la forme parabolique de poids 12 — la fonction η de Dedekind élevée à la puissance 24. Ramanujan l’a introduite en 1916 avec trois conjectures ; Deligne en a clos la principale en 1974 ; Serre a classifié en 1985 lesquelles puissances de η sont lacunaires — et Δ est précisément hors de la liste. Ce notebook distille quatre énoncés profonds en des expériences numériques exactes — arithmétique entière en stdlib pur, aucune approximation avant le §3 :
la multiplicativité de τ et sa récurrence sur les puissances premières (§1) ;
la congruence de Ramanujan\(\tau(n) \equiv \sigma_{11}(n) \pmod{691}\) et la loi de parité\(\tau(n)\) impair \(\iff n\) carré impair (§2) ;
la borne de Ramanujan–Deligne\(|\tau(p)| \leq 2\,p^{11/2}\), mesurée sur tous les premiers \(p \leq 300\) (§3) ;
la classification de lacunarité de Serre : les puissances \(\eta^r\) lacunaires, leurs densités mesurées — et pourquoi aucune puissance \(\Delta^b = \eta^{24b}\) ne peut y figurer (§4).
Le geste de la série : l’énoncé devient une sortie, la preuve reste citée.
« Is Ramanujan the opposite of that?… Ramanujan is completely opposite of Grothendieck. Ramanujan consists entirely of examples and calculations. » – R. Borcherds, The most magical subject in math (2026, [27:46-28:02]) – éclairage direct sur ce carnet : les congruences de τ sont des miracles calculatoires, découverts sans théorie générale, par le style exactement opposé à la montée de théories – ce que les sections suivantes vérifient nombre par nombre.
Plan
Le discriminant \(\Delta\) — une seule série entière, calculée en exact (§1)
Multiplicativité et récurrence \(\tau(p^{k+1}) = \tau(p)\,\tau(p^k) - p^{11}\,\tau(p^{k-1})\)
Congruences : \(691\) et la parité (§2)
La borne \(|\tau(p)| \leq 2\,p^{11/2}\), confrontée aux données (§3)
Lacunarité des \(\eta^r\) : Euler, Jacobi et la classification de Serre en densités mesurées (§4)
Exercices (§5)
Dépendances : stdlib (math, itertools) et matplotlib pour l’unique figure du §3. Tout le reste est de l’arithmétique entière exacte — les entiers de Python n’ont pas de borne, et c’est l’outil qui porte tout le notebook.
1. Le discriminant modulaire Δ — la série calculée en exact
Toute l’infrastructure du notebook tient en une fonction : multiplier des séries en \(q\) représentées par des listes d’entiers, l’indice étant l’exposant. Le discriminant s’obtient en enchaînant les facteurs \((1 - q^n)^{24}\) — le binôme se développe exactement, coefficient par coefficient, sans qu’aucun flottant n’approche le calcul.
\(\Delta\) n’est pas une série comme les autres : c’est la forme modulaire parabolique de poids 12 sur \(SL_2(\mathbb{Z})\), unique à scalaire près. Ses coefficients \(\tau(n)\) encodent la cohomologie \(l\)-adique de la droite projective privée de l’infini — mais pour les calculer, un produit et une boucle suffisent.
# Noyau de calcul : series en q = listes d'entiers, indice = exposant.# Tout le notebook repete ce seul schema : multiplication exacte de polynomes tronques.N =600# horizon de calcul : tous les tau(n) pour n <= Ndef fois(a, b, nmax):"""Produit de deux series tronquees a l'indice nmax (bornes incluses).""" out = [0] * (nmax +1)for i, ai inenumerate(a):if ai ==0or i > nmax:continuefor j, bj inenumerate(b):if bj ==0or i + j > nmax:continue out[i + j] += ai * bjreturn outdef c_binomial(n, k):from math import combreturn comb(n, k)def produit_e(nexpo, nmax):"""La serie complete prod_{n>=1} (1 - q^n)^nexpo, tronquee a nmax.""" serie = [1] + [0] * nmaxfor n inrange(1, nmax +1):# (1 - q^n)^nexpo : binome exact, monomes en q^{n*k} longueur =min(n * nexpo, nmax) facteur = [0] * (longueur +1)for k inrange(nexpo +1):if n * k > longueur:break facteur[n * k] = c_binomial(nexpo, k) * (-1) ** k serie = fois(serie, facteur, nmax)return serie# tau[n] = coefficient de q^n dans Delta (tau[0] = 0 : la serie commence a q^1)delta = [0] + produit_e(24, N)[0:N] # decalage : Delta = q * prod(1-q^n)^24tau = delta # tau[n] est directement delta[n] apres decalageprint("tau(1..20) =", [tau[n] for n inrange(1, 21)])print("tau(100) =", tau[100])# Premier franchissement du seuil |tau(n)| > 10^9 (palmares cite dans la lecture)seuil =10**9n_star =next(n for n inrange(1, N +1) ifabs(tau[n]) > seuil)print(f"premier |tau(n)| > 10^9 : n = {n_star}, tau({n_star}) = {tau[n_star]}")
Les premières valeurs \(1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, \dots\) sont la table A000594 de l’OEIS — la table que Ramanujan a calculée à la main en 1916 et que le produit reproduit en une fraction de seconde. Deux régularités sautent aux yeux et structurent la suite :
la croissance : \(\tau(100) = 37\,534\,859\,200\) — plus de \(3{,}7 \times 10^{10}\) alors que \(n = 100\) seulement, et le premier \(|\tau(n)| > 10^9\) arrive dès \(n = 47\) (\(\tau(47) = 2\,687\,348\,496\), seuil franchi dans la sortie ci-dessus). Le §3 montrera que cette croissance est exactement de l’ordre de \(n^{11/2}\), et pas un de plus ;
les signes alternent sans motif apