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Ce notebook etend la serie 3 (classification topologique des jeux 2x2 de Robinson & Goforth) au cas N-personnes grace a la revue d’Archetti & Scheuring (2012), Game theory of public goods in one-shot social dilemmas without assortment, Journal of Theoretical Biology 299 : 9-20.
Le constat fondateur : aucun bien public lineaire n’a ete rapporte dans la nature — les fonctions de benefice biologiques sont saturantes ou sigmoides. Avec une fonction de benefice non-lineaire, un equilibre polymorphe stable (coexistence cooperateurs/defecteurs) emerge sans aucun assortiment (ni parentele, ni iteration).
b(i) (eq. 13), balayage (k, s, c/b), enumeration des regimes (defection pure / coexistence / bistabilite / cooperation pure), et verification de l’approximation x+ ~ (k-1)/(N-1) pour grand N.c/b avec deux trajectoires (montante puis descendante) qui peuvent diverger. La transformation du monde descriptif n’est pas inversee par sa contre-transformation.eq. 7, 9, 13 et les x+ associes sont citees d’Archetti-Scheuring 2012 (et la preuve formelle renvoyee a Archetti-Scheuring 2011 Evolution 65 : 1140-1148). Pas re-derivees par nous dans ce notebook — toute affirmation publique s’appuie sur la source, pas sur une reconstruction personnelle.convexe -> Stag-Hunt / concave -> Snowdrift est notre lecture qualitative du papier, etablie dans E2.Robinson-Goforth 2x2 <-> plan de deformation N-personnes est notre construction, pas un resultat de la source. Elle est utile pedagogiquement, mais doit rester explicitee comme telle.Ces trois points sont non negociables : confondre une dette de derivation avec un resultat acquis transforme une revue honnete en theatre anti-Hermes.
# Imports et constantes
import numpy as np
# Pas de scipy / sympy : notebook portable CPU-only
RNG = np.random.default_rng(20260822) # graine fixee pour reproductibilite
import matplotlib.pyplot as plt # figures E2b (carte) et E3 (bifurcation)
print(f"Imports OK. Numpy {np.__version__}, RNG seed=20260822")Imports OK. Numpy 2.2.6, RNG seed=20260822Nous travaillons en numpy pur pour le modele (pas de scipy, pas de sympy) — le notebook doit s’executer sur toute machine CPU avec un stack Python standard. La bibliotheque matplotlib trace les deux figures du carnet : la carte des regimes du plan (k, s) (E2b) et le diagramme de bifurcation de l’hysteresis (E3).
Pour classifier un jeu 2x2, Robinson & Goforth (2005) utilisent une representation ordinale (1=pire, 4=meilleur). Les 4 archetypes sont definis par leur profil d’incitation stricte :
Archetti & Scheuring (2012, p. 10) invoquent Robinson-Goforth comme validation independante de la parente topologique de ces quatre jeux — et c’est une donnee pour la question d’attribution ouverte dans l’EPIC distillation #12208.
Le code ci-dessous enumere les 78 profils 2x2 distincts en ordinaux selon trois niveaux emboites : 24 rangements stricts par joueur, 24 x 24 = 576 jeux bruts, quotient par orbite de 78 formes normales distinctes. (4 issues placees sur 4 cases avec repetition possible mais avec 4 valeurs distinctes au total par ligne) et verifie que les 4 archetypes apparaissent comme profils canoniques. Le but est transformer la citation qualitative du papier en une mesure verifiable sur notre machine.
# E1 — La famille 2x2 dans le plan
# Classification stricte des 4 archetypes Robinson-Goforth parmi les 78 profils distincts.
from itertools import permutations
def rgs_class(profile):
"""Classification Robinson-Goforth stricte : 4 archetypes par inequalities strictes.
profile = ((J1_00, J1_01), (J1_10, J1_11)) en ordinaux 1..4.
Renvoie : 'PD' | 'SH' | 'SD' | 'H' | 'Other'.
T = J1_10 (defecter vs cooperateur)
R = J1_00 (cooperer vs cooperateur)
P = J1_11 (defecter vs defecter)
S = J1_01 (cooperer vs defecter)
"""
T, R, P, S = profile[1][0], profile[0][0], profile[1][1], profile[0][1]
if T > R > P > S:
return 'PD'
if R > T and R > P and P > S:
return 'SH' # cooperation ET defection sont NE
if T > R > S > P:
return 'SD' # Snowdrift : cooperation faiblement dominante
if R > T and R > S > P:
return 'H' # Harmony : cooperation strictement dominante
return 'Other'
# Les 4 archetypes canoniques (reference : Robinson-Goforth 2005, p. 47-52)
PD_canon = ((3, 0), (4, 1)) # R=3, S=0, T=4, P=1 -> T=4>R=3>P=1>S=0 (strict)
SH_canon = ((4, 1), (3, 2)) # R=4, S=1, T=3, P=2 -> R=4>T=3>P=2>S=1 (strict, 4 valeurs distinctes)
SD_canon = ((2, 1), (3, 0)) # R=2, S=1, T=3, P=0 -> T=3>R=2>S=1>P=0 (Hawk-Dove)
H_canon = ((3, 2), (1, 0)) # R=3, S=2, T=1, P=0 -> R=3>T=1, R=3>S=2>P=0 (strict)
# Verification des 4 archetypes canoniques
print("Verification des 4 archetypes canoniques :")
for name, prof in [('PD', PD_canon), ('SH', SH_canon), ('SD', SD_canon), ('H', H_canon)]:
cls = rgs_class(prof)
status = 'OK' if cls == name else f'BUG (classe comme {cls})'
print(f" {name} {prof} -> {cls} [{status}]")
# Enumere tous les jeux ordinaux stricts : chaque joueur range strictement
# les 4 cases -> 4! = 24 rangements par joueur -> 24 x 24 = 576 jeux bruts.
# Renommer une strategie ou echanger les roles ne change pas le jeu : on
# reduit chaque jeu a sa forme normale (representant minimal de son orbite
# sous ces symetries) -> le compte canonique Rapoport-Guyer (1966).
def _swap_rows(m):
return (m[2], m[3], m[0], m[1]) # renomme les strategies du joueur ligne
def _swap_cols(m):
return (m[1], m[0], m[3], m[2]) # renomme les strategies du joueur colonne
def _transpose(m):
return (m[0], m[2], m[1], m[3])
def orbite(jeu):
"""Fermeture du jeu sous les renommages et l'echange des roles."""
vus, pile = {jeu}, [jeu]
while pile:
a, b = pile.pop()
for voisin in ((_swap_rows(a), _swap_rows(b)),
(_swap_cols(a), _swap_cols(b)),
(_transpose(b), _transpose(a))):
if voisin not in vus:
vus.add(voisin)
pile.append(voisin)
return vus
def archetypes_de_l_orbite(orb):
"""Archeotypes existentiels : un archeotype appartient a l'orbite s'il
existe un etiquetage du jeu ou les DEUX joueurs vivent sa signature
(T, R, P, S dans le bon ordre). La lecture du joueur colonne se fait
sur la transposee de sa matrice : son T est la case ou lui-meme defectionne."""
trouves = set()
for (a, b) in orb:
c_ligne = rgs_class((a[:2], a[2:]))
t = _transpose(b)
c_colonne = rgs_class((t[:2], t[2:]))
if c_ligne == c_colonne and c_ligne != "Other":
trouves.add(c_ligne)
return trouves
# Emboitement ordinal a trois niveaux (issue #13617) :
# Niveau 1 : permutations strictes des 4 issues -> 4! = 24 rangements par joueur.
# Niveau 2 : produit croise des deux espaces -> 24 x 24 = 576 jeux bruts.
# Niveau 3 : quotient par orbite (renommages + echanges de roles) -> 78 formes
# normales distinctes (compte canonique Rapoport-Guyer 1966).
_n_rangements = len(list(permutations([1, 2, 3, 4])))
print(f"Niveau 1 : {_n_rangements} rangements stricts par joueur (permutations 4 elements)")
print(f"Niveau 2 : produit croise = {_n_rangements} x {_n_rangements} = {_n_rangements * _n_rangements} jeux bruts")
print(f"Niveau 3 : quotient orbite = 78 formes normales distinctes (Rapoport-Guyer 1966)")
bruts = 0
orbites = {}
for J1_row in permutations([1, 2, 3, 4]):
for J2_row in permutations([1, 2, 3, 4]):
bruts += 1
o = orbite((J1_row, J2_row))
orbites[min(o)] = o
comptes = {"PD": 0, "SH": 0, "SD": 0, "H": 0, "Other": 0}
for norme, o in orbites.items():
trouves = archetypes_de_l_orbite(o)
if trouves:
for cls in trouves:
comptes[cls] += 1
else:
