Filiation : volet T1 de la sous-série Actuariat de la Théorie de la Décision (EPIC #12904), en miroir de la jambe assurance de la Théorie des Jeux (GT-17a/17b : antisélection et screening vus du côté marché).
Objectif : répondre à une question concrète d’actuariat — comment passer d’une distribution de sinistres à un tarif commercialement justifiable ? Nous distinguons trois régimes que la théorie de la décision bayésienne classique mélange : le régime fréquentiste (paramètres connus, prime pure déterministe), le régime bayésien (incertitude sur les paramètres, la prime pure devient une distribution) et le régime commercial (le chargement transforme une estimation technique en prix de marché).
Prérequis : DecPyMC-2 (utilité, équivalent certain, prime de risque) et des bases de PyMC. Aucun prérequis en actuariat : chaque terme du métier est défini à sa première apparition.
Durée estimée : ~45 min.
1. La charnière : deux primes qui n’ont pas le même objet
Le notebook DecPyMC-2 définissait la prime de risque décisionnelle d’un individu face à une loterie :
\[\text{Prime}_{risque} = \mathbb{E}[gain] - CE\]
où \(CE\) est l’équivalent certain — le gain garanti qui laisse l’individu indifférent. Cette prime mesure ce qu’un individu accepterait de payer pour éviter le risque. L’assureur se tient de l’autre côté de la table : il achète le risque. Son point de départ n’est pas un gain espéré mais un coût espéré — et son tarif ne peut pas se déduire de la prime de risque de l’assuré seul.
Rappelons d’abord le mécanisme de DecPyMC-2 sur un exemple chiffré :
import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport pymc as pmimport arviz as az# Rappel DecPyMC-2 : prime de risque décisionnelle (CRRA) d'un assurérho =0.5# aversion relative au risqueW0 =100_000.0# richesse initiale (EUR)gains = np.array([-2_000.0, +1_000.0, +4_000.0])probas = np.array([0.2, 0.5, 0.3])def utilite_crra(w, rho):return w ** (1- rho) / (1- rho)E_gain =float(probas @ gains)E_U =float(probas @ utilite_crra(W0 + gains, rho))CE_gain = ((1- rho) * E_U) ** (1/ (1- rho)) - W0 # équivalent certain, exprimé en gainprime_risque = E_gain - CE_gainprint(f"E[gain] = {E_gain:9.1f} EUR")print(f"Équivalent certain (gain) = {CE_gain:9.1f} EUR")print(f"Prime de risque = {prime_risque:9.1f} EUR")
E[gain] = 1300.0 EUR
Équivalent certain (gain) = 1289.1 EUR
Prime de risque = 10.9 EUR
Interprétation — la prime individuelle CRRA n’est pas celle de l’assureur
Avec \(\rho = 0{,}5\), l’assuré accepterait de renoncer à une partie de l’espérance pour garantir son gain : c’est le prix subjectif du risque pour un individu seul, avec ses propres paramètres. Un assureur ne peut pas tarifer en additionnant ces primes individuelles : il porte des milliers de risques simultanément, les grands nombres se compensent, et son problème n’est pas l’aversion au risque mais l’estimation. La question actuarielle est donc tout autre : quel est le coût attendu du risque transféré, et quelle incertitude pèse sur ce coût ? C’est l’objet du régime fréquentiste de la section 2.
Le modèle canonique du coût d’assurance par assuré et par an :
Fréquence : le nombre de sinistres \(N\) par an suit une loi de Poisson \(N \sim \mathcal{P}(\lambda)\) ;
Sévérité : le coût \(S\) d’un sinistre suit une loi log-normale \(S \sim \mathcal{LN}(\mu, \sigma)\) (coûts positifs, queue lourde à droite — quelques sinistres énormes) ;
Coût total annuel : \(Y = \sum_{i=1}^{N} S_i\) (loi composée).
