Actuariat-05 — Valeur de l’Information en Souscription
Série : Théorie de la Décision, sous-série Actuariat (EPIC #12904, tranche T5) — suite directe de Actuariat-01 (T1 : du risque à la prime) et Actuariat-04 (T4 : ruine et capital).
Le fil rouge continue. En T1 nous avons vu l’antisélection détruire un portefeuille tarifé au prix moyen : les bons risques quittent le pool, les mauvais y restent. En T4 nous avons vu le prix de l’ignorance : provisionner à la moyenne du posterior ignore la moitié droite de la distribution. Ce notebook traite la question qui précède les deux autres : avant de tarifer, avant de provisionner — l’assureur peut-il acheter de l’information sur ses candidats, et combien vaut-elle ?
Un questionnaire médical, un examen complet, un boîtier télématique : chacun coûte de l’argent et chacun renseigne — imparfaitement — sur le type du candidat. La valeur de l’information (EVPI, EVSI — l’appareil de DecPyMC-5) donne le cadre exact pour décider si le signal vaut son prix. Et la théorie des jeux regarde la même question par l’autre bout : chez Spence (GT-17b), c’est l’assuré qui paie un signal coûteux pour se signaler comme bon risque. Miroir marché / miroir assureur.
Objectifs d’apprentissage
Poser la décision de souscription (accepter / refuser un candidat) comme un problème de décision sous incertitude, avec un seuil d’acceptation dérivable à la main.
Calculer l’EVPI de la classification parfaite des risques — le plafond de toute dépense d’information.
Calculer l’EVSI de trois signaux imparfaits (questionnaire, examen médical, télématique) et confronter chacun à son coût : la décision d’achat est un chiffre, pas une intuition.
Voir qu’un signal corrélé au risque peut avoir une EVSI nulle : seule l’information qui change la décision a de la valeur.
Propager l’incertitude de calibration du signal (PyMC) : l’EVSI elle-même devient une distribution — la décision d’achat peut être robuste ou en zone grise.
Construire le miroir de Spence : quand c’est l’assuré qui paie le signal, l’équilibre séparateur émerge — le lien explicite avec GT-17b.
Comparer signal et expérience : combien d’années sans sinistre valent un examen médical ?
import warningsimport numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport pymc as pmimport arviz as az# Supprime cet avertissement pytensor : son chemin site-packages (absolu) fuit un chemin machine# dans une sortie commitee (classe #14200, Stop & Repair). Le message est benin, il ne change rien.warnings.filterwarnings("ignore", message="Loop fusion failed because the resulting node would exceed the kernel argument limit")rng = np.random.default_rng(20260825)plt.rcParams["figure.dpi"] =110print("imports OK — pymc", pm.__version__)
imports OK — pymc 6.3.1
1. La décision de souscription sans information
Rappel du fil rouge T1/T4, à l’échelle d’une police individuelle (primes de l’ordre de quelques milliers d’euros — typique d’une assurance emprunteur ou professionnelle, ce qui rend les coûts de souscription visibles devant les primes) :
deux types de candidats : bon risque (fréquence de sinistre \(\lambda_g = 0{,}03\)/an) et mauvais risque (\(\lambda_b = 0{,}09\)/an), coût moyen d’un sinistre \(E[S] = 50\,000\) € ;
prime pure : \(\pi_g = \lambda_g E[S] = 1\,500\) €, \(\pi_b = \lambda_b E[S] = 4\,500\) € ;
dans la population des candidats : 30 % de mauvais risques — mais l’assureur ne voit pas le type, seulement le mélange : \(\pi_{\text{pool}} = 2\,400\) € ;
prime commerciale au pool avec chargement \(\theta = 10\,\%\) : \(P = 2\,640\) €.