comptes["Other"] += 1
# Invariant : au plus UN archetype existentiel strict par orbite — si une
# orbite en realisait deux, le total depasserait len(orbites) sans erreur.
assert sum(comptes.values()) == len(orbites)
print(f"Enumeration brute : {bruts} jeux ordinaux (24 x 24 rangements stricts)")
print(f"Formes normales distinctes : {len(orbites)} jeux "
f"— compte canonique Rapoport-Guyer (1966)")
total = sum(comptes.values())
print(f"\nDistribution par archétype sur les {total} jeux canoniques :")
for cls in ["PD", "SH", "SD", "H", "Other"]:
n = comptes[cls]
pct = 100 * n / total
print(f" {cls:>5} : {n:>3} ({pct:>5.1f}%)")Verification des 4 archetypes canoniques :
PD ((3, 0), (4, 1)) -> PD [OK]
SH ((4, 1), (3, 2)) -> SH [OK]
SD ((2, 1), (3, 0)) -> SD [OK]
H ((3, 2), (1, 0)) -> H [OK]
Niveau 1 : 24 rangements stricts par joueur (permutations 4 elements)
Niveau 2 : produit croise = 24 x 24 = 576 jeux bruts
Niveau 3 : quotient orbite = 78 formes normales distinctes (Rapoport-Guyer 1966)
Enumeration brute : 576 jeux ordinaux (24 x 24 rangements stricts)
Formes normales distinctes : 78 jeux — compte canonique Rapoport-Guyer (1966)
Distribution par archétype sur les 78 jeux canoniques :
PD : 1 ( 1.3%)
SH : 6 ( 7.7%)
SD : 1 ( 1.3%)
H : 6 ( 7.7%)
Other : 64 ( 82.1%)L’enumeration brute produit 576 jeux ordinaux (24 rangements stricts par joueur, croises) ; selon l’emboitement a trois niveaux (24 x 24 -> 576 -> 78), reduits a leurs formes normales — renommer une strategie ou echanger les roles ne change pas un jeu — ils donnent 78 jeux distincts, le compte canonique de Rapoport-Guyer (1966). Sur ces 78, notre lecture stricte de Robinson-Goforth fait emerger les 4 archetypes canoniques avec leurs 4 profils canoniques specifies (T, R, P, S dans le bon ordre) : 1 PD, 6 SH, 1 SD, 6 H. Ces comptes existentiels stricts (les DEUX joueurs vivant simultanement la signature) sont une construction de ce notebook, pas un chiffre publie de Robinson-Goforth 2005. Les 64 jeux restants (82.1%) tombent dans ‘Other’ : ces profils n’ont pas de structure d’incitation stricte et sont les murs au sens de #12213 (chambres-et-murs) — leur identite se voit dans la parente topologique plutot que dans la lecture des strategies dominantes.
Archetti-Scheuring (2012, p. 10) affirment que la parente des quatre jeux n’est pas evidente dans la taxonomie classique (Rapoport-Guyer 1966) mais claire dans une classification topologique (Robinson-Goforth 2005). Notre verification ci-dessus donne chair a cette affirmation : les 4 archetypes canoniques se distinguent par leur signature topologique (les 4 inequalities strictes), pas par leur identite lexicale.
Verification croisee : les 4 profils canoniques sont les 4 elements minimaux de chaque classe au sens « un swap d’une case suffit a quitter la classe ». C’est la definition topologique de Robinson-Goforth.
E1 a classé les 78 formes normales : 14 portent un archétype (PD 1, SH 6, SD 1, H 6) et 64 restent « Other » — soit 82 % du plan. Une étiquette « Other » n’est pas une réponse, c’est un refus : cet exercice mesure pourquoi le refus tombe.
La classification d’orbite (E1) exige qu’un étiquetage du jeu fasse vivre le même archétype aux deux joueurs. Deux causes de refus sont donc possibles : (a) l’un des deux joueurs a, dans son propre ordre strict, une signature hors des quatre archétypes ; (b) les deux joueurs sont classables, mais leurs archétypes ne coïncident sous aucun étiquetage.
Objectif — au représentant canonique de chaque orbite refusée (min(orbite), la convention de E1), lire la classe des deux joueurs (lecture du joueur colonne : transposée de sa matrice, comme dans archetypes_de_l_orbite) et tabuler :
Indices
orbites (E1) contient les 78 formes normales ; archetypes_de_l_orbite(orb) rend l’ensemble des archétypes réalisables — vide pour un refus._transpose(b) avec la même convention que E1 : rgs_class((t[:2], t[2:])).[1, 2, 3, 4] lue ((R, S), (T, P)).Ce que l’exercice fait mesurer — le refus est-il porté par l’un des deux joueurs, ou par leur désaccord ? La réponse est un partage chiffré, pas une opinion.
# Exercice 1 — Anatomie des 64 refus « Other » (a completer)
# TODO etudiant : implementer les trois mesures decrites dans la cellule markdown.
# Etape 1 : extraire les orbites refusees (archetypes_de_l_orbite rend l'ensemble vide).
# Etape 2 : lire, au representant canonique (min de l'orbite), la classe des deux joueurs.
# Etape 3 : tabuler la table croisee 5x5, le partage (deux / un / aucun) et les 24 ordres d'un joueur.
# Indice : rgs_class, _transpose et archetypes_de_l_orbite sont definies en E1 et restent disponibles.
CLASSES = ["PD", "SH", "SD", "H", "Other"]
def table_des_refus(orbites):
"""Retourne la table croisee {classe_ligne: {classe_colonne: n}} sur les orbites refusees."""
# Indice : pour chaque (norme, orb) ou archetypes_de_l_orbite(orb) est vide :
# a, b = norme ; c_ligne = rgs_class((a[:2], a[2:])) ; t = _transpose(b) ;
# c_colonne = rgs_class((t[:2], t[2:])) ; puis table[c_ligne][c_colonne] += 1.
pass
def partage_des_refus(table):
"""Retourne (deux_classables_en_desaccord, un_seul_classable, aucun_classable)."""
# Indice : la somme des trois nombres vaut le nombre de refus (64).
# Indice : une classe « classable » est une classe differente de "Other".
pass
def recensement_un_joueur():
"""Retourne {classe: n} sur les 24 ordres stricts d'un joueur (permutations de 1..4)."""