Deux portefeuilles aux profils opposés nous serviront de fil rouge :
# Deux portefeuilles aux profils opposésPORTEFEUILLES = {# auto tous risques : sinistres FRÉQUENTS et LÉGERS"A_auto": dict(lam=0.80, mediane_S=1_200.0, sigma_log=0.9),# responsabilité civile médicale : sinistres RARES et LOURDS"B_rc_med": dict(lam=0.05, mediane_S=90_000.0, sigma_log=1.1),}print(f"{'Portefeuille':<12}{'lambda/an':>9}{'médiane S':>10}{'E[S] (EUR)':>12}{'pi (EUR/an)':>12}")for nom, p in PORTEFEUILLES.items(): p["mu_log"] = np.log(p["mediane_S"]) p["E_S"] = np.exp(p["mu_log"] + p["sigma_log"]**2/2) p["pi"] = p["lam"] * p["E_S"]print(f"{nom:<12}{p['lam']:>9.2f}{p['mediane_S']:>10.0f}{p['E_S']:>12.0f}{p['pi']:>12.0f}")
Portefeuille lambda/an médiane S E[S] (EUR) pi (EUR/an)
A_auto 0.80 1200 1799 1439
B_rc_med 0.05 90000 164813 8241
Interprétation — des primes pures égales par des chemins opposés
La prime pure d’auto (~1 440 EUR/an) et celle de RC médicale (~8 240 EUR/an) sont du même ordre de grandeur par des chemins totalement opposés : 0,8 sinistre/an à ~1 800 EUR de coût moyen, contre 0,05 sinistre/an à ~165 000 EUR. L’espérance seule ne dit rien de la forme du risque — et c’est la forme qui va commander le chargement. Simulons la loi composée \(Y\) pour voir ce que l’assureur encaisse réellement année après année :
# Simulation Monte Carlo de la loi composée Y (coût annuel par assuré)rng = np.random.default_rng(20260825)N_ASSURES, N_ANNEES =2_000, 10def cout_par_assure_annee(p, n, rng): N = rng.poisson(p["lam"], size=n) total = np.zeros(n)for i in np.nonzero(N)[0]: total[i] = rng.lognormal(p["mu_log"], p["sigma_log"], size=N[i]).sum()return totalfig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 3.8))for ax, (nom, p) inzip(axes, PORTEFEUILLES.items()): Y = np.concatenate([cout_par_assure_annee(p, N_ASSURES, rng) for _ inrange(N_ANNEES)]) p["Y_sim"] = Y borne = np.quantile(Y[Y >0], 0.99) ax.hist(np.clip(Y, 0, borne), bins=60, color="#4878CF", alpha=0.8) ax.axvline(p["pi"], color="#D65F5F", lw=2, label=f"pi = {p['pi']:.0f}") ax.axvline(Y.mean(), color="#2F2F2F", lw=1.5, ls="--", label=f"moy. emp. = {Y.mean():.0f}") ax.set_title(f"{nom} : coût annuel par assuré") ax.set_xlabel("EUR (clip au quantile 99)") ax.set_ylabel("assurés-années") ax.legend(fontsize=8)plt.tight_layout()plt.show()for nom, p in PORTEFEUILLES.items(): Y = p["Y_sim"]print(f"{nom:<10} P(Y>pi) = {(Y > p['pi']).mean():.3f} | "f"Q95(Y) = {np.quantile(Y, 0.95):>9.0f} | Q99.5(Y) = {np.quantile(Y, 0.995):>10.0f} | pi = {p['pi']:.0f}")
Interprétation — la loi composée confirme pi mais pas sa symétrie
Deux faits structurants. (1) La moyenne empirique confirme la formule \(\pi = \lambda\,\mathbb{E}[S]\) — le régime fréquentiste tient ses promesses quand les paramètres sont connus. (2) Mais \(Y\) est asymétrique à droite : par assuré, la probabilité de dépasser la prime pure dépend très fortement du portefeuille — P(Y > π) ≈ 0,322 pour A_auto (auto tous risques, un peu moins d’un tiers des années) et seulement P(Y > π) ≈ 0,050 pour B_rc_med (RC médicale, une année sur vingt) ; quant au quantile 99,5, il monte à plusieurs fois \(\pi\) dans les deux cas. Agrégé sur un grand portefeuille, la loi des grands nombres lisse une partie de cette variance — mais pas l’incertitude sur les paramètres eux-mêmes, qui est systématique : si \(\lambda\) est sous-estimé, tous les assurés du portefeuille sont sous-tarifés ensemble. C’est la faille que le régime bayésien mesure.