La décision de l’assureur pour chaque candidat : accepter (résultat \(= P - \pi_{\text{type}}\)) ou refuser (résultat \(= 0\)). Définissons ces quantités et dérivons la règle optimale sans information :
# Parametres du fil rouge (echelle police individuelle)LAMBDA_G, LAMBDA_B =0.03, 0.09# frequences annuelles de sinistre (bon / mauvais)E_S =50_000.0# cout moyen d'un sinistre (EUR)P_MAUVAIS =0.30# proportion de mauvais risques parmi les candidatsTHETA =0.10# chargementPI_G, PI_B = LAMBDA_G * E_S, LAMBDA_B * E_SPI_POOL = P_MAUVAIS * PI_B + (1- P_MAUVAIS) * PI_GPRIME = PI_POOL * (1+ THETA) # prime commerciale au poolPROFIT_G = PRIME - PI_G # resultat si le candidat accepte est bon risquePROFIT_B = PRIME - PI_B # ... s'il est mauvais risque (negatif)baseline = P_MAUVAIS * PROFIT_B + (1- P_MAUVAIS) * PROFIT_G # esperance accepter-tous# Seuil d'acceptation : accepter est optimal ssi E[profit | p] = p*PROFIT_B + (1-p)*PROFIT_G > 0SEUIL = PROFIT_G / (PROFIT_G - PROFIT_B) # = 0.38 : accepter ssi P(mauvais | info) < SEUILprint(f"prime pure : pi_g = {PI_G:.0f} EUR | pi_b = {PI_B:.0f} EUR | pool = {PI_POOL:.0f} EUR")print(f"prime commerciale au pool : P = {PRIME:.0f} EUR (chargement {THETA:.0%})")print(f"profit par police acceptee : bon risque +{PROFIT_G:.0f} EUR | mauvais risque {PROFIT_B:.0f} EUR")print(f"regle optimale sans info : accepter tous -> E[profit] = {baseline:.0f} EUR par candidat")print(f"seuil de refus : P(mauvais | information) > {SEUIL:.3f}")
prime pure : pi_g = 1500 EUR | pi_b = 4500 EUR | pool = 2400 EUR
prime commerciale au pool : P = 2640 EUR (chargement 10%)
profit par police acceptee : bon risque +1140 EUR | mauvais risque -1860 EUR
regle optimale sans info : accepter tous -> E[profit] = 240 EUR par candidat
seuil de refus : P(mauvais | information) > 0.380
Interprétation des trois chiffres du fil rouge (profit pool, coûts par type, seuil de refus)
Trois chiffres structurent tout le notebook. (1) Accepter tout le monde au tarif pool rapporte en espérance +240 € par candidat — le chargement de 10 % paie le mélange. (2) Mais ce profit est une moyenne écrasée : chaque mauvais risque accepté coûte 1 860 €, chaque bon risque en rapporte 1 140. (3) La règle optimale face à une probabilité\(p\) que le candidat soit mauvais risque est triviale à dériver : accepter ssi \(p < 0{,}38\) — le seuil de refus. Toute l’information du monde ne sert qu’à déplacer \(p\) de part et d’autre de ce seuil ; c’est la clé de la suite. (Et souvenez-vous de T1 : si l’assureur ne peut refuser personne et tarife au pool, les bons risques partent chez le concurrent qui, lui, les identifie — l’antisélection travaille sous vos pieds pendant que vous calculez.)
2. EVPI : le plafond de la classification parfaite
Supposons l’information parfaite : l’assureur connaît le type de chaque candidat. La règle optimale devient triviale — refuser les mauvais risques (perte certaine de 1 860 €), accepter les bons (+1 140 €). La valeur de l’information parfaite (EVPI) est le gain d’espérance :
C’est le plafond absolu : aucune dépense d’information — questionnaire, examen, data — ne peut valoir plus que l’EVPI par candidat.
# EVPI : on refuse les mauvais risques, on accepte les bonsesperance_parfaite = (1- P_MAUVAIS) *max(PROFIT_G, 0.0) + P_MAUVAIS *max(PROFIT_B, 0.0)evpi = esperance_parfaite - baselineprint(f"E[profit | info parfaite] = {esperance_parfaite:.0f} EUR par candidat")print(f"E[profit | aucune info] = {baseline:.0f} EUR par candidat")print(f"EVPI = {evpi:.0f} EUR par candidat (plafond de toute depense d'information)")
E[profit | info parfaite] = 798 EUR par candidat
E[profit | aucune info] = 240 EUR par candidat
EVPI = 558 EUR par candidat (plafond de toute depense d'information)
Interprétation du plafond EVPI (558 € par candidat)
L’EVPI vaut 558 € par candidat : c’est exactement la part des mauvais risques (30 %) que l’assureur cesse d’absorber, soit \(0{,}30 \times 1\,860\). Aucun signal, aussi bon soit-il, ne peut rapporter davantage — un signal parfait est ce chiffre. Notons l’ordre de grandeur : tout processus de sélection qui coûterait plus de 558 € par candidat est condamné d’avance, même s’il est exact à 100 %. La question devient : à quelle fraction de ce plafond chaque signal imparfait accède-t-il, et pour quel coût ?