# Indice : from itertools import permutations (deja importe en E1).
pass
# resultat = table_des_refus(orbites) # decommenter une fois les fonctions implementees
print("Exercice 1 a completer : anatomie des 64 jeux « Other » (table croisee, partage, recensement).")Exercice 1 a completer : anatomie des 64 jeux « Other » (table croisee, partage, recensement).Le pivot du papier (Archetti & Scheuring 2012) est la fonction de benefice non-lineaire generalisee, un sigmoide croissant a seuil :
b(i) = i^s / (i^s + k^s) (b(k) = 1/2)avec k la position du seuil (il faut environ k cooperateurs pour extraire la moitie du benefice), s la raideur de la sigmoide, et i le nombre de cooperateurs. Cette fonction interpole c
# E2 — Balayage du plan de deformation selon l'eq. 9 (Volunteer's Dilemma)
# eq. 9 : x+ = 1 - (c/b)^(1/(N-1)) — approximation s grand, k = 1.
# Remarque cle : x+ ne depend NI de k NI de s. Le balayage eq. 9 produit donc
# mecaniquement 100% coexistence sur 0 < c/b < 1 — la degeneration documentee
# ci-dessous (les 3 regimes d'Archetti-Scheuring demandent l'eq. 7, modele exact).
N = 10
s = 6.0 # s grand : domaine de validite de l'eq. 9
k_vals = np.linspace(0.5, 5.0, 19) # 19 valeurs de k
cb_vals = [0.1, 0.3, 0.5, 0.8]
def x_plus_eq9(cb, N):
"""Equilibre asymptotique x+ de l'eq. 9 (Archetti-Scheuring 2012)."""
return 1.0 - cb ** (1.0 / (N - 1))
def regime_asymptotique(x_plus):
"""Classe le regime : defection pure, coexistence, cooperation pure."""
if x_plus <= 0.0:
return 'defection'
if x_plus >= 1.0:
return 'coop_pure'
return 'coexistence'
for cb in cb_vals:
regimes = [regime_asymptotique(x_plus_eq9(cb, N)) for _ in k_vals]
print(f"c/b = {cb} : {regimes.count('defection')} defection, "
f"{regimes.count('coexistence')} coexistence, "
f"{regimes.count('coop_pure')} coop_pure (sur {len(k_vals)} valeurs de k)")
print()
print("Verification eq. 9 : x+ = 1 - (c/b)^(1/(N-1)) vs approximation (k-1)/(N-1)")
k0, cb0 = 2, 0.5
print(f" Cas : k={k0}, c/b={cb0}")
for N_test in (3, 10, 100):
x9 = x_plus_eq9(cb0, N_test)
approx = (k0 - 1) / (N_test - 1)
err_rel = abs(x9 - approx) / x9
print(f" N={N_test:3d} x+={x9:.4f} approx={approx:.4f} err_rel={err_rel:.4f}")c/b = 0.1 : 0 defection, 19 coexistence, 0 coop_pure (sur 19 valeurs de k)
c/b = 0.3 : 0 defection, 19 coexistence, 0 coop_pure (sur 19 valeurs de k)
c/b = 0.5 : 0 defection, 19 coexistence, 0 coop_pure (sur 19 valeurs de k)
c/b = 0.8 : 0 defection, 19 coexistence, 0 coop_pure (sur 19 valeurs de k)
Verification eq. 9 : x+ = 1 - (c/b)^(1/(N-1)) vs approximation (k-1)/(N-1)
Cas : k=2, c/b=0.5
N= 3 x+=0.2929 approx=0.5000 err_rel=0.7071
N= 10 x+=0.0741 approx=0.1111 err_rel=0.4990
N=100 x+=0.0070 approx=0.0101 err_rel=0.4478La sortie ci-dessus est sans appel : quelle que soit la valeur de c/b testee, les 19 valeurs de k tombent toutes dans le regime coexistence — aucune bande defection, aucune bande cooperation pure. La cause est dans la formule : l’eq. 9 donne x+ = 1 - (c/b)^(1/(N-1)), qui ne depend ni de k ni de s — balayer le plan (k, s) avec cette approximation ne peut produire qu’une colonne de regimes identiques. C’est la degenerescence documentee : les trois regimes d’Archetti-Scheuring exigent le modele exact (eq. 7), pas l’approximation grand groupe.
Le bloc de verification qui suit dit la meme chose de facon chiffree : l’approximation (k-1)/(N-1) contre x+ exact donne une erreur relative de 70 % a N=3, 50 % a N=10, 45 % a N=100 — l’erreur decroit avec N mais reste massive aux tailles de groupe biologiques. Ces erreurs sont celles de l’eq. 9 elle-meme, pas d’un defaut de mise en oeuvre.
# E2b - Modele exact (eq. 7) : carte des regimes dans le plan (k, s)
# D(x) = E_binom[b(i+1) - b(i)] - c/b avec i ~ Bin(N-1, x) : difference de payoff
# esperer cooperer - defequer, exacte a taille de groupe finie (aucune approximation).
from math import comb
N = 10
C_SUR_B = 0.2
XS = np.linspace(0.001, 0.999, 199)
def benefice(i, k, s):
"""Sigmoide croissante a seuil (Archetti-Scheuring 2012) : b(k) = 1/2."""
return 0.0 if i <= 0 else i ** s / (i ** s + k ** s)
def D_profil(x, k, s, c, n=N):
"""D(x) exact : somme binomiale des benefices marginaux, moins le cout."""
ks = k ** s
db = np.array([
((m + 1) ** s / ((m + 1) ** s + ks)) - (0.0 if m == 0 else m ** s / (m ** s + ks))
for m in range(n)
])
x = np.atleast_1d(x)
out = np.empty_like(x)
for j, xj in enumerate(x):
pmf = np.array([comb(n - 1, m) * xj ** m * (1 - xj) ** (n - 1 - m) for m in range(n)])
out[j] = pmf @ db - c
return out
def regime(k, s, c):
"""Classe le signe de D sur (0,1) : 0 defection, 1 bistable, 2 coexistence, 3 coop pure."""
pos = D_profil(XS, k, s, c) > 0
if pos.all():
return 3
if not pos.any():
return 0
croisements = int(np.sum(pos[1:] != pos[:-1]))
if croisements == 1:
return 2 if pos[0] else 1
return 1 # deux croisements : stable-bas + stable-haut
k_vals = np.linspace(0.5, 8.0, 16)
s_vals = np.linspace(1.0, 12.0, 12)
carte = np.array([[regime(k, s, C_SUR_B) for s in s_vals] for k in k_vals])
noms = {0: "defection", 1: "bistable", 2: "coexistence", 3: "coop_pure"}
print(f"Carte du plan (k, s) au modele exact : N={N}, c/b={C_SUR_B}, "
f"{len(k_vals)}x{len(s_vals)}={carte.size} cellules")
for code in (2, 1, 0, 3):
n = int((carte == code).sum())
if n:
print(f" {noms[code]:12s}: {n:3d} ({100 * n / carte.size:.1f} %)")
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
cax = ax.pcolormesh(s_vals, k_vals, carte, cmap="viridis", vmin=0, vmax=3, shading="auto")
cbar = fig.colorbar(cax, ticks=[0.35, 1.0, 1.9, 2.7])
cbar.ax.set_yticklabels(["defection", "bistable", "coexistence", "coop_pure"])
ax.set_xlabel("s (raideur de la sigmoide)")
ax.set_ylabel("k (position du seuil)")
ax.set_title(f"Modele exact (eq. 7) : regimes asymptotiques, N={N}, c/b={C_SUR_B}")
plt.show()Carte du plan (k, s) au modele exact : N=10, c/b=0.2, 16x12=192 cellules
coexistence : 32 (16.7 %)
bistable : 91 (47.4 %)
defection : 69 (35.9 %)
La figure ci-dessus est la carte promise par le titre du carnet, calculee par le modele exact (eq. 7) — trois regimes y sont mesures, et leurs bandes sont lisibles :
Aucune cellule du plan ne tombe en cooperation pure a c/b = 0.2 : le dernier cooperateur paie toujours plus que son benefice marginal a N = 10. Les comptes imprimes au-dessus de la figure quantifient chaque bande — c’est la structure du plan de deformation, mesuree, pas decrite.
E2b a compté les régimes de la carte : coexistence 32, bistable 91, defection 69 cellules (c/b = 0.2). Des comptes ne sont pas une frontière. Cet exercice trace la courbe qui sépare la defection du bistable dans le plan (k, s) : à s fixé, la plus grande valeur de k pour laquelle le régime n’est pas (ou plus) la defection, notée k*(s).
Objectif — sur une grille k de pas 0,1 sur [0.5, 8.0] (76 valeurs) et s de pas 0,5 sur [1.0, 8.0] (15 valeurs), à c/b = 0.2 :
k*(s) (deux colonnes : s, k*) ;s ? Sinon, où est le minimum, et que vaut-il ?Indices
regime(k, s, c) (E2b) rend le code 0..3 ; la defection est le code 0.k_grille[np.where(codes != 0)[0].max()] : dernière cellule non-defection en montant en k.k ≤ 8 contient la frontière sur la plage demandée. La borne basse (bistable ↔︎ coexistence) est un autre sujet : elle sort de la boîte et n’est pas demandée ici.# Exercice 2 — Frontiere defection / bistable (a completer)
# TODO etudiant : mesurer k*(s) a c/b = 0.2, puis qualifier la monotonie de la frontiere.
# Etape 1 : grille k de pas 0.1 sur [0.5, 8.0] et s de pas 0.5 sur [1.0, 8.0].
# Etape 2 : pour chaque s, coder les regimes sur la grille k (regime est definie en E2b) et lire k*(s).
# Etape 3 : tabuler (s, k*) et tracer la courbe ; reperer l'eventuel minimum et le citer.
# Indice : la frontiere cherchee est la derniere cellule non-defection en montant en k.
C_SUR_B_FRONT = 0.2 # meme ratio que la carte E2b
def frontiere_defection_bistable(k_grille, s_grille, c):
"""Retourne la liste des k*(s) : plus grand k ou le regime n'est plus la defection."""
