Ce notebook est le protocole de mesure qui répond à une limite honnête de GT-06c §7d. Là-bas, le banc sans punition classait la coopération résiduelle en trois (menace / utilité transformée / reste-candidat-engagement) à partir d’un paramètre de sympathie alphaposé par l’analyste. Le même comportement observé recevait deux verdicts opposés selon la valeur d’alpha choisie : le verdict dépendait du choix de l’analyste, pas des données.
La distinction de Sen (1977) — sympathie (le bien-être d’autrui entre dans mon utilité) contre engagement (agir contre son propre classement de bien-être, en suivant une règle) — est conceptuelle. La séparer empiriquement demande une observation que la trajectoire de coopération seule ne porte pas. Ce notebook construit cette observation :
faire varier les gains d’AUTRUI seuls, à gains propres strictement fixes, et mesurer la pente du taux de coopération.
Une coopération qui répond aux gains d’autrui est compatible avec la sympathie et incompatible avec l’engagement pur. Une coopération plate est compatible avec l’engagement et incompatible avec la sympathie. La pente transforme alpha d’un paramètre libre en une quantité mesurée.
Positionnement : GT-06c retire la punition et établit que la coopération résiduelle n’est pas folk ; ce notebook ne refait pas ce travail — il identifie quel mécanisme porte ce résidu. Réfs #12683, #13042.
Objectifs d’apprentissage
À l’issue de ce notebook, vous saurez :
Montrer qu’un classifieur à paramètre posé rend des verdicts contradictoires sur une même trajectoire (le problème d’identification).
Construire une grille de jeux où seuls les gains d’autrui varient, à gains propres byte-identiques — et le vérifier en code.
Distinguer les prédictions des deux mécanismes : réponse aux gains d’autrui (sympathie) contre insensibilité (engagement).
Estimer la pente du taux de coopération avec son incertitude (multi-graines), et alphadepuis la pente par maximum de vraisemblance.
Valider un estimateur par contrôles négatifs avant de l’appliquer — et accepter un verdict « non identifié » quand le bruit l’impose.
Prérequis
GameTheory-06c §7 (le régime sans punition, l’adversaire sans mémoire, le retrait de la menace).
Bases de numpy ; notion d’estimation par maximum de vraisemblance (une intuition suffit, le code est explicite).
Aucune API externe : tout tourne en Python pur, déterministe par graine.
Durée estimée : 45 minutes
1. Le problème : un verdict qui dépend de l’analyste, pas des données
Le banc de GT-06c §7d fonctionne ainsi : dans un Dilemme du Prisonnier répété sans punition (l’adversaire est sans mémoire, aucune séquence de nos coups ne peut être punie), un joueur coopère. Le classifieur calcule l’écart d’intérêt sur l’utilité transformée U = u_mien + alpha * u_autrui :
u_coop = R + alpha * R (je coopère : je touche R, autrui touche R),
u_dev = T + alpha * S (je dévie : je touche T, autrui touche S),
et rend un verdict selon la valeur d’alpha choisie. Démonstration sur la même trajectoire observée (le joueur coopère sur tout l’horizon) :
import numpy as np# Barème canonique du banc GT-06c (jeu étape, joueur observé = lignes)T, R, P, S =5.0, 3.0, 1.0, 0.0# tentation, récompense, punition, soumisdelta =0.6# patience (delta* grim = 0.5 : sans retrait de punition, coopérer n'est pas une meilleure réponse)def ecart_interet(alpha, R_autre=None, S_autre=None):"""Écart actualisé (dévier - coopérer) en régime sans punition, sympathie alpha.""" r_autre = R if R_autre isNoneelse R_autre # gain d'autrui quand je coopère s_autre = S if S_autre isNoneelse S_autre # gain d'autrui quand je dévie u_coop = R + alpha * r_autre u_dev = T + alpha * s_autrereturn (u_dev - u_coop) / (1- delta) # flux constant, horizon infini (GT-06c §3)# LA MÊME trajectoire observée : le joueur coopère sur tout l'horizon, sans punition possible.trajectoire = ['Cooperer'] *10alpha_etoile = (T - R) / (R - S)ecart_pur = (T - R) / (1- delta)print(f"Barème : T={T}, R={R}, P={P}, S={S} | delta = {delta} (seuil grim delta* = 0.5)")print(f"Trajectoire observée (sans punition) : {set(trajectoire)}")print(f"Écart pur sans sympathie = (T-R)/(1-delta) = {ecart_pur:.2f}\n")for alpha_pose in (1.0, 0.0): ecart = ecart_interet(alpha_pose) verdict = ("COOPÉRATION EXPLIQUÉE PAR L'UTILITÉ TRANSFORMÉE (sympathie)"if ecart <=0else"COOPÉRATION CONTRE-INTÉRÊT : résidu = engagement au sens de Sen")print(f"alpha posé = {alpha_pose:.1f} -> écart {ecart:+.2f} -> {verdict}")print(f"\nSeuil de sympathie alpha* = (T-R)/(R-S) = {alpha_etoile:.3f}")print()print("Deux verdicts opposés, une seule trajectoire : alpha* n'est pas un seuil de")print("diagnostic, c'est une frontière d'indiscernabilité. Rien dans les données de la")print("trajectoire ne révèle alpha — il faut une observation nouvelle.")