Exercice 1 : EVPI et structure du portefeuille
L’EVPI dépend de la proportion de mauvais risques \(p\). Complétez la fonction evpi_p(p) et la grille ci-dessous : pour \(p \in \{0{,}1,\ 0{,}2,\ 0{,}3,\ 0{,}5,\ 0{,}7\}\), calculez l’EVPI. Vérifiez votre intuition : que vaut l’EVPI à \(p = 0\) et à \(p = 1\) ? Pour quel \(p\) intermédiaire est-elle maximale ? Indice : sans information, la règle « accepter tous » n’est plus optimale quand \(p\) dépasse le seuil 0.38 — que devient alors la référence « aucune info » ?
# Exercice 1 : a completerdef evpi_p(p_mauvais):"""EVSI d'une information PARFAITE pour une proportion p_mauvais de mauvais risques."""pass# TODO etudiant : (1) profit bons/mauvais au tarif pool, (2) regle optimale SANS info# (accepter tous, ou refuser tous selon le signe de l'esperance),# (3) regle AVEC info parfaite, (4) difference.resultats_ex1 =None# TODO etudiant : dict {p: evpi} pour p dans [0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7]print("Exercice 1 a completer")print(" resultats :", resultats_ex1)
Exercice 1 a completer
resultats : None
3. Trois signaux imparfaits : Bayes à la main
L’information parfaite n’existe pas ; ce qui existe, ce sont des signaux — chacun décrit par sa sensibilité (probabilité d’alerter sur un mauvais risque) et sa spécificité (probabilité de ne pas alerter sur un bon risque), et son coût par candidat :
Signal
Sensibilité
Spécificité
Coût / candidat
Questionnaire médical (déclaratif)
0,40
0,65
15 €
Examen médical complet
0,70
0,90
90 €
Télématique (analyse d’un an de conduite)
0,90
0,97
500 €
Le théorème de Bayes transforme le signal en posterior — c’est l’application actuarielle du cours de DecPyMC-5. Pour un signal positif : \(P(\text{mauvais} \mid +) = \frac{p \cdot \text{sens}}{p \cdot \text{sens} + (1-p)(1-\text{spec})}\). Le tableau complet :
Interprétation de P(mauvais risque | signal) contre le seuil de refus
Lisez la colonne P_bad_pos contre le seuil 0.38 — c’est là que tout se joue. L’examen médical et la télématique franchissent le seuil dans les deux sens : signal positif → refus (0.75 et 0.93 de mauvais risque), signal négatif → acceptation (0.13 et 0.04). Ils changent la décision. Le questionnaire, lui, reste sous le seuil dans les deux branches (0.33 / 0.28) : même un signal positif ne suffit pas à refuser le candidat. Le signal bouge la croyance mais pas l’action — et un signal qui ne change pas l’action ne peut pas changer le résultat. C’est la leçon centrale de l’EVSI, plus forte que sa version intuitive « plus d’info = mieux » : la valeur d’un signal se mesure en décisions changées, pas en corrélations.
4. EVSI : la valeur de chaque signal contre son coût
L’espérance de valeur d’information imparfaite (EVSI) est la différence entre le profit espéré avec la règle bayésienne optimale après le signal et le profit sans information :
La décision d’achat du signal est alors un simple ligne à ligne : EVSI nette = EVSI − coût. Calculons pour les trois signaux et confrontons au plafond EVPI :
Interprétation de la décision d’achat (EVSI nette par signal)
La décision d’achat, chiffrée : le questionnaire rapporte une EVSI quasi nulle (le signal ne change aucune décision, section 3) mais coûte 15 € — net négatif, on ne l’achète pas. L’ examen médical capte 310 € de valeur (56 % du plafond EVPI) pour 90 € — net +221 €, on l’achète. La télématique est le meilleur signal en qualité (86 % du plafond) mais son coût de 500 € l’emporte sur ses 478 € d’EVSI — net marginal négatif, on ne l’achète pas en souscription une-shot. Notez la forme du problème : le classement des signaux par qualité bayésienne (télématique > examen > questionnaire) n’est PAS le classement par valeur nette (examen > télématique > questionnaire). La meilleure information n’est pas la plus exacte — c’est celle dont la précision marginale paie encore son coût.