Exercice 1 : prime pure et prime commerciale d’un portefeuille habitation
Un assureur démarre sur le marché habitation : fréquence \(\lambda = 0{,}15\) sinistre/an, sévérité médiane 2 800 EUR, \(\sigma = 1{,}0\) en log. Recalculer \(\mathbb{E}[S]\), la prime pure \(\pi\), puis la prime commerciale \(P = \pi / (1 - 0{,}10)\) (décomposition de chargement de la section 4).
3. Régime bayésien : les paramètres ne sont pas connus
Le régime précédent suppose \(\lambda, \mu, \sigma\)connus. En pratique un assureur ne les connaît jamais : il les estime sur un historique. Prenons deux versions du même portefeuille RC médicale :
B_jeune : un jeune cabinet mutualisé, 60 médecins assurés depuis 3 ans — l’expérience tient à une poignée de sinistres ;
B_mature : la même structure après 30 ans — un historique dix fois plus long.
Générons des historiques synthétiques (paramètres vrais identiques, seule la profondeur d’historique change) :
# Historiques synthétiques : même vérité (lam=0.05, S~LN(ln 90 000, 1.1)), profondeurs différentesrng_h = np.random.default_rng(7)N_ASSURES_B =60obs_N_jeune = rng_h.poisson(0.05* N_ASSURES_B, size=3) # 3 années de comptages annuelsobs_N_mature = rng_h.poisson(0.05* N_ASSURES_B, size=30) # 30 annéesnb_sinis_jeune =int(obs_N_jeune.sum())nb_sinis_mature =int(obs_N_mature.sum())sev_obs_jeune = rng_h.lognormal(np.log(90_000.0), 1.1, size=nb_sinis_jeune)sev_obs_mature = rng_h.lognormal(np.log(90_000.0), 1.1, size=nb_sinis_mature)print(f"B_jeune : 3 ans | comptages annuels {obs_N_jeune.tolist()} | {nb_sinis_jeune} sinistres observés")print(f"B_mature : 30 ans | {nb_sinis_mature} sinistres observés au total")print(f"Sévérités jeune (EUR) : min {sev_obs_jeune.min():>9.0f} | médiane {np.median(sev_obs_jeune):>10.0f} | max {sev_obs_jeune.max():>10.0f}")print(f"Sévérités mature (EUR) : min {sev_obs_mature.min():>9.0f} | médiane {np.median(sev_obs_mature):>10.0f} | max {sev_obs_mature.max():>10.0f}")
B_jeune : 3 ans | comptages annuels [4, 1, 4] | 9 sinistres observés
B_mature : 30 ans | 87 sinistres observés au total
Sévérités jeune (EUR) : min 13185 | médiane 103944 | max 439522
Sévérités mature (EUR) : min 8836 | médiane 75968 | max 711033
Le modèle de fréquence : une loi a priori Gamma sur \(\lambda\) (ordre de grandeur honnête — moyenne 0,05/an, coefficient de variation ~70% : on sait juste que le risque est rare), corrigée par les comptages observés via une vraisemblance de Poisson sur le total annuel du cabinet (\(\lambda \times 60\) assurés) :
# Modèle PyMC de fréquence — le même a priori pour les deux profondeurs d'historiquedef modele_frequence(obs_N):with pm.Model() as modele: lam = pm.Gamma("lam", alpha=2.0, beta=40.0) # a priori : moyenne 0.05/an, CV ~ 70% N_annuel = pm.Poisson("N_annuel", mu=lam * N_ASSURES_B, observed=obs_N) idata = pm.sample(draws=2_000, tune=1_000, chains=2, random_seed=20260825, progressbar=False, cores=2)return idataidata_freq_jeune = modele_frequence(obs_N_jeune)idata_freq_mature = modele_frequence(obs_N_mature)resume = pd.concat([ az.summary(idata_freq_jeune, var_names=["lam"]), az.summary(idata_freq_mature, var_names=["lam"]),], keys=["B_jeune (3 ans)", "B_mature (30 ans)"])print(resume.round(5))
Interprétation — trois ans de comptages ne suffisent pas à resserrer lambda
Le même a priori, deux profondeurs de données : le posterior de \(\lambda\) pour le cabinet mature est nettement plus resserré que pour le jeune cabinet (les intervalles de crédibilité ETI 89% se lisent directement dans la sortie). Avec 3 ans de comptages, l’incertitude sur la fréquence reste de l’ordre de plusieurs dizaines de pourcents — et ce n’est pas du bruit d’échantillonnage qui se moyenne sur le portefeuille (il est déjà dans la Poisson) : c’est de l’incertitude systématique. C’est précisément ce que la crédibilité actuarielle (volet T3 de l’EPIC #12904) arbitre entre expérience individuelle et expérience collective.