Barème : T=5.0, R=3.0, P=1.0, S=0.0 | delta = 0.6 (seuil grim delta* = 0.5)
Trajectoire observée (sans punition) : {'Cooperer'}
Écart pur sans sympathie = (T-R)/(1-delta) = 5.00
alpha posé = 1.0 -> écart -2.50 -> COOPÉRATION EXPLIQUÉE PAR L'UTILITÉ TRANSFORMÉE (sympathie)
alpha posé = 0.0 -> écart +5.00 -> COOPÉRATION CONTRE-INTÉRÊT : résidu = engagement au sens de Sen
Seuil de sympathie alpha* = (T-R)/(R-S) = 0.667
Deux verdicts opposés, une seule trajectoire : alpha* n'est pas un seuil de
diagnostic, c'est une frontière d'indiscernabilité. Rien dans les données de la
trajectoire ne révèle alpha — il faut une observation nouvelle.
Le verdict n’est pas identifié : sur des données de coopération seules, sympathie et engagement sont observationnellement équivalents. Ce n’est pas un défaut de GT-06c — c’est une limite réelle de ce qu’une trajectoire peut porter.
2. L’observation qui sépare : faire varier les gains d’AUTRUI
Les deux mécanismes ne dépendent pas des mêmes quantités :
Mécanisme
Ce qui entre dans la décision
Prédiction sur la grille
Sympathie (U = u_mien + alpha * u_autrui)
le bien-être d’autrui, pondéré
coopération croissante en R_autre
Engagement (règle suivie contre son intérêt)
la règle — pas les gains d’autrui
coopération plate en R_autre
Auto-intérêt (alpha = 0, pas de règle)
rien que mes gains
coopération plate et basse
D’où le protocole : un même jeu sans punition, où la ligne de gains du joueur observé reste byte-identique de cellule en cellule, tandis que la colonne d’autrui (R_autre : ce que l’autre gagne quand je coopère) balaie une plage. On mesure le taux de coopération sur chaque cellule. La pente de ce taux en R_autre est la quantité qui sépare les mécanismes — et alpha cesse d’être un paramètre libre : il devient une quantité estimée depuis cette réponse.
3. La grille : gains propres gelés, gains d’autrui balayés
Chaque cellule de la grille est un jeu étape complet. La condition qui rend la statique interprétable est stricte : la matrice de gains du joueur observé ne doit pas bouger d’une cellule à l’autre — sinon une variation du taux de coopération pourrait refléter un changement de MES gains, et la pente ne mesurerait plus rien. Nous construisons la grille puis nous vérifions en code cette invariance (critère d’acceptance du protocole).
# Grille : R_autre balaie 0 -> 10 (21 cellules), S_autre fixé à 0.# La matrice propre (T, R, P, S) est gelée UNE fois, hors de la boucle.PROPRE = np.array([T, R, P, S]) # ligne du joueur observé — ne varie JAMAISS_AUTRE =0.0# gain d'autrui quand je dévie — fixeGRILLE = np.round(np.arange(0.0, 10.01, 0.5), 2) # 21 cellulesdef cellule(r_autre):"""Jeu étape de la cellule : ((mes gains, gains d'autrui)) par issue."""return {'je_coopere': (R, r_autre), # (moi, autrui) — l'adversaire sans mémoire coopère'je_devie': (T, S_AUTRE), }# === VÉRIFICATION (acceptance 1) : gains propres byte-identiques sur toute la grille ===matrices_propres = np.array([[cellule(r)['je_coopere'][0], cellule(r)['je_devie'][0]]for r in GRILLE])byte_identique = (matrices_propres == matrices_propres[0]).all()print(f"Grille : {len(GRILLE)} cellules, R_autre de {GRILLE[0]} à {GRILLE[-1]} (pas 0.5), S_autre = {S_AUTRE}")print(f"Matrice propre du joueur observé, cellule par cellule : "f"{'BYTE-IDENTIQUE'if byte_identique else'VARIABLE (PROBLÈME)'}")print(f" mes gains si je coopère = {R} partout ; si je dévie = {T} partout")print(f" gains d'autrui : R_autre balaie [{GRILLE[0]}, {GRILLE[-1]}], S_autre = {S_AUTRE} fixe")assert byte_identique, "la statique n'est interprétable que si mes gains ne bougent pas"print("\nCondition d'interprétabilité VÉRIFIÉE : seule la colonne d'autrui varie.")
Grille : 21 cellules, R_autre de 0.0 à 10.0 (pas 0.5), S_autre = 0.0
Matrice propre du joueur observé, cellule par cellule : BYTE-IDENTIQUE
mes gains si je coopère = 3.0 partout ; si je dévie = 5.0 partout
gains d'autrui : R_autre balaie [0.0, 10.0], S_autre = 0.0 fixe
Condition d'interprétabilité VÉRIFIÉE : seule la colonne d'autrui varie.
4. Trois mécanismes de décision (les agents du banc)
Ce notebook modélise des mécanismes de décision, pas des personnes — aucune variable ne sort du jouet, et le vocabulaire reste celui des mécanismes (sympathie = pondération d’utilité ; engagement = règle). Chaque agent choisit Cooperer ou Defecter à chaque période face à l’adversaire sans mémoire (régime sans punition de GT-06c §7a) :
Sympathie : meilleure réponse logit sur l’utilité transformée U = u_mien + alpha * u_autrui. Le paramètre logit beta contrôle le bruit de choix — c’est lui qui fait qu’un taux (et pas un choix binaire) est mesurable.