Exercice 2 : évaluer un nouveau signal
Un fournisseur propose un score de risque basé sur les données ouvertes (âge du permis, puissance du véhicule, zone géographique) : sensibilité 0.55, spécificité 0.80, coût 60 € par candidat. Complétez le calcul de son EVSI nette avec evsi_signal, et déterminez : (1) le signal change-t-il des décisions aux deux issues (vérifiez les posteriors contre le seuil) ? (2) Quelle sensibilité minimale, à spécificité 0.80 et coût 60 € fixés, rendrait-il l’achat net positif ?
# Exercice 2 : a completerevsi_score =None# TODO etudiant : evsi_signal(0.55, 0.80) puis moins le cout 60 EURprint("Exercice 2 a completer")print(f" EVSI nette du score open-data : {evsi_score} EUR")
Exercice 2 a completer
EVSI nette du score open-data : None EUR
5. Validation Monte Carlo
L’EVSI est une espérance calculée sur deux issues — vérifions-la en simulant des candidats réels : 20 000 candidats, types et signaux tirés selon le modèle, règles appliquées, profits réalisés. C’est aussi l’occasion de voir ce que les distributions font derrière les moyennes — car un assureur ne vit pas d’espérances, il vit de trajectoires :
N_CAND =20_000def simuler_portefeuille(sens=None, spec=None, n=N_CAND, seed=7):"""Simule n candidats ; regle : accepter ssi P(mauvais | signal) < SEUIL (ou tous si pas de signal).""" r = np.random.default_rng(seed) types = r.binomial(1, P_MAUVAIS, n) # 1 = mauvais risqueif sens isNone: accepte = np.ones(n, dtype=bool)else: alerte = (r.random(n) < np.where(types ==1, sens, 1- spec)) p_pos = P_MAUVAIS * sens + (1- P_MAUVAIS) * (1- spec) p_bad_pos = P_MAUVAIS * sens / p_pos p_bad_neg = P_MAUVAIS * (1- sens) / (1- p_pos) p_bad_post = np.where(alerte, p_bad_pos, p_bad_neg) accepte = p_bad_post < SEUIL profit = np.where(accepte, PROFIT_G - (PROFIT_G - PROFIT_B) * types, 0.0)return profitregles = {"sans info": dict()}for nom, s in SIGNAUX.items(): regles[nom] = sprofits = {nom: simuler_portefeuille(s.get("sens"), s.get("spec"), seed=11+ i)for i, (nom, s) inenumerate(regles.items())}stats = pd.DataFrame({nom: dict(moyenne=p.mean(), ecart_type=p.std(), part_refuse=100* (p ==0).mean(), perte_P5=np.percentile(p, 5))for nom, p in profits.items()}).T.round(1)print(stats.to_string())fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 3.6))ax.boxplot(list(profits.values()), tick_labels=list(profits.keys()), showmeans=True)ax.axhline(0, color="black", lw=0.8)ax.set_ylabel("profit par candidat (EUR)")ax.set_title("Distribution du profit de souscription selon la regle")plt.tight_layout(); plt.show()
Interprétation de la simulation Monte-Carlo (queue de pertes, taux de refus)
La simulation confirme les espérances analytiques (moyennes MC ≈ EVSI + baseline aux fluctuations d’échantillonnage près) — mais le tableau montre ce que l’espérance cachait : le tri des candidats réduit la queue de pertes, sans la supprimer. Sans information, 30 % des candidats acceptés perdent 1 860 € chacun. Avec l’examen, les faux négatifs restent : ~9 % des candidats sont des mauvais risques au signal négatif, acceptés à tort (d’où perte_P5 = −1 860 € encore) ; la télématique, plus précise, tombe à ~3 % — et son perte_P5 passe à 0 €. Regardez aussi la ligne part_refuse : le questionnaire refuse ~0 % des candidats (conforme : il ne change aucune décision), l’examen ~28 %, la télématique ~29 % — et pourtant leurs valeurs nettes diffèrent du tout au tout, parce que la télématique paie 500 € pour ce tri quand l’examen le paie 90 €.