# TODO etudiant
pass
def tracer_frontiere(s_grille, k_star):
"""Trace k*(s) et rend la figure (plt est importe en tete de notebook)."""
# TODO etudiant
pass
# k_star = frontiere_defection_bistable(k_grille, s_grille, C_SUR_B_FRONT) # decommenter une fois implemente
print("Exercice 2 a completer : frontiere defection / bistable dans le plan (k, s).")Exercice 2 a completer : frontiere defection / bistable dans le plan (k, s).Dans la region bistable de la carte E2b, le modele exact possede deux attracteurs pour les memes parametres. La consequence dynamique est un mur a memoire : quand le parametre de controle c/b traverse la fenetre bistable dans un sens puis dans l’autre, l’etat final depend du chemin parcouru —
Entre les deux saddle-nodes, un meme c/b donne deux populations distinctes selon l’histoire : c’est l’hysteresis du diagramme de bifurcation (Fig. 3A d’Archetti-Scheuring 2012), que le banc suivant mesure par continuation quasi-statique sur le modele exact — l’attracteur suivi d’un trajet n’est pas fonction d’etat du parametre.
# E3 - Mur a memoire : hysteresis REELLE du modele exact (continuation quasi-statique)
# dx/dt = x (1 - x) D(x) : dynamique replicateur aux payoffs exacts (eq. 7).
# Deterministe : pas de bruit de Langevin - l'ecart up/down ne peut plus etre un artefact.
K_E3, S_E3 = 2.0, 4.0 # point de la region bistable de la carte E2b
cb_e3 = np.linspace(0.02, 0.60, 59)
def equilibre_suivi(c, x_depart, n_iter=30000, pas=0.1):
"""Relaxe x vers l'attracteur local de dx/dt = x(1-x)D(x), en partant de x_depart.
D est tabule une fois par c sur XS puis interpole : la relaxation est poussee
a convergence (30 000 pas), sinon un D faible au petit c/b laisse la branche
basse en route et fabrique une fausse borne basse de fenetre."""
grille = D_profil(XS, K_E3, S_E3, c)
x = x_depart
for _ in range(n_iter):
D = float(np.interp(x, XS, grille))
x = x + pas * x * (1.0 - x) * D
x = min(max(x, 0.0005), 0.9995)
return x
# Trajet montante : depart en cooperation totale, c/b croit
branche_haute, x = [], 0.999
for c in cb_e3:
x = equilibre_suivi(c, x)
branche_haute.append(x)
# Trajet descendante : depart en defection, c/b decroit
branche_basse, x = [], 0.001
for c in reversed(cb_e3):
x = equilibre_suivi(c, x)
branche_basse.append(x)
branche_basse = list(reversed(branche_basse))
ecarts = np.array(branche_haute) - np.array(branche_basse)
fenetre = np.abs(ecarts) > 0.1
if fenetre.any():
cb_min, cb_max = cb_e3[fenetre].min(), cb_e3[fenetre].max()
i_max = int(np.argmax(np.abs(ecarts)))
print(f"Fenetre d'hysteresis (|up - down| > 0.1) : c/b in [{cb_min:.2f}, {cb_max:.2f}]")
print(f" Ecart max : {ecarts[i_max]:+.3f} a c/b = {cb_e3[i_max]:.2f} "
f"(x_haut = {branche_haute[i_max]:.3f}, x_bas = {branche_basse[i_max]:.3f})")
else:
print("Pas de fenetre detectee a ce pas de balayage")
print(f"\n c/b Up Down Ecart")
for j in (0, 8, 16, 24, 32, 40, 58):
print(f" {cb_e3[j]:.3f} {branche_haute[j]:.3f} {branche_basse[j]:.3f} {ecarts[j]:+.3f}")
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
ax.plot(cb_e3, branche_haute, "o-", ms=3, label="trajet montante (depart cooperation)")
ax.plot(cb_e3, branche_basse, "s-", ms=3, label="trajet descendante (depart defection)")
if fenetre.any():
ax.axvspan(cb_min, cb_max, alpha=0.15, color="gray", label="fenetre bistable")
ax.set_xlabel("c/b")
ax.set_ylabel("frequence de cooperateurs a l'equilibre")
ax.set_title(f"Diagramme de bifurcation, modele exact (k={K_E3}, s={S_E3}, N={N})")
ax.legend()
plt.show()
# Couplage ICT : la transformation n'est pas inversee par sa contre-transformation
print(f"Couplage ICT : hysteresis = dissociation-mesure (strate 7)")
print(f" Dans la fenetre, un meme c/b donne deux etats finaux selon l'histoire :")
print(f" le parametre de controle n'est pas une fonction d'etat de la population.")Fenetre d'hysteresis (|up - down| > 0.1) : c/b in [0.07, 0.27]
Ecart max : +0.482 a c/b = 0.07 (x_haut = 0.482, x_bas = 0.001)
c/b Up Down Ecart
0.020 0.635 0.635 +0.000
0.100 0.429 0.001 +0.428
0.180 0.320 0.001 +0.319
0.260 0.207 0.001 +0.207
0.340 0.001 0.001 +0.000
0.420 0.001 0.001 +0.000
0.600 0.001 0.001 +0.000
Couplage ICT : hysteresis = dissociation-mesure (strate 7)
Dans la fenetre, un meme c/b donne deux etats finaux selon l'histoire :
le parametre de controle n'est pas une fonction d'etat de la population.Le diagramme ci-dessus montre les deux branches de l’hysteresis : la branche haute (trajet montante, depart cooperation) et la branche basse (trajet descendante, depart defection) coincident hors de la fenetre bistable et se separent a l’interieur — les valeurs exactes (bornes de la fenetre, ecart maximal et son c/b) sont imprimees par le banc au-dessus de la figure. Hors fenetre, la population converge vers le meme attracteur quel que soit le point de depart ; dans la fenetre, l’etat final garde la memoire de l’origine — l’ecart entre branches EST l’hysteresis, mesuree sur le modele exact, sans bruit qui puisse la fabriquer.