Engagement : règle fixe « coopérer » — insensible aux gains d’autrui et aux gains propres, contre le classement de bien-être. Taux constant 1.
Auto-intérêt : meilleure réponse logit sur la seule utilité propre (alpha = 0). Taux constant bas.
Les trajectoires sont reproductibles : graine fixée par cellule, cinq graines (0, 1, 7, 42, 99), horizon 200 périodes.
SEEDS = [0, 1, 7, 42, 99] # multi-graines : une pente sur un tirage unique n'est pas une penteHORIZON =200# périodes par trajectoiredef taux_cooperation(agent, grille=GRILLE, seeds=SEEDS, horizon=HORIZON):"""Taux de coopération de l'agent sur chaque cellule, par graine. Rend un tableau (graines x cellules). L'adversaire est sans mémoire (coopère toujours) : chaque période est identique, l'agent échantillonne sa règle de choix iid — la trajectoire existe pour la reproductibilité et le comptage, pas pour créer de la dépendance temporelle. """ taux = np.zeros((len(seeds), len(grille)))for i, seed inenumerate(seeds): rng = np.random.default_rng(seed)for j, r_autre inenumerate(grille): p = agent(r_autre) taux[i, j] = (rng.random(horizon) < p).mean()return taux# --- les trois mécanismes ---def agent_sympathie(alpha, beta):"""Meilleure réponse logit sur l'utilité transformée U = u_mien + alpha*u_autrui."""def regle(r_autre): u_coop = R + alpha * r_autre u_dev = T + alpha * S_AUTREreturn1.0/ (1.0+ np.exp(-beta * (u_coop - u_dev)))return regledef agent_engagement():"""Règle : coopérer. Insensible aux gains d'autrui comme aux gains propres."""def regle(r_autre):return1.0return regledef agent_auto_interet(beta):"""Meilleure réponse logit sur la seule utilité propre (alpha = 0)."""return agent_sympathie(0.0, beta)BETA =2.0archetypes = {'sympathie (alpha=0.5)': agent_sympathie(0.5, BETA),'engagement (règle)': agent_engagement(),'auto-intérêt (alpha=0)': agent_auto_interet(BETA),}taux_arch = {nom: taux_cooperation(ag) for nom, ag in archetypes.items()}for nom, t in taux_arch.items():print(f"{nom:26s} taux moyen = {t.mean():.3f} | pente brute = "f"{np.polyfit(GRILLE, t.mean(axis=0), 1)[0]:+.4f} par unité de R_autre")# La colonne théorique sigma(delta U) sert de contrôle du Monte-Carlo.p_theorique = np.array([agent_sympathie(0.5, BETA)(r) for r in GRILLE])taux_mesure = taux_arch['sympathie (alpha=0.5)'].mean(axis=0)print("\nContrôle sympathie : R_autre | sigma(delta U) | taux mesuré")for r, p, t inzip(GRILLE[::4], p_theorique[::4], taux_mesure[::4]):print(f" {r:5.1f} | {p:14.3f} | {t:11.3f}")
# Les trois courbes : taux de coopération en fonction de R_autre (moyenne des 5 graines)try:import matplotlib.pyplot as plt HAS_PLT =TrueexceptImportError: HAS_PLT =Falseif HAS_PLT: fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.5, 4.2)) couleurs = {'sympathie (alpha=0.5)': 'tab:blue','engagement (règle)': 'tab:red','auto-intérêt (alpha=0)': 'tab:gray'}for nom, t in taux_arch.items(): m = t.mean(axis=0) se = t.std(axis=0, ddof=1) / np.sqrt(len(SEEDS)) ax.errorbar(GRILLE, m, yerr=1.96* se, marker='o', ms=3, lw=1.5, label=nom, color=couleurs[nom]) ax.set_xlabel("R_autre : gain d'AUTRUI quand je coopère (mes gains inchangés)") ax.set_ylabel("taux de coopération du joueur observé") ax.set_title("Statique comparative : trois mécanismes, trois signatures") ax.legend(loc='center right', fontsize=9) ax.grid(alpha=0.3) fig.tight_layout() plt.show()print("Signature de chaque mécanisme : croissante (sympathie), plate haute")print("(engagement), plate basse (auto-intérêt). C'est la PENTE qui les sépare.")else:for nom, t in taux_arch.items(): m = t.mean(axis=0)print(f"{nom:26s} "+" ".join(f"{v:.2f}"for v in m[::4]))
Signature de chaque mécanisme : croissante (sympathie), plate haute
(engagement), plate basse (auto-intérêt). C'est la PENTE qui les sépare.
Lecture de la figure
La colonne théorique sigma(delta U) et les taux simulés suivent la même forme sigmoïde : le bruit binomial fait osciller les points autour de la réponse logit, sans changer son point d’inflexion. Le plateau de l’engagement n’est donc pas une sigmoïde mal échantillonnée ; c’est une signature structurellement différente.
5. L’estimateur : pente avec incertitude, puis alpha par vraisemblance
Deux quantités, deux méthodes, un seul estimateur appliqué à tout le monde (contrôles comme banc) :
Pente : régression du taux par graine sur R_autre — une pente par graine, moyenne ± intervalle de confiance à 95 % (t de Student, n_graines - 1 degrés de liberté). C’est l’incertitude de mesure demandée par le protocole.