Faisons de même pour la sévérité :
# Modèle PyMC de sévérité — a priori d'ordre de grandeur, corrigés par les sinistres observésdef modele_severite(sev_obs):with pm.Model() as modele: mu = pm.Normal("mu", mu=np.log(50_000.0), sigma=1.0) # dizaines de milliers d'EUR sigma = pm.HalfNormal("sigma", sigma=1.0) S_obs = pm.LogNormal("S_obs", mu=mu, sigma=sigma, observed=sev_obs) idata = pm.sample(draws=2_000, tune=1_000, chains=2, random_seed=20260825, progressbar=False, cores=2)return idataidata_sev_jeune = modele_severite(sev_obs_jeune)idata_sev_mature = modele_severite(sev_obs_mature)diag = pd.concat([ az.summary(idata_sev_jeune, var_names=["mu", "sigma"]), az.summary(idata_sev_mature, var_names=["mu", "sigma"]),], keys=["jeune", "mature"])print(diag.round(3))
mean sd eti89_lb eti89_ub ess_bulk ess_tail r_hat \
jeune mu 11.34 0.4 11 12 3277 2571 1.00
sigma 1.3 0.289 0.92 1.8 3078 2422 1.00
mature mu 11.271 0.103 11 11 4020 2934 1.00
sigma 1.003 0.075 0.89 1.1 3831 2698 1.00
mcse_mean mcse_sd
jeune mu 0.0071 0.0056
sigma 0.0053 0.0047
mature mu 0.0016 0.0012
sigma 0.0012 0.0009
Interprétation — diagnostics propres, l’incertitude migre vers sigma
Les diagnostics ArviZ sont propres (ESS élevé, \(\hat{r} \approx 1{,}00\)) : les deux chaînes convergent, les posteriors sont exploitables. La sévérité du jeune cabinet (une poignée de sinistres) garde une incertitude marquée sur \(\sigma\) — le paramètre qui pilote la queue de distribution, donc les sinistres extrêmes. Il ne reste qu’à propager ces deux incertitudes vers la quantité qui intéresse l’assureur : la prime pure \(\pi = \lambda \, e^{\mu + \sigma^2/2}\).
# Propagation des posteriors vers la prime pure : pi devient une DISTRIBUTIONdef echantillons_pi(idata_freq, idata_sev, n=4_000): lam = idata_freq.posterior["lam"].values.flatten()[:n] mu = idata_sev.posterior["mu"].values.flatten()[:n] sigma = idata_sev.posterior["sigma"].values.flatten()[:n]return lam * np.exp(mu + sigma**2/2)pi_jeune = echantillons_pi(idata_freq_jeune, idata_sev_jeune)pi_mature = echantillons_pi(idata_freq_mature, idata_sev_mature)fig, ax = plt.subplots(figsize=(8.5, 3.8))ax.hist(pi_jeune, bins=70, alpha=0.65, density=True, color="#D65F5F", label="B_jeune (3 ans)")ax.hist(pi_mature, bins=70, alpha=0.65, density=True, color="#48A78C", label="B_mature (30 ans)")ax.axvline(PORTEFEUILLES["B_rc_med"]["pi"], color="#2F2F2F", lw=1.5, ls="--", label=f"pi vrai = {PORTEFEUILLES['B_rc_med']['pi']:.0f}")ax.set_xlabel("prime pure pi (EUR/an/assuré)")ax.set_ylabel("densité")ax.set_title("Distribution de la prime pure : incertitude d'estimation")ax.legend(fontsize=9)plt.tight_layout()plt.show()for nom, pi_s in [("B_jeune", pi_jeune), ("B_mature", pi_mature)]: q = np.quantile(pi_s, [0.05, 0.50, 0.95]) cv = pi_s.std() / pi_s.mean()print(f"{nom:<10} moyenne {pi_s.mean():>7.0f} | Q5 {q[0]:>7.0f} | Q50 {q[1]:>7.0f} | "f"Q95 {q[2]:>7.0f} | CV = {cv:.2f}")
Interprétation — la prime pure devient une distribution
Le régime bayésien transforme la prime pure en distribution : le cabinet mature la connaît à quelques dizaines de pourcents près, le jeune cabinet nettement moins bien (lisez les CV dans la sortie). Autrement dit, pour le jeune cabinet, tarifer à la moyenne c’est accepter une chance sur vingt d’être sous-tarifé de la moitié de la prime. Et la distribution raconte une seconde histoire : le posterior mature est bien centré sur la valeur vraie (pointillé), celui du jeune cabinet est à la fois plus large et décalé ici vers le haut — neuf sinistres observés dont la médiane (104 k EUR) dépasse la médiane vraie (90 k) suffisent à décaler l’estimation. L’incertitude d’un petit historique n’est pas que de la dispersion, c’est aussi un risque de biais d’échantillonnage : tarifer sur trois ans d’expérience, c’est accepter les deux. La question devient commerciale : comment fixer le chargement quand la volatilité de \(\pi\) est grande ?