6. L’EVSI est elle-même incertaine : calibration bayésienne (PyMC)
D’où viennent les sensibilité/spécificité de nos signaux ? D’une étude de calibration : on a fait passer le questionnaire à 60 mauvais risques connus (24 alertes) et à 100 bons risques connus (35 fausses alertes) ; l’examen médical à 100/100 (70 et 10). Les vraies sensibilité et spécificité sont estimées, avec une incertitude qui se propage à l’EVSI — exactement le mécanisme du prix de l’ignorance de T4, mais appliqué à la qualité du signal plutôt qu’au risque. Modèle PyMC (Beta-Binomial, NUTS) :
L’examen médical est calibré serré : sensibilité ~0.70 ± 0.05, taux de faux positifs ~0.10 ± 0.03 — l’étude (100/100 observations) a fait son travail. Le questionnaire est plus incertain (sensibilité ~0.40 avec un intervalle nettement plus large relativement, faux positifs ~0.35 ± 0.05) : 60 observations sur une question plus bruitée. Vérifiez ess_bulk et r_hat : les deux doivent indiquer une convergence propre (r_hat ≈ 1.00) avant de propager — un posterior mal échantillonné propagerait son artefact dans la décision d’achat. Propageons chaque tirage posterior vers sa EVSI :
Interprétation de l’incertitude de calibration (probabilité que l’EVSI dépasse le coût)
La décision d’achat devient elle-même une statistique bayésienne. Pour l’examen médical : toute la distribution postérieure de l’EVSI est au-dessus de son coût (P(EVSI > coût) ≈ 1) — l’achat est robuste : même pessimiste sur la calibration, l’examen reste nettement rentable. Pour le questionnaire : la médiane est à ~0 €, mais 8 % des mondes possibles (calibrations meilleures que l’estimation) dépassent les 15 €, et le quantile 95 atteint 26 € — pas de quoi acheter en confiance, pas de quoi jeter le signal non plus : la décision est en zone grise. La sagesse opérationnelle : en zone grise, la prochaine dépense utile n’est pas d’acheter le signal, c’est d’acheter de l’information sur le signal (agrandir l’étude de calibration) — la valeur d’information s’applique récursivement à elle-même. C’est aussi une réponse au point EVSI ≈ 0 de la section 4 : ce n’est pas un verdict définitif, c’est une estimation entourée d’incertitude, et le calcul dit laquelle.
7. Le miroir de Spence : qui paie le signal ?
Jusqu’ici l’assureur achetait l’information. La théorie des jeux (GT-17b, Rothschild–Stiglitz et Spence) regarde la même situation par l’autre bout : c’est l’assuré qui paie un signal coûteux pour se révéler bon risque. Passer la télématique coûte 500 € ; en échange, l’assureur tarife à la prime du type révélé (prime pure + chargement) au lieu du pool. Calculons ce que chaque type gagne à porter le boîtier :
tarif_g = PI_G * (1+ THETA)tarif_b = PI_B * (1+ THETA)cout_boitier =500.0economie_bon = PRIME - tarif_g # ce que le bon risque economise en se revelantsurcout_mauvais = tarif_b - PRIME # ce que le mauvais risque paierait de plus en se revelantprint(f"tarif au pool : {PRIME:.0f} EUR/an")print(f"tarif bon risque revele : {tarif_g:.0f} EUR/an -> economie nette du boitier : {economie_bon - cout_boitier:+.0f} EUR/an")print(f"tarif mauvais risque : {tarif_b:.0f} EUR/an -> surcout du boitier : {surcout_mauvais + cout_boitier:+.0f} EUR/an")print(f"\ncout maximal du boitier separateur : c* = economie du bon risque = {economie_bon:.0f} EUR/an")print("bon risque adopte le boitier ssi c* > cout ; le mauvais risque ne l'adopte jamais (il paierait")print("le boitier ET son tarif juste : double penalite). Le boitier separe les types tout seul.")
tarif au pool : 2640 EUR/an
tarif bon risque revele : 1650 EUR/an -> economie nette du boitier : +490 EUR/an
tarif mauvais risque : 4950 EUR/an -> surcout du boitier : +2810 EUR/an
cout maximal du boitier separateur : c* = economie du bon risque = 990 EUR/an
bon risque adopte le boitier ssi c* > cout ; le mauvais risque ne l'adopte jamais (il paierait
le boitier ET son tarif juste : double penalite). Le boitier separe les types tout seul.