Couplage ICT : la transformation du monde descriptif non inversee par sa contre-transformation est un mur a memoire — candidat direct pour la matrice ICT en tant que dissociation-mesure (un meme c/b peut donner deux populations distinctes).
E3 a mesuré un point du plan : à (k, s) = (2, 4), la fenêtre d’hystérésis fait c/b ∈ [0.07, 0.27]. Le mur à mémoire a-t-il partout la même épaisseur ? Cet exercice mesure la largeur de la fenêtre sur une grille 3 × 3 de (K, S), le reste du protocole demeurant celui de E3.
Objectif — pour K ∈ {1.5, 2.0, 2.5} et S ∈ {3.0, 4.0, 5.0} :
c/b de 31 valeurs sur [0.02, 0.60], relaxation de 30 000 pas ;Indices
c/b où |branche haute − branche basse| > 0,1 (même seuil qu’E3).equilibre_suivi (E3) fixe K_E3, S_E3 : recopier sa boucle en paramétrant (k, s), ou lui passer la grille D_profil du couple demandé.c/b, l’écart max une hauteur en fréquence.# Exercice 3 — Largeur de la fenetre d'hysteresis sur une grille (K, S) (a completer)
# TODO etudiant : mesurer la fenetre aux 9 points de la grille et degager la tendance.
# Etape 1 : ecrire une fonction fenetre_hysteresis(k, s) qui rend (cb_min, cb_max, ecart_max) ou None.
# Etape 2 : boucler sur K dans {1.5, 2.0, 2.5} et S dans {3.0, 4.0, 5.0}.
# Etape 3 : tabuler largeur = cb_max - cb_min, puis comparer les lignes (K fixe) et les colonnes (S fixe).
# Indice : recopier la boucle de equilibre_suivi en parametrant (k, s) ; garder 30 000 pas de
# relaxation (un nombre de pas trop faible fabrique une fausse borne basse de fenetre).
K_GRID = (1.5, 2.0, 2.5)
S_GRID = (3.0, 4.0, 5.0)
def fenetre_hysteresis(k, s):
"""Retourne (cb_min, cb_max, ecart_max) de la fenetre |haut - bas| > 0.1, ou None si absente."""
# TODO etudiant
pass
# for k in K_GRID:
# for s in S_GRID:
# print(k, s, fenetre_hysteresis(k, s)) # decommenter une fois implemente
print("Exercice 3 a completer : largeur de la fenetre d'hysteresis sur la grille (K, S).")Exercice 3 a completer : largeur de la fenetre d'hysteresis sur la grille (K, S).L’experience de MacLean, Fuentes Suarez et al. (2010) sur la levure mesure la frequence de cooperation dans un systeme biologique ou le benefice est non-lineaire. Resultat documente : la frequence observee est intermediaire (30 %), pas totale.
Le banc execute les trois modeles sur ces parametres et rend son verdict tel quel — les trois predictions sont imprimees avec leur erreur absolue face a la frequence observee, et le verdict du code suit un seuil declare (erreur < 0.1). Ce que le banc mesure ici : aucun des trois modeles ne passe le seuil ; le non-lineaire est le plus proche (erreur ~0.17 contre ~0.30 pour le lineaire et ~0.70 pour le Snowdrift) — la hierarchie des erreurs va dans le sens d’Archetti-Scheuring, mais l’experience executee ne reproduit pas la dissociation nette que le papier documente. Le verdict honnet du banc : verifier N, c/b et la frequence observee sur la source primaire avant d’eriger ce resultat en confirmation.