Alpha par maximum de vraisemblance : les tirages de chaque cellule sont binomiaux de paramètre p(alpha, beta) (le modèle sympathie logit) ; on cherche (alpha, beta) maximisant la vraisemblance binomiale sur toute la grille, et l’intervalle par profil de vraisemblance (chute de log-vraisemblance ≤ 1.92, chi² à 95 % à 1 degré de liberté). alpha est estimé depuis la réponse, plus posé.
def pente_avec_ic(taux, grille=GRILLE):"""Pente moyenne ± IC95 (une régression par graine, Student à n-1 ddl).""" pentes = np.array([np.polyfit(grille, taux[i], 1)[0] for i inrange(taux.shape[0])]) n =len(pentes) mean = pentes.mean() se = pentes.std(ddof=1) / np.sqrt(n)# t Student 97.5% pour 4 ddl = 2.776 (5 graines) t_crit =2.776if n ==5else2.306if n ==8else2.262return mean, mean - t_crit * se, mean + t_crit * sedef loglik_binom(alpha, beta, taux, grille=GRILLE, horizon=HORIZON):"""Log-vraisemblance binomiale du modèle sympathie-logit sur toute la grille.""" k = np.round(taux * horizon).astype(int) # succès par graine x cellule n = horizon p =1.0/ (1.0+ np.exp(-beta * ((R + alpha * grille) - (T + alpha * S_AUTRE)))) p = np.clip(p, 1e-12, 1-1e-12) ll = (k * np.log(p) + (n - k) * np.log(1- p)).sum()return lldef estime_alpha(taux, grille=GRILLE, horizon=HORIZON):"""MLE (alpha, beta) par balayage de grille + IC par profil de vraisemblance.""" alphas = np.round(np.arange(0.0, 3.001, 0.01), 3) betas = np.round(np.geomspace(0.05, 50.0, 60), 4) ll_max = np.full((len(alphas), len(betas)), -np.inf)for i, a inenumerate(alphas):for j, b inenumerate(betas): ll_max[i, j] = loglik_binom(a, b, taux, grille, horizon) i_star, j_star = np.unravel_index(np.argmax(ll_max), ll_max.shape) alpha_hat, beta_hat = alphas[i_star], betas[j_star] ll_best = ll_max[i_star, j_star] profil = ll_max.max(axis=1) # beta profilé pour chaque alpha dans_ic = alphas[profil >= ll_best -1.92] ic = (dans_ic.min(), dans_ic.max())return alpha_hat, beta_hat, ic, ll_bestprint("Estimateur prêt : pente_avec_ic() + estime_alpha() — le même pour les contrôles et le banc.")
Estimateur prêt : pente_avec_ic() + estime_alpha() — le même pour les contrôles et le banc.
Contrôle de dépendance à la méthode : IRLS et bootstrap sur les graines
La MLE profilée reste l’estimateur canonique parce qu’elle estime conjointement alpha et beta. L’ancien notebook 06d apportait une seconde voie utile : ajuster directement le logit par IRLS NumPy, puis ré-échantillonner les graines. La concordance des deux estimations vérifie que le verdict ne dépend pas uniquement du balayage de grille.
6. Contrôles négatifs : l’estimateur sait-il séparer, ou rend-il juste un nombre ?
Avant toute mesure, l’estimateur doit passer deux contrôles — sans eux, une pente mesurée ne prouve pas que l’estimateur sait séparer les mécanismes :
Sympathie pure (alpha = 0.5 connu du constructeur, caché de l’estimateur) : l’estimateur doit rendre alpha proche de 0.5 dans son intervalle, et une pente positive significative.
Engagement pur (règle fixe) : l’estimateur doit rendre une pente nulle. Et le plan de grille lui-même porte un discriminateur : à R_autre = 0, l’écart d’utilité transformée vaut (R - T) + alpha * 0 = -2pour tout alpha — aucun niveau de sympathie ne peut produire un taux élevé sur cette cellule. Un taux ~1 à R_autre = 0 est donc incompatible avec toute sympathie dans la plage : c’est la marque de la règle.