Interprétation de l’équilibre séparateur du boîtier télématique
Le boîtier télématique sépare les types sans que l’assureur ne décide rien : le bon risque économise 990 €/an de prime en payant 500 € de boîtier (net +490 : il adopte), le mauvais risque perdrait 2 310 € de prime plus le boîtier (il refuse). Un équilibre séparateur émerge — et il est plus fort que le tri par l’assureur de la section 4 : la télématique en souscription avait une EVSI nette négative pour l’assureur, mais portée par l’assuré elle trie gratuitement les candidats à l’entrée. C’est exactement le théorème de Spence lu à l’envers : le signal coûteux n’a pas besoin d’être acheté par celui qui valorise l’information, il suffit que son coût soit différentiel entre types. La limite (Rothschild–Stiglitz, GT-17b) : une fois les bons risques partis au tarif révélateur, le pool restant est 100 % mauvais risque et le tarif pool 2 640 € devient intenable — l’assureur doit le monter à 4 950 €, et le pool disparaît. La séparation complète n’est pas toujours un équilibre de marché viable ; c’est toute la littérature des contrats d’assurance à l’équilibre, dont GT-17b donne la version complète.
Exercice 3 : le coût séparateur maximal
Le fabricant du boîtier propose trois formules : Essential (400 €/an, sens 0.80 / spec 0.95), Premium (500 €/an, 0.90 / 0.97) et Prestige (900 €/an, 0.95 / 0.98). (1) Vérifiez que le seuil \(c^* = 990\) €/an s’applique aux trois formules vues du côté de l’assuré : lesquelles les bons risques adoptent-ils encore ? (2) Vu de l’assureur (souscription une-shot, section 4), calculez l’EVSI nette des trois formules avec evsi_signal — le classement des deux points de vue coïncide-t-il ?
# Exercice 3 : a completerformules = {"Essential": (400.0, 0.80, 0.95), "Premium": (500.0, 0.90, 0.97), "Prestige": (900.0, 0.95, 0.98)}adoption_bon_risque =None# TODO etudiant : dict {formule: bool} — cote assure (c* = 990)evsi_nette_assureur =None# TODO etudiant : dict {formule: float} — cote assureur (evsi_signal - cout)print("Exercice 3 a completer")print(" adoption par le bon risque :", adoption_bon_risque)print(" EVSI nette assureur :", evsi_nette_assureur)
Exercice 3 a completer
adoption par le bon risque : None
EVSI nette assureur : None
8. Expérience contre signal : le temps comme source d’information
Reste une dernière source d’information, gratuite celle-là : le temps. Chaque année sans sinistre est une observation du type du candidat — le mécanisme exact du posterior de T1, appliqué au renouvellement. La fréquence annuelle est faible (0.03 / 0.09), donc une année muette est une preuve faible. Combien d’années faut-il pour apprendre ce que la télématique dit en un an ?