# E4 — Contre-claim execute : MacLean 2010 sur la levure
# Trois modeles sur les memes parametres : Snowdrift 2p, NPD Np lineaire, Np non-lineaire.
# Parametres ajustes pour discriminer les modeles (cite eq. 7 et 9 Archetti-Scheuring 2012).
# Parametres Archetti-Scheuring 2012 (Table 1, scenario typique biens publics biologiques)
N = 6 # taille de groupe MacLean 2010 (cohorte levure)
c_over_b = 0.5 # ratio cout / benefice typique pour le benefice biologique
freq_coop_obs = 0.30 # frequence de cooperation observee MacLean 2010 (intermediaire, 30 %)
# Modele 1 : Snowdrift 2-personnes (T > R > S > P)
# En 2p, l'equilibre est T > R > S > P : cooperation faiblement dominante
# -> prediction cooperation totale (1.0)
pred_sd = 1.0
# Modele 2 : NPD N-personnes lineaire (T > R, defection dominante)
# En Np lineaire, defection domine -> prediction defection totale (0.0)
pred_npd = 0.0
# Modele 3 : N-personnes non-lineaire (eq. 9 citee)
# Equilibre polymorphe : x+ = 1 - (c/b)^(1/(N-1))
def x_plus_archetti(N, c_over_b, k=1.0):
if N == 1:
return 1.0 if c_over_b < 1 else 0.0
base = c_over_b ** (1.0 / (N - 1))
return max(0.0, min(1.0, 1.0 - base))
pred_npl = x_plus_archetti(N, c_over_b, k=1.0)
print(f"Experience MacLean 2010 : N={N}, c/b={c_over_b}, freq_coop observee = {freq_coop_obs:.2f}")
print(f"\nPredictions des trois modeles :")
print(f" Snowdrift 2p : {pred_sd:.4f} -> erreur = {abs(pred_sd - freq_coop_obs):.4f} [{'CONFIRMEE' if abs(pred_sd - freq_coop_obs) < 0.1 else 'RATEE'}]")
print(f" NPD Np lineaire : {pred_npd:.4f} -> erreur = {abs(pred_npd - freq_coop_obs):.4f} [{'CONFIRMEE' if abs(pred_npd - freq_coop_obs) < 0.1 else 'RATEE'}]")
print(f" Np non-lineaire (eq.9) : {pred_npl:.4f} -> erreur = {abs(pred_npl - freq_coop_obs):.4f} [{'CONFIRMEE' if abs(pred_npl - freq_coop_obs) < 0.1 else 'RATEE'}]")
# Verdict
sd_ok = abs(pred_sd - freq_coop_obs) < 0.1
npd_ok = abs(pred_npd - freq_coop_obs) < 0.1
npl_ok = abs(pred_npl - freq_coop_obs) < 0.1
print(f"\nVerdict :")
if npl_ok and not sd_ok and not npd_ok:
print(f" Le modele N-personnes non-lineaire predit la freq observee (err = {abs(pred_npl - freq_coop_obs):.4f})")
print(f" Le Snowdrift 2p Echoue a predire (err = {abs(pred_sd - freq_coop_obs):.4f})")
print(f" Le NPD lineaire Echoue a predire (err = {abs(pred_npd - freq_coop_obs):.4f})")
print(f" -> Le 'rejet de la theorie des jeux' par MacLean 2010 etait un 'rejet du mauvais modele'")
print(f" -> La theorie des jeux N-personnes non-lineaire (Archetti-Scheuring 2012) reconcilie les observations")
elif npl_ok and sd_ok and npd_ok:
print(f" Les trois modeles predisent correctement sur ces parametres -- l'experience ne dissocie pas")
elif npl_ok and sd_ok:
print(f" Snowdrift et Np non-lineaire predisent -- l'experience ne dissocie pas Snowdrift vs Np non-lineaire")
elif npl_ok and npd_ok:
print(f" NPD lineaire et Np non-lineaire predisent -- l'experience ne dissocie pas lineaire vs non-lineaire")
else:
print(f" Les parametres ne reproduisent pas la dissociation documentee par Archetti-Scheuring")
print(f" -> Verifier N, c/b, freq observee sur la source primaire MacLean et al. 2010")
# Limite honnete : populations finies -> metastabilite
print(f"\nLimite (citee Archetti-Scheuring 2012 sec. 3.11.1) :")
print(f" En population finie, l'equilibre polymorphe est metastable -- la population peut")
print(f" deriver par fluctuation vers defection pure sur des temps longs. La prediction")
print(f" eq. 9 est un equilibre asymptotique, pas une trajectoire de population finie.")Experience MacLean 2010 : N=6, c/b=0.5, freq_coop observee = 0.30
Predictions des trois modeles :
Snowdrift 2p : 1.0000 -> erreur = 0.7000 [RATEE]
NPD Np lineaire : 0.0000 -> erreur = 0.3000 [RATEE]
Np non-lineaire (eq.9) : 0.1294 -> erreur = 0.1706 [RATEE]
Verdict :
Les parametres ne reproduisent pas la dissociation documentee par Archetti-Scheuring
-> Verifier N, c/b, freq observee sur la source primaire MacLean et al. 2010
Limite (citee Archetti-Scheuring 2012 sec. 3.11.1) :
En population finie, l'equilibre polymorphe est metastable -- la population peut
deriver par fluctuation vers defection pure sur des temps longs. La prediction
eq. 9 est un equilibre asymptotique, pas une trajectoire de population finie.(k, s, c/b). La carte E2b le mesure : coexistence, bistabilite et defection occupent des bandes distinctes du plan, comme les chambres et les murs du tableau 2x2.c/b peut donner deux populations distinctes).