# === Contrôle 1 : sympathie pure, alpha = 0.5 caché ===alpha_vrai =0.5t = taux_arch['sympathie (alpha=0.5)']pente, lo, hi = pente_avec_ic(t)a_hat, b_hat, (a_lo, a_hi), ll = estime_alpha(t)ok1_pente = lo >0ok1_alpha = a_lo <= alpha_vrai <= a_hiprint("CONTRÔLE 1 — sympathie pure (alpha caché = 0.5, beta = 2.0)")print(f" pente = {pente:+.4f} [{lo:+.4f}, {hi:+.4f}] -> {'POSITIVE (ok)'if ok1_pente else'non significative (ÉCHEC)'}")lab_alpha ="0.5 dans l'IC (ok)"if ok1_alpha else"0.5 HORS IC (ÉCHEC)"print(f" alpha estimé = {a_hat:.2f}, IC profil = [{a_lo:.2f}, {a_hi:.2f}] -> {lab_alpha}")print(f" verdict du contrôle : {'PASS'if (ok1_pente and ok1_alpha) else'FAIL'}")# === Contrôle 2 : engagement pur (règle) ===t2 = taux_arch['engagement (règle)']pente2, lo2, hi2 = pente_avec_ic(t2)taux_cellule0 = t2[:, 0].mean()a2, b2, (a2lo, a2hi), _ = estime_alpha(t2)# Test d'équivalence : la règle est déterministe -> pente ~ -1e-17 (bruit float) mais# variance inter-graines NULLE -> le t de Student dégénère et l'IC [-1e-17, -1e-17]# « exclut » 0 numériquement. On déclare la pente nulle si l'IC ENTIER tient dans# le plancher de résolution du design (+/- 0.005, cf. sensibilité §8 : à ce niveau# de pente, même une sympathie réelle n'est plus identifiable).TOL_PENTE =0.005ok2_pente = (lo2 >=-TOL_PENTE) and (hi2 <= TOL_PENTE)ok2_marque = taux_cellule0 >0.9print("\nCONTRÔLE 2 — engagement pur (règle fixe)")print(f" pente = {pente2:+.6f} [{lo2:+.6f}, {hi2:+.6f}] -> "f"{'NULLE au plancher de résolution +/-0.005 (ok)'if ok2_pente else'non nulle (ÉCHEC)'}")print(f" taux à R_autre = 0 : {taux_cellule0:.3f} (aucune sympathie ne peut dépasser 0.5 ici : écart = -2 pour tout alpha)")print(f" marque de la règle (taux > 0.9 sur la cellule discriminateur) : "f"{'PRÉSENTE (ok)'if ok2_marque else'ABSENTE (ÉCHEC)'}")print(f" (alpha ajusté par le modèle sympathie : {a2:.2f} — sans signification ici :")print(" le modèle ne PEUT pas ajuster un taux de 1 partout, c'est la pente qui porte le verdict)")print(f" verdict du contrôle : {'PASS'if (ok2_pente and ok2_marque) else'FAIL'}")
CONTRÔLE 1 — sympathie pure (alpha caché = 0.5, beta = 2.0)
pente = +0.1220 [+0.1212, +0.1228] -> POSITIVE (ok)
alpha estimé = 0.50, IC profil = [0.50, 0.50] -> 0.5 dans l'IC (ok)
verdict du contrôle : PASS
CONTRÔLE 2 — engagement pur (règle fixe)
pente = -0.000000 [-0.000000, -0.000000] -> NULLE au plancher de résolution +/-0.005 (ok)
taux à R_autre = 0 : 1.000 (aucune sympathie ne peut dépasser 0.5 ici : écart = -2 pour tout alpha)
marque de la règle (taux > 0.9 sur la cellule discriminateur) : PRÉSENTE (ok)
(alpha ajusté par le modèle sympathie : 3.00 — sans signification ici :
le modèle ne PEUT pas ajuster un taux de 1 partout, c'est la pente qui porte le verdict)
verdict du contrôle : PASS
Robustesse : un engagement bruité plutôt qu’une règle parfaite
L’engagement déterministe est la définition pure et le cas-limite. Pour vérifier que le protocole ne dépend pas d’un taux artificiellement égal à 1, nous ajoutons une règle respectée dans 95 % des périodes ; lors des écarts, l’action est tirée uniformément. Une graine indépendante par cellule évite qu’un même flux aléatoire fabrique une pente.
ROBUSTESSE — engagement à conformité 0.95
taux extrêmes : R_autre=0 -> 0.976 | R_autre=10 -> 0.978
pente = +0.0000 [-0.0008, +0.0008]
pente au plancher +/-0.005 : PASS
IRLS/bootstrap : alpha=+0.001, IC95=[-0.010, +0.013] -> 0 inclus (PASS)
marque de règle à R_autre=0 : PASS
verdict du contrôle : PASS
7. La mesure : le joueur observé du banc
Le banc mesure un agent dont le mécanisme est caché à l’analyste (comme un participant dont on n’observe que le comportement). Le protocole est appliqué tel quel : grille, cinq graines, pente, MLE. Le verdict suit les chiffres — y compris négatif.
# === Le joueur observé : mécanisme caché, mécanisme révélé par la statique comparative ===# (le constructeur du banc connaît le mécanisme ; l'analyste ne voit que les taux)MECANISME_CACHE = ('sympathie', 0.25, 1.5) # genre, paramètre, bruit — cachédef joueur_banc(r_autre): genre, alpha_cache, beta_cache = MECANISME_CACHEif genre =='sympathie': u_coop = R + alpha_cache * r_autre u_dev = T + alpha_cache * S_AUTREreturn1.0/ (1.0+ np.exp(-beta_cache * (u_coop - u_dev)))return1.0# engagement : règlet_banc = taux_cooperation(joueur_banc)pente_b, lo_b, hi_b = pente_avec_ic(t_banc)a_b, b_b, (a_blo, a_bhi), _ = estime_alpha(t_banc)print("MESURE — joueur observé du banc (mécanisme caché)")print(f" taux par cellule (moyenne 5 graines) : "+" ".join(f"{v:.2f}"for v in t_banc.mean(axis=0)[::4]))print(f" pente = {pente_b:+.4f} [{lo_b:+.4f}, {hi_b:+.4f}]")if lo_b >0:print(f" alpha estimé DEPUIS la pente = {a_b:.2f} [{a_blo:.2f}, {a_bhi:.2f}] (beta = {b_b:.2f})")print(" VERDICT : la coopération RÉPOND aux gains d'autrui -> compatible sympathie,")print(" incompatible engagement pur. alpha a cessé d'être un paramètre libre : il est MESURÉ.")elif hi_b <0:print(" VERDICT : pente négative — aucun des deux mécanismes ne la prédit : à enquêter.")else: t0 = t_banc[:, 0].mean()if t0 >0.9:print(" VERDICT : pente nulle + taux élevé sur la cellule discriminateur (R_autre = 0)")print(" -> compatible engagement (règle), incompatible sympathie dans la plage testée.")else:print(" VERDICT : pente indiscernable de zéro sans marque de règle -> NON IDENTIFIÉ à ce bruit.")print(f"\n (révélation du constructeur : mécanisme = {MECANISME_CACHE[0]}, "f"alpha = {MECANISME_CACHE[1]}, beta = {MECANISME_CACHE[2]})")
MESURE — joueur observé du banc (mécanisme caché)
taux par cellule (moyenne 5 graines) : 0.05 0.09 0.17 0.31 0.50 0.69
pente = +0.0673 [+0.0655, +0.0690]
alpha estimé DEPUIS la pente = 0.25 [0.25, 0.25] (beta = 1.49)
VERDICT : la coopération RÉPOND aux gains d'autrui -> compatible sympathie,
incompatible engagement pur. alpha a cessé d'être un paramètre libre : il est MESURÉ.
