Entropie de Shannon (bits) d'un posterieur discret empirique."""
    counts = np.bincount(samples.astype(int), minlength=n)
    p = counts / counts.sum()
    p = p[p > 1e-12]
    return float(-(p * np.log2(p)).sum())

# Entropie du posterieur cp sur la serie AVEC rupture (deja estime ci-dessus)
H_reel = H_bits(cp_samples, N)
Hmax_reel = np.log2(N)

# --- Controle : serie SANS rupture (moyenne constante = 5) ---
np.random.seed(7)
Nc = 100
mu_const = 5.0
t_idx_c = np.arange(Nc)
data_ctrl = mu_const + 1.5 * np.random.randn(Nc)

with pm.Model() as modele_ctrl:
    cpC = pm.DiscreteUniform("cpC", lower=0, upper=Nc - 1)
    mc1 = pm.Normal("mc1", mu=0.0, sigma=10.0)
    mc2 = pm.Normal("mc2", mu=0.0, sigma=10.0)
    pc = pm.Gamma("pc", alpha=1.0, beta=1.0)
    sc = pm.Deterministic("sc", 1.0 / pt.sqrt(pc))
    muc = pm.math.switch(t_idx_c <= cpC, mc1, mc2)
    pm.Normal("yc", mu=muc, sigma=sc, observed=data_ctrl)
    idata_c = pm.sample(
        2000, tune=1500, chains=4, cores=1, random_seed=42,
        target_accept=0.95, progressbar=False, idata_kwargs={"log_likelihood": False},
    )

# Lecture de diagnostic (honnete) : sans vraie rupture, cpC erre sur tout l'intervalle et
# les moyennes mc1/mc2 ne sont plus identifiees -> melange lent attendu. On lit les valeurs
# pour QUANTIFIER le probleme, on ne le maquille pas.
summary_c = az.summary(idata_c, var_names=["mc1", "mc2", "sc", "cpC"], round_to=3)
print("Diagnostic MCMC du modele de CONTROLE (serie sans rupture ; seuils stricts r_hat<1.01, ess_bulk/ess_tail>400) :")
print(f"  R-hat max : {summary_c['r_hat'].max():.3f}")
print(f"  ESS bulk min : {int(summary_c['ess_bulk'].min())}")
print(summary_c[['mean', 'sd', 'r_hat', 'ess_bulk', 'ess_tail']].round(3))
rapport_convergence(idata_c, "idata_c - controle SANS rupture (cpC discret en Metropolis, continu en NUTS)")

cpC_samples = idata_c.posterior["cpC"].values.flatten().astype(int)
H_ctrl = H_bits(cpC_samples, Nc)
Hmax_ctrl = np.log2(Nc)

print(f"Serie AVEC rupture    : H(cp) = {H_reel:6.3f} bits / {Hmax_reel:.3f}  =>  information = {Hmax_reel - H_reel:5.3f} bits")
print(f"Controle SANS rupture : H(cp) = {H_ctrl:6.3f} bits / {Hmax_ctrl:.3f}  =>  information = {Hmax_ctrl - H_ctrl:5.3f} bits")
print()
print("=> Vraie rupture : H -> 0 (localisation quasi certaine).")
print("=> Pur bruit    : H ~= Hmax (posterieur quasi PLAT) -- le modele N'identifie pas de coupure nette ;")
print("                  il exprime honnetement son incertitude (moyennage MCMC).")
print("=> Test decisif (vraie rupture vs bruit) : Bayes factor (cf. PyMC-10), pas la seule entropie.")
Diagnostic MCMC du modele de CONTROLE (serie sans rupture ; seuils stricts r_hat<1.01, ess_bulk/ess_tail>400) :
  R-hat max : 1.033
  ESS bulk min : 79
       mean      sd  r_hat  ess_bulk  ess_tail
mc1   5.125   0.774  1.015   297.168    78.629
mc2   4.473   3.920  1.015   545.627   178.531
sc    1.530   0.108  1.001  3220.054  3314.336
cpC  59.354  33.869  1.033    79.622    66.348
=== Diagnostics de convergence : idata_c - controle SANS rupture (cpC discret en Metropolis, continu en NUTS) ===
  max r_hat    = 1.0325  (cpC)  -> ECHEC (cible < 1.01)
  min ess_bulk = 79.6  (cpC)  -> ECHEC (cible > 400)
  min ess_tail = 66.3  (cpC)  -> ECHEC (cible > 400)
  divergences  : 0 divergence(s) NUTS -> OK (cible = 0)
  VERDICT strict (r_hat<1.01, ess_bulk/ess_tail>400, divergences=0) : CONVERGENCE INSUFFISANTE
Serie AVEC rupture    : H(cp) =  0.111 bits / 6.644  =>  information = 6.533 bits
Controle SANS rupture : H(cp) =  6.056 bits / 6.644  =>  information = 0.588 bits

=> Vraie rupture : H -> 0 (localisation quasi certaine).
=> Pur bruit    : H ~= Hmax (posterieur quasi PLAT) -- le modele N'identifie pas de coupure nette ;
                  il exprime honnetement son incertitude (moyennage MCMC).
=> Test decisif (vraie rupture vs bruit) : Bayes factor (cf. PyMC-10), pas la seule entropie.