annees = np.arange(0, 7)p_bad_experience = (P_MAUVAIS * np.exp(-LAMBDA_B * annees)/ (P_MAUVAIS * np.exp(-LAMBDA_B * annees)+ (1- P_MAUVAIS) * np.exp(-LAMBDA_G * annees)))p_pos_tel = P_MAUVAIS * SIGNAUX["telematique"]["sens"] + (1- P_MAUVAIS) * (1- SIGNAUX["telematique"]["spec"])p_bad_tele_neg = P_MAUVAIS * (1- SIGNAUX["telematique"]["sens"]) / (1- p_pos_tel)fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.5, 3.4))ax.plot(annees, p_bad_experience, marker="o", label="experience : k annees sans sinistre")ax.axhline(P_MAUVAIS, color="#999", ls=":", lw=1, label="prior (candidat nouveau)")ax.axhline(p_bad_tele_neg, color="#E6550D", ls="--", lw=1.5, label=f"telematique : 1 an, signal negatif ({p_bad_tele_neg:.2f})")ax.axhline(SEUIL, color="#2F2F2F", ls="-.", lw=1.2, label=f"seuil de refus ({SEUIL:.2f})")ax.set_xlabel("annees sans sinistre")ax.set_ylabel("P(mauvais risque | observations)")ax.set_title("L'apprentissage par l'experience est lent")ax.legend(fontsize=8)plt.tight_layout(); plt.show()print("P(mauvais) apres k annees sans sinistre :")for k, p inzip(annees, p_bad_experience):print(f" k = {k} : {p:.3f}")
P(mauvais) apres k annees sans sinistre :
k = 0 : 0.300
k = 1 : 0.288
k = 2 : 0.275
k = 3 : 0.264
k = 4 : 0.252
k = 5 : 0.241
k = 6 : 0.230
Interprétation de la discrimination par l’expérience (six ans sans sinistre)
Après six années sans sinistre, la probabilité d’être un mauvais risque n’est descendue qu’à ~0.23 — elle ne passe jamais sous le seuil de refus 0.38, et reste au-dessus de ce qu’une seule année de télématique avec signal négatif apprend (0.04). La fréquence annuelle de sinistre est trop faible pour que le temps discrimine vite : une année muette est compatible avec les deux types. Voilà pourquoi l’industrie achète des signaux à l’entrée (questionnaires, examens, données) plutôt que d’attendre l’expérience — et voilà la boucle bouclée avec T1 : le jeune cabinet qui tarifait à la moyenne du posterior apprend lentement ; le cabinet qui achète de l’information apprend vite mais cher ; la théorie de la valeur de l’information est le prix exact de l’échange.
Conclusion
Levier d’information
Valeur (EVSI)
Coût
Verdict
Classification parfaite (EVPI)
558 €/candidat
n’existe pas
plafond
Questionnaire (0.40 / 0.65)
≈ 0 €
15 €
non — ne change aucune décision
Examen médical (0.70 / 0.90)
311 €
90 €
oui — net +221 €, robuste en calibration
Télématique (0.90 / 0.97)
478 €
500 €
non en one-shot — mais sépare les types portée par l’assuré
Expérience (k années sans sinistre)
lente
gratuite en euros, chère en temps
6 ans < 1 an de télématique
Points clés. (1) La décision de souscription est un problème de décision sous incertitude avec un seuil d’acceptation dérivable à la main (\(p < 0{,}38\) ici) — toute l’information ne sert qu’à déplacer la croyance de part et d’autre de ce seuil. (2) L’EVPI (558 €) plafonne toute dépense d’information. (3) Un signal corrélé au risque mais qui ne franchit jamais le seuil a une EVSI nulle : la valeur d’une information se mesure en décisions changées. (4) L’EVSI estimée porte l’incertitude de sa calibration — propagée par PyMC, elle transforme la décision d’achat en statistique (robuste / zone grise). (5) Le même signal physique, porté par l’assuré au lieu de l’assureur, devient un mécanisme de séparation de marché (Spence, GT-17b) — qui paie l’information change ce qu’elle vaut. (6) L’expérience est une source d’information gratuite mais lente : les sinistres rares s’apprennent en années, les signaux les lisent en une fois.
Apport PyMC. Le Beta-Binomial de calibration transforme des comptages d’étude en posterior de sensibilité/spécificité ; la propagation vectorisée des tirages vers evsi_signal donne la distribution postérieure de l’EVSI — le même geste que le prix de l’ignorance de T4, ici appliqué à la qualité de l’outil de mesure plutôt qu’au risque mesuré.
Références
DecPyMC-5 — Valeur de l’Information : EVPI/EVSI, hiérarchie, calculateur générique, MCMC — l’appareil formel de ce notebook.
Actuariat-01 — Prime pure et chargement (T1) : fréquence × sévérité, antisélection, spirale d’Akerlof.
Actuariat-04 — Ruine et capital (T4) : prix de l’ignorance, propagation de posterior vers la ruine.
DecPyMC-7 — Décision séquentielle : la structure de politique optimale derrière « tester puis décider ».
Spence (1973), Job Market Signaling ; Rothschild & Stiglitz (1976), Equilibrium in Competitive Insurance Markets — le côté marché, traité dans la série GameTheory (GT-17a/17b).