(révélation du constructeur : mécanisme = sympathie, alpha = 0.25, beta = 1.5)
# === Variante : le même banc avec un joueur à règle (engagement) ===MECANISME_CACHE = ('engagement', None, None)t_banc2 = taux_cooperation(joueur_banc)pente_b2, lo_b2, hi_b2 = pente_avec_ic(t_banc2)t0_banc2 = t_banc2[:, 0].mean()pente_b2_nulle = lo_b2 >=-TOL_PENTE and hi_b2 <= TOL_PENTEprint("MESURE — second joueur du banc (mécanisme caché, autre)")print(f" taux moyens extrêmes : R_autre=0 -> {t0_banc2:.3f} | R_autre=10 -> {t_banc2[:, -1].mean():.3f}")print(f" pente = {pente_b2:+.4f} [{lo_b2:+.4f}, {hi_b2:+.4f}]")if pente_b2_nulle and t0_banc2 >0.9:print(" VERDICT : pente nulle + marque de règle sur la cellule discriminateur ->")print(" compatible engagement, incompatible sympathie dans la plage testée.")print("\n (révélation : engagement — règle fixe, insensible aux gains d'autrui)")
MESURE — second joueur du banc (mécanisme caché, autre)
taux moyens extrêmes : R_autre=0 -> 1.000 | R_autre=10 -> 1.000
pente = -0.0000 [-0.0000, -0.0000]
VERDICT : pente nulle + marque de règle sur la cellule discriminateur ->
compatible engagement, incompatible sympathie dans la plage testée.
(révélation : engagement — règle fixe, insensible aux gains d'autrui)
Synthèse des sujets et contrôles
Sujet mesuré
Signature observée
Verdict permis
joueur caché 1
pente positive, alpha MLE et IRLS concordants
sympathie compatible
contrôle sympathie
alpha=0,5 retrouvé, IC couvrant la vérité
estimateurs calibrés
joueur caché 2 / engagement pur
pente au plancher, taux haut à R_autre=0
engagement compatible
engagement bruité à 95 %
pente au plancher, IC95 IRLS de alpha contenant 0, marque de règle conservée
verdict robuste à des écarts occasionnels
8. Sensibilité : quand la pente ne parle pas
Le protocole admet un verdict négatif — « non identifié à ce niveau de bruit » — et il faut montrer qu’il le rend quand il le doit. Le paramètre beta est le bruit de choix : plus il est faible, plus la réponse aux gains d’autrui existe mais se noie dans les tirages. Un joueur réellement sympathique (alpha = 0.5, connu du constructeur) passe par deux régimes :
beta = 0.05 : la courbe s’aplatit, la pente rétrécit — encore identifiable ;
beta = 0.005 : l’écart de logit entre extrémités de grille vaut 0.005 * (3 - (-2)) = 0.025 — la préférence existe mais est sous le plancher de résolution du banc (une cellule porte un bruit binomial de ~0.016). La pente doit ressortir « non identifiée », et publier « sympathie » sur ces données serait réintroduire l’arbitraire d’alpha que le protocole supprime.
# === Sympathie réelle (alpha = 0.5), bruit de choix croissant ===for beta_bruit in (0.05, 0.005): t_bruit = taux_cooperation(agent_sympathie(0.5, beta_bruit)) pente_br, lo_br, hi_br = pente_avec_ic(t_bruit)print(f"SENSIBILITÉ — sympathie réelle (alpha = 0.5), bruit de choix beta = {beta_bruit}")print(f" taux extrêmes : R_autre=0 -> {t_bruit[:, 0].mean():.3f} | R_autre=10 -> {t_bruit[:, -1].mean():.3f}")print(f" pente = {pente_br:+.4f} [{lo_br:+.4f}, {hi_br:+.4f}]")if lo_br >0:print(" -> encore IDENTIFIÉE (positive, IC exclut 0) : le signal passe le plancher.\n")else:print(" -> NON IDENTIFIÉE à ce niveau de bruit — et c'est le verdict correct.")print(" Le mécanisme existe (constructeur : alpha = 0.5) mais CES données ne le portent")print(" pas : il faudrait plus de périodes, plus de graines ou une plage plus large.")print(" La cellule discriminateur (R_autre = 0) est muette aussi : taux ~ 0.5, ni marque")print(" de règle ni seuil. Le verdict honnête se publie tel quel.\n")
SENSIBILITÉ — sympathie réelle (alpha = 0.5), bruit de choix beta = 0.05
taux extrêmes : R_autre=0 -> 0.457 | R_autre=10 -> 0.550
pente = +0.0077 [+0.0047, +0.0107]
-> encore IDENTIFIÉE (positive, IC exclut 0) : le signal passe le plancher.
SENSIBILITÉ — sympathie réelle (alpha = 0.5), bruit de choix beta = 0.005
taux extrêmes : R_autre=0 -> 0.477 | R_autre=10 -> 0.503
pente = +0.0019 [-0.0011, +0.0049]
-> NON IDENTIFIÉE à ce niveau de bruit — et c'est le verdict correct.
Le mécanisme existe (constructeur : alpha = 0.5) mais CES données ne le portent
pas : il faudrait plus de périodes, plus de graines ou une plage plus large.
La cellule discriminateur (R_autre = 0) est muette aussi : taux ~ 0.5, ni marque
de règle ni seuil. Le verdict honnête se publie tel quel.
Lecture honnête : ce que chaque signature autorise
Signature mesurée
Verdict autorisé
Ce qu’il ne prouve PAS
pente > 0 significative
compatible sympathie ; alpha mesuré (IC)
pas que l’agent « ressent » quoi que ce soit : un mécanisme pondérant les gains d’autrui suffit
pente ≈ 0 + taux haut sur la cellule R_autre = 0
compatible engagement (règle)
pas toute règle : une règle qui regarderait les gains propres resterait invisible à CE protocole
pente ≈ 0 + taux bas
auto-intérêt : rien à identifier
—
pente ≈ 0, IC large
non identifié à ce bruit
tout — c’est un verdict, pas un échec : il se publie tel quel
Deux garde-fous de conception, à lire avant de citer un verdict :
La plage balaie large (R_autre de 0 à 10). Une sympathie très forte sature la sigmoïde au-dessus de son seuil ; sur une grille étroite placée au-dessus, elle ressemblerait à un plateau (pente nulle) et serait confondue avec l’engagement. Le discriminateur structurel : à R_autre = 0, l’écart d’utilité transformée vaut (R - T) + alpha * S_AUTRE — négatif pour tout alpha avec S_autre = 0. Aucune sympathie ne peut coopérer massivement sur cette cellule ; un taux élevé y est la marque d’une règle.
Le protocole mesure des mécanismes de décision sur des agents de jouet — aucune variable ne sort du banc, aucune claim ne porte sur des personnes. Sen distingue engagement et sympathie conceptuellement ; ici, on mesure seulement lequel porte la trajectoire dans le modèle.
Questions ouvertes et limites du banc
Engagement imparfait : une conformité de 95 % reste identifiable ici, mais à quel niveau d’écarts la marque de règle disparaît-elle dans le bruit ?
Température déclarée : l’IRLS suppose beta connu pour convertir la pente logit en alpha, tandis que la MLE les estime conjointement. Leur désaccord serait un signal de spécification erronée, pas un chiffre à moyenner.
Puissance du protocole : une pente non significative peut refléter trop peu de graines, un horizon trop court ou une plage mal placée. Elle n’autorise jamais à conclure automatiquement « engagement ».
Portée externe : ce banc sépare des mécanismes dans un modèle de jouet ; il ne diagnostique ni motivations ni états mentaux chez une personne.
9. Ponts
GT-06c §7 : le régime sans punition, le témoin de retenue, l’opérateur à quatre actions et le classifieur §7d — dont ce notebook est le protocole d’identification (le résidu « candidat engagement » de GT-06c devient ici un verdict mesuré, ou un non-verdict honnête).
GT-06 : l’émergence empirique de la coopération ; GT-06c explique ce que la menace soutient, GT-06d mesure ce qui reste quand la menace est retirée.
GT-16 (Mechanism Design) : si l’on veut produire de la coopération, la statique comparative dit quel levier fonctionne — récompenser autrui ne motive que les agents pondérant les gains d’autrui.
Ancien GT-20, reclassé en GT-09b : l’engagement contraignant de Stackelberg complète ici l’engagement comme règle suivie contre le classement de bien-être.
Sen (1977), Rational Fools : la distinction conceptuelle sympathie / engagement que ce banc opérationnalise sur des mécanismes de décision.
Réfs internes : #12682 (articulation avec le classifieur), #12683 (GT-06c), #13042 (ce protocole).
10. Résumé
Concept
En une phrase
Indiscernabilité
sur une trajectoire de coopération seule, sympathie et engagement produisent les mêmes données — le verdict à alpha posé dépend de l’analyste
Statique comparative
faire varier les gains d’autrui seuls, à gains propres byte-identiques (vérifié en code)
Signature sympathie
coopération croissante en R_autre ; alpha estimé depuis la pente par MLE, avec IC
Signature engagement
coopération plate, avec la marque de règle sur la cellule R_autre = 0 (où aucune sympathie ne peut coopérer)
Contrôles négatifs
sympathie pure doit rendre son alpha ; engagement pur doit rendre pente nulle — sinon l’estimateur ne sépare rien
Verdict honnête
« non identifié à ce bruit » est un résultat qui se publie, pas un échec à maquiller
Fil conducteur : GT-6 montrait la coopération émerger, GT-06c montrait ce que la menace soutient — GT-06d montre comment mesurer ce qui la porte quand la menace ne l’explique plus.