Lecture

La série avec rupture pousse l’entropie vers 0 (localisation quasi certaine : ~6,5 bits d’information sur cp), tandis que le contrôle (pur bruit) laisse une entropie haute, proche de \(H_{max}\) (postérieur quasi plat : < 1 bit d’information). Le modèle, confronté à une série sans rupture, n’identifie pas de coupure nette : l’échantillonnage MCMC, en moyennant sur l’incertitude de cp, exprime honnêtement son ignorance.

C’est une différence marquée avec l’EP d’Infer.NET (côté C#) qui, propageant des messages déterministes, commettait une coupure spurieuse (~0,7 bit). Le moyennage stochastique de MCMC est ici plus prudent.

Le verdict strict du rapport de convergence (seuils r_hat < 1.01, ess_bulk/ess_tail > 400, 0 divergence) est INSUFFISANT pour ce contrôle — et c’est instructif à double titre. La variable discrète cpC est la pire de toutes (r_hat = 1.0325, ess_bulk = 79.6, ess_tail = 66.3), mais les moyennes continues mc1/mc2 ratent elles aussi les barres strictes (r_hat = 1.015 chacune, ess_tail de 78.6 à 178.5) : quand cpC est non-identifié (postérieur plat sur les 100 positions), la chaîne Metropolis mélange lentement entre les indices, et les moyennes des segments qu’il sépare deviennent non-identifiées à leur tour. En revanche, 0 divergence NUTS : la géométrie de la partie continue est saine. L’échec est un échec de mélange — Metropolis discret sur cpC et non-identification en cascade — et non une pathologie de divergences NUTS ; ce sont deux diagnostics distincts, et seules les secondes auraient signalé une géométrie à réexplorer. Ce n’est pas un échec du modèle — c’est l’expression de l’incertitude sur une quantité que les données ne contraignent pas. Pour une lecture méthodique de ces diagnostics (et la distinction entre ESS par chaîne et ess_bulk), voir PyMC-02b-Debugging-Python.

La leçon : la concentration du postérieur signale qu’une coupure est possible, mais seule la comparaison de modèles par Bayes factor (vraisemblance marginale, cf. PyMC-10-Model-Sélection) tranche définitivement entre « vraie rupture » et « bruit ». Le Bayes factor pénalise la flexibilité supplémentaire du modèle à rupture.

5. Exercices

Exercice 1 — Deux points de rupture (trois regimes)

Étendez le modèle à deux ruptures cp1 < cp2 délimitant trois segments de moyennes mu1, mu2, mu3. Le postérieur devient joint sur (cp1, cp2).

Indice : générez une série à trois régimes, puis emboîtez les switch — mean1 pour t <= cp1, mean2 pour cp1 < t <= cp2, mean3 au-delà (deux pm.math.switch emboîtés).

Étape 1. Générez data3 avec mu = 2 sur [0, cp1], mu = 5 sur [cp1, cp2], mu = 8 au-delà. Étape 2. Déclarez cp1, cp2 (DiscreteUniform, avec cp1 < cp2), trois moyennes, et emboîtez les switch.

# Exercice 1 : deux points de rupture (a completer)
# TODO etudiant : declarer cp1, cp2 (DiscreteUniform, cp1 < cp2), mu1/mu2/mu3 et emboiter les switch.
print("Exercice 1 a completer : deux points de rupture (trois regimes).")
Exercice 1 a completer : deux points de rupture (trois regimes).

Exercice 2 — Un changement de variance (moyenne constante)

Détectez une rupture de variance seule : la moyenne reste constante, mais la précision bascule de prec1 (régime calme) à prec2 (régime turbulent) à l’instant cp.

Indice : la moyenne mu est commune aux deux segments ; seules les précisions diffèrent. Placez mu en dehors du switch, et branchez le sigma (dérivé de la précision) à l’intérieur.

Étape 1. Générez une série de moyenne 5 constante, de variance 0.25 avant cp et 4.0 après. Étape 2. Adaptez le modèle (une moyenne commune, sigma = switch(t <= cp, sigma1, sigma2)).

# Exercice 2 : changement de variance (a completer)
# TODO etudiant : moyenne commune, sigma = switch(t <= cp, sigma1, sigma2) branche dans la Normal.
print("Exercice 2 a completer : detection d'un changement de variance.")
Exercice 2 a completer : detection d'un changement de variance.