4. Le chargement : décomposition et prime commerciale
La prime commerciale transforme l’estimation technique en prix. Convention multiplicative standard :
où le chargement \(c\) se décompose en frais (acquisition, gestion : ~5%), provision pour risques (couvrir la volatilité résiduelle : ~3%) et marge (~2%). Attention au piège de la convention : dans la forme multiplicative, le chargement s’exprime en pourcentage de la prime (le prix final), pas de la prime pure — 10% de décomposition donnent +11,1% sur \(\pi\).
# Décomposition du chargement et prime commerciale des deux portefeuillesc_frais, c_provision, c_marge =0.05, 0.03, 0.02c_total = c_frais + c_provision + c_margelignes = []for nom, p in PORTEFEUILLES.items(): P_mult = p["pi"] / (1- c_total) # convention multiplicative (en % de la prime) P_add = p["pi"] * (1+ c_total) # convention additive (en % de la prime pure) lignes.append(dict(portefeuille=nom, pi=p["pi"], P_mult=P_mult, P_add=P_add, ecart_conventions=P_mult - P_add))tbl = pd.DataFrame(lignes).round(1)print(tbl.to_string(index=False))
Interprétation — la convention de chargement vaut des millions
L’écart entre les deux conventions (~16 EUR par contrat A_auto, ~91 EUR par contrat B_rc_med) paraît anecdotique ; sur 100 000 contrats il représente plus d’un million et demi d’euros par an. La convention n’est jamais neutre et doit être contractuellement fixée. Mais la vraie question est celle du niveau de \(c\) : la décomposition 5/3/2 ci-dessus suppose un portefeuille à incertitude maîtrisée. Que se passe-t-il quand l’incertitude d’estimation est celle du jeune cabinet ?
# Chargement de sécurité nécessaire pour couvrir un quantile de piquantiles = [0.50, 0.75, 0.95, 0.99]lignes = []for nom, pi_s in [("B_jeune", pi_jeune), ("B_mature", pi_mature)]: base = pi_s.mean()for q in quantiles: c_safe = np.quantile(pi_s, q) / base -1# chargement additif couvrant le quantile q lignes.append(dict(portefeuille=nom, quantile=f"Q{int(q*100)}", c_securite=c_safe, P_associe=base * (1+ c_safe)))tbl = pd.DataFrame(lignes)tbl["c_securite"] = (tbl["c_securite"] *100).round(1)tbl["P_associe"] = tbl["P_associe"].round(0)print(tbl.to_string(index=False))
Interprétation — l’ignorance a un prix : le chargement de sécurité
Le chargement de sécurité ne coûte pas la même chose selon le portefeuille : pour intégrer le risque d’estimation (incertitude sur les paramètres \(\lambda, \mu, \sigma\) reflétée dans la largeur du posterior de \(\pi\)), le cabinet mature a besoin d’un chargement de sécurité modéré, le jeune cabinet de nettement plus — son ignorance est plus chère (comparez les lignes Q95 dans la sortie). Le message central de ce notebook : le chargement n’est pas qu’une marge. Il couvre simultanément (i) l’incertitude d’estimation — le régime bayésien de la section 3 —, (ii) la provision pour la volatilité résiduelle, (iii) les frais, (iv) la marge. C’est aussi par cette porte qu’entre la question de la ruine (quel capital immobiliser, volet T4 de l’EPIC #12904) : un tarif fixé au Q95 du posterior de \(\pi\) laisse 5% de probabilité postérieure que la prime pure sous-jacente \(\pi\) dépasse ce tarif (incertitude d’estimation, intra-posterior) — ce qui n’est PAS la même chose que 5% des années en perte technique : la probabilité annuelle que le coût réel \(Y\) dépasse la prime tarifiée relève de l’incertitude de processus (variabilité intra-annuelle des \(S\) composée avec le processus de fréquence \(N\)), et sa propagation complète demanderait de convoluer cette variabilité intra-annuelle avec l’incertitude inter-annuelle des paramètres, ce qui relève de la ruine (volet T4 de l’EPIC #12904).