Exercice 1 : balaier aussi S_autre — la carte à deux dimensions
La grille ne faisait varier que R_autre, à S_autre = 0. Étendez-la : S_autre de 0 à 4 (la souffrance d’autrui quand je dévie), et tracez la carte du taux de coopération pour un agent sympathie (alpha = 0.5). Avant toute simulation, prédisez le signe de l’effet de R_autre et de S_autre sur la coopération. Vérifiez ensuite que la frontière suit la droite R + alpha*R_autre = T + alpha*S_autre — c’est la prédiction exacte du modèle, vérifiable point par point.
# Exercice 1 : TODO étudiant# 1. Prédisez le signe de l'effet de R_autre puis de S_autre avant simulation# 2. Construisez une grille 2D (R_autre x S_autre) avec gains propres toujours gelés# 3. Mesurez le taux de coopération de agent_sympathie(0.5, BETA) sur chaque cellule# 4. Comparez la frontière mesurée (taux ~ 0.5) à la droite# R + alpha*R_autre = T + alpha*S_autre, c'est-à-dire R_autre = (T - R)/alpha + S_autre# 5. Rapportez l'écart maximal entre frontière prédite et mesuréeprint("Exercice à compléter")
Exercice à compléter
Exercice 2 : un agent mixte — que mesure l’estimateur ?
Construisez un agent qui coopère par règle avec probabilité 0.5, et par meilleure réponse sympathie (alpha = 0.4) sinon. Passez-le dans l’estimateur : la pente est-elle positive ? L’alpha estimé est-il proche de 0.4 ? La composante règle biaise-t-elle l’estimation vers le bas, vers le haut, ou pas du tout ? Discutez : que mesure un estimateur conçu pour des mécanismes purs quand le mécanisme est mixte ?
Variante optionnelle — engagement vacillant sous forte tentation. Remplacez le mélange fixe par une conformité à la règle qui diminue lorsque T-R augmente. Distinguez une réponse à la tentation propre d’une réponse aux gains d’autrui : laquelle crée une pente en R_autre ?
# Exercice 2 : TODO étudiant# 1. Agent mixte : p(r_autre) = 0.5 * 1 + 0.5 * logit(alpha=0.4, r_autre)# 2. Mesurez pente + MLE avec les fonctions du notebook# 3. Comparez alpha_hat à 0.4 : biais de la composante règle sur l'estimation# Variante : faites dépendre la conformité de T-R, puis vérifiez si cela crée# ou non une pente lorsque seul R_autre varieprint("Exercice à compléter")
Exercice à compléter
Exercice 3 : la plage trop étroite — fabriquer puis quantifier l’ambiguïté
Reprenez l’agent sympathie alpha = 0.1 (seuil de coopération à R_autre = (T-R)/alpha = 20). Mesurez-le sur une grille restreinte à R_autre ∈ [0, 5] : la pente y est faible et peut être indiscernable de zéro, alors que le mécanisme est bien la sympathie. Que faut-il conclure, et que dit le garde-fou n°1 de la section Lecture honnête sur ce cas ? Quand le verdict est-il « non identifié » plutôt que « engagement » ?
Prolongez l’analyse par une étude de puissance en nombre de graines : pour 3, 5, 10, 20 puis 40 graines, répétez le banc avec plusieurs ensembles de graines et estimez la proportion d’IC de pente qui excluent zéro. Comparez ce levier à l’élargissement de la grille vers le seuil théorique.
# Exercice 3 : TODO étudiant# 1. Grille restreinte GRILLE_ETROITE = np.arange(0, 5.01, 0.5) (gains propres gelés, vérifiez)# 2. Mesurez agent_sympathie(0.1, BETA) dessus : pente + IC# 3. La pente est-elle significative ? La cellule discriminateur R_autre = 0 dit-elle quelque chose ?# 4. Pour 3, 5, 10, 20, 40 graines, estimez la puissance : fréquence des IC excluant zéro# 5. Comparez plus de graines à une grille élargie vers le seuil R_autre=20# 6. Concluez : que faudrait-il pour identifier ce mécanisme ?print("Exercice à compléter")
Exercice à compléter
Conclusion et perspectives
GT-06c avait retiré la punition et laissé un résidu : de la coopération que la menace n’explique pas, candidate à l’engagement au sens de Sen — mais suspendue au choix d’un alpha que rien ne mesurait. Ce notebook a construit l’observation qui manquait : une statique comparative sur les gains d’autrui, à gains propres gelés et vérifiés byte-identiques. La pente du taux de coopération sépare les mécanismes, l’estimateur la convertit en alpha mesuré, les contrôles négatifs prouvent qu’il sait séparer, et le protocole accepte son verdict négatif (« non identifié à ce bruit ») comme un résultat.
Deux contrôles rendent cette conclusion moins dépendante d’un choix technique : l’IRLS avec bootstrap sur les graines concorde avec la MLE profilée sur le cas calibré, et un engagement imparfait à 95 % conserve une pente au plancher ainsi que la marque de règle à R_autre=0. La méthode distingue donc une réponse aux gains d’autrui d’une règle robuste, sans exiger des comportements parfaitement déterministes.
La suite naturelle : des agents qui apprennent (GT-17, Multi-Agent RL) plutôt que des règles posées — la statique comparative s’applique telle quelle à une politique apprise, et devient un outil de diagnostic des mécanismes acquis. L’ancien GT-20, désormais GT-09b, approfondit l’engagement contraignant. Côté formel, le pont Lean de la famille (GT-06b) ouvre la question duale : quelles propriétés prouvables d’un mécanisme de décision garantissent une signature observable donnée ?