Exercice 3 — Robustesse au signal et a la taille

Étudiez comment la concentration du postérieur sur cp dépend (a) de l’amplitude du saut delta = mu_apres - mu_avant et (b) de la longueur N de la série.

Indice : reprenez le modèle de la section 2 dans une boucle sur delta dans {1, 2, 4} et notez H(cp) à chaque fois.

Étape 1. Pour chaque delta, générez une série et inférez le postérieur de cp. Étape 2. Calculez l’entropie H(cp) (fonction H_bits ci-dessus). Étape 3. Observez : un signal faible ou une courte série élargit le postérieur ; un signal fort ou une longue série le resserre.

# Exercice 3 : robustesse au signal et a N (a completer)
# TODO etudiant : boucler sur delta dans {1, 2, 4}, mesurer H(cp) a chaque fois.
print("Exercice 3 a completer : robustesse du posterieur au signal et a la taille.")
Exercice 3 a completer : robustesse du posterieur au signal et a la taille.

Conclusion

Le point de rupture complète la famille des séquences temporelles :

Notebook État caché Inférence
PyMC-14 (HMM) discret, récurrent (un par pas) postérieur sur la trajectoire d’états
Infer-17 (Kalman) continu, récurrent postérieur gaussien pas-à-pas
PyMC-18 (change-point) entier structurel unique postérieur Discrete sur la localisation

Le trait distinctif : l’inconnue est un indice structurel couplé à toute la série via pm.math.switch. Cote PyMC, la discreteness de cp impose un CompoundStep (NUTS + Metropolis), la où EP (cote Infer.NET) propageait les messages analytiquement. Le piège épistémologique (surajustement d’une coupure spurieuse) est universel : seul le Bayes factor tranche.

Pour aller plus loin. Plusieurs ruptures (exercice 1) ; ruptures de variance (exercice 2) ; Barry & Hartigan (Barry, D. & Hartigan, J. A., 1993, « A Bayesian Analysis for Change Point Problems », J. American Statistical Association 88(421):309-319) proposent le Product Partition Model (PPM), une distribution a priori sur les partitions qui généralise le choix du nombre de ruptures ; Fearnhead (Fearnhead, P., 2006, « Exact and Efficient Bayesian Inference for Multiple Change-point Problems », Statistics and Computing 16(2):203-213) donne un algorithme exact et efficace pour un nombre quelconque de ruptures ; ou la détection en ligne (filtering) plutôt qu’off-line (Adams & MacKay 2007, arXiv:0710.3742, §2 « Recursive Run Length Estimation »).

Jumeau de Infer-18-Change-Point.ipynb (Infer.NET / C#, inférence EP) – Epic #4956.

References

Sources fondatrices (papiers primaires).

  • Adams, R. P. & MacKay, D. J. C. (2007), « Bayesian Online Changepoint Detection », arXiv:0710.3742 — le cadre canonique du change-point bayésien en ligne, basé sur un message-passing sur la distribution du run-length (section 2).

  • Carlin, B. P., Gelfand, A. E. & Smith, A. F. M. (1992), « Hierarchical Bayesian Analysis of Changepoint Problems », J. Royal Statistical Society, Series C (Applied Statistics) 41(2):389-405 — référence standard pour la série des catastrophes minières (section 3).

  • Western, B. & Harrison, P. J. (1989), Bayesian Forecasting and Dynamic Models, Springer, chap. 12 « Outliers and Structural Changes » — paramétrisation par défaut de la famille DLM avec changement structurel (section 2).

  • Barry, D. & Hartigan, J. A. (1993), « A Bayesian Analysis for Change Point Problems », J. American Statistical Association 88(421):309-319 — Product Partition Model (PPM) pour un nombre inconnu de ruptures (Conclusion « Pour aller plus loin »).

  • Fearnhead, P. (2006), « Exact and Efficient Bayesian Inference for Multiple Change-point Problems », Statistics and Computing 16(2):203-213 — algorithme exact pour le cas multi-ruptures (Conclusion « Pour aller plus loin »).

  • Jarrett, R. F. (1979), « A note on the discontinuities in the series of British disaster data », The Statistician 28(2):141-143 — source primaire de la série 1851-1962 utilisée en section 3.

  • Salvatier J., Wiecki T. V., Fonnesbeck C. (2016), « Probabilistic programming in Python using PyMC3 », PeerJ Computer Science 2:e55 — moteur NUTS+Metropolis utilisé ici (CompoundStep).

  • Gelman A. et al., Bayesian Data Analysis (3e ed.), chap. « Hierarchical models » — context général sur l’inférence MCMC.

  • Relation à la série : PyMC-14 (HMM) et PyMC-19 (Survival) (le run-length se termine par un événement de durée), PyMC-12 (Hierarchical) (le PPM de Barry-Hartigan est un analogue hiérarchique des partitions).

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