Exercice 2 : chargement de sécurité du jeune cabinet au quantile 80
En reprenant pi_jeune (section 3), trouver le chargement \(c^{\star}\) tel que la prime \(P = \bar{\pi}\,(1 + c^{\star})\) couvre le quantile 80 de la distribution de \(\pi\). Comparer au chargement commercial standard de 10%.
Étapes : (1) calculer \(\bar{\pi}\) = moyenne des échantillons ; (2) extraire le quantile 80 ; (3) résoudre \(c^{\star} = Q_{80}/\bar{\pi} - 1\) ; (4) commenter l’écart avec le 10% standard.
# Exercice 2 : à compléterpi_barre =None# TODO étudiant : moyenne de pi_jeuneQ80 =None# TODO étudiant : quantile 0.80 de pi_jeunec_etoile =None# TODO étudiant : c* = Q80 / pi_barre - 1print("Exercice 2 à compléter :")print(f" pi_barre = {pi_barre}")print(f" Q80 = {Q80}")print(f" c* = {c_etoile}")print(f" (chargement commercial standard = 0.10)")
Exercice 2 à compléter :
pi_barre = None
Q80 = None
c* = None
(chargement commercial standard = 0.10)
5. Cas discriminants : décision tarifaire et antisélection
Assemblons le tableau de décision de l’actuaire : les deux portefeuilles du fil rouge plus le contraste jeune/mature, chacun avec sa prime pure, son incertitude et son chargement de sécurité nécessaire :
Interprétation — la décision tarifaire change de régime
La décision tarifaire diffère par régime : pour A_auto (paramètres stabilisés par le volume), le chargement commercial standard suffit ; pour le cabinet jeune, le chargement de sécurité nécessaire écrase la décomposition 5/3/2 — tarifer au standard, c’est subir un risque de sous-tarification systématique. Mais monter le chargement a un coût de marché : avant de conclure « gros chargement », il faut regarder la demande. C’est la sensibilité au chargement :
# Sensibilité : probabilité de perte technique et marge espérée en fonction du chargementY_mature = PORTEFEUILLES["B_rc_med"]["Y_sim"] # coûts simulés par assuré-année (régime 1)pi_B = PORTEFEUILLES["B_rc_med"]["pi"]grille_c = np.linspace(0.0, 0.6, 25)proba_perte = [(Y_mature > pi_B / (1- c)).mean() for c in grille_c]marge_par_tete = [pi_B / (1- c) - pi_B for c in grille_c]fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(8.5, 3.8))ax1.plot(grille_c *100, proba_perte, color="#D65F5F", lw=2, label="P(coût > prime)")ax1.set_xlabel("chargement c (%)")ax1.set_ylabel("probabilité de perte technique", color="#D65F5F")ax2 = ax1.twinx()ax2.plot(grille_c *100, marge_par_tete, color="#48A78C", lw=2, label="marge espérée/tête")ax2.set_ylabel("marge espérée par tête (EUR)", color="#48A78C")ax1.axvline(c_total *100, color="#2F2F2F", ls="--", lw=1, label="c standard = 10%")h1, l1 = ax1.get_legend_handles_labels()h2, l2 = ax2.get_legend_handles_labels()ax1.legend(h1 + h2, l1 + l2, loc="center right", fontsize=8)plt.title("Sensibilité au chargement : trop bas, l'assureur perd ; trop haut, l'assuré part")plt.tight_layout()plt.show()
Interprétation — monter le chargement, c’est pousser l’assuré vers la sortie
Trop bas, le chargement laisse l’assureur en perte technique trop souvent ; plus il monte, plus la marge par tête croît — dans un monde où l’assuré reste. Mais l’assuré n’est pas captif : si le prix dépasse sa disposition à payer, il résilie, et ce sont les moins risqués qui partent les premiers (ils trouvent mieux ailleurs, et ils y ont le plus intérêt). Simulons cette spirale d’antisélection, miroir exact du marché des citrons de GT-17a :
# Spirale d'antisélection : deux types cachés, tarification au mélangeE_S_B = PORTEFEUILLES["B_rc_med"]["E_S"]lam_bon, lam_mauvais =0.03, 0.09part_bons =0.50surprime_toleree =0.25# un bon risque accepte au plus 25% au-dessus de SA prime pureP_max_bon = lam_bon * E_S_B * (1+ surprime_toleree)tours = []for tour inrange(6): lam_mixte = part_bons * lam_bon + (1- part_bons) * lam_mauvais pi_mixte = lam_mixte * E_S_B P = pi_mixte / (1- c_total) tours.append(dict(tour=tour, part_bons=round(part_bons, 3), pi_mixte=round(pi_mixte), P=round(P), bons_restants=(P <= P_max_bon)))if P <= P_max_bon:break# équilibre : les bons restent part_bons *=0.55# campagne de résiliation : 45% des bons partent chez le concurrentprint(f"Disposition à payer d'un bon risque : {P_max_bon:.0f} EUR/an")print(pd.DataFrame(tours).to_string(index=False))
Interprétation — la spirale d’antisélection en six tours
Le prix au mélange dépasse immédiatement la disposition à payer des bons risques : ils partent, le portefeuille restant se dégrade, la prime pure du mélange monte, et le prix suit — jusqu’à un pool composé presque uniquement de mauvais risques, tarifé environ trois fois la prime pure initiale des bons. Tarifer au mélange sans information, c’est organiser la sélection adverse contre soi-même : c’est exactement le diagnostic d’Akerlof (GT-17a), relu du côté assureur. La réponse du marché — des gammes de contrats qui séparent les types (franchise contre prime réduite, bonus-malus) — est le screening de Rothschild-Stiglitz et Wilson traité par GT-17b. La théorie de la décision fournit le prix ; la théorie des jeux explique pourquoi un seul prix ne suffit pas.
Exercice 3 : décision tarifaire sur trois profils opposés
Trois portefeuilles vous sont confiés : (1) A_auto, paramètres connus, grand volume ; (2) B_rc_mature, 30 ans d’historique ; (3) B_rc_jeune, 3 ans d’historique. Pour chacun, indiquer le chargement de sécurité approprié et la stratégie (tarifer au standard / sur-tarifer provisoirement / refuser et mutualiser plus longtemps).
Étapes : (1) reprendre le tableau de décision ; (2) comparer CV et chargement de sécurité Q95 ; (3) proposer une décision argumentée par portefeuille.
# Exercice 3 : à compléterdecision_A =None# TODO étudiant : chargement + stratégie pour A_autodecision_Bm =None# TODO étudiant : idem pour B_rc_maturedecision_Bj =None# TODO étudiant : idem pour B_rc_jeuneprint("Exercice 3 à compléter :")for nom, d in [("A_auto", decision_A), ("B_rc_mature", decision_Bm), ("B_rc_jeune", decision_Bj)]:print(f" {nom:<12} : {d}")
Ce notebook a défait l’amalgame entre trois primes qui n’ont pas le même objet : la prime de risque décisionnelle (le prix subjectif du risque pour un individu), la prime pure\(\pi = \lambda\,\mathbb{E}[S]\) (le coût attendu du risque transféré) et la prime commerciale\(P = \pi/(1-c)\) (un prix de marché). Le chargement \(c\) n’y est pas une marge parmi d’autres : il couvre l’incertitude d’estimation — le régime bayésien montre que \(\pi\) est une distribution dont la largeur dépend de la profondeur d’historique —, la provision pour risques, les frais et la marge. Et la tarification ne se conclut jamais seule : monté trop haut, le prix déclenche la spirale d’antisélection qui vide le portefeuille de ses bons risques — le pont vers la jambe marché (GT-17a/17b) de la même EPIC actuarielle #12904.
Prolongements dans l’EPIC #12904 : la crédibilité de Bühlmann-Straub (combien créditer l’expérience individuelle contre le collectif, volet T3), la ruine et le capital (quel quantile exiger, volet T4), la valeur de l’information en souscription (combien vaut un questionnaire qui sépare les types, volet T5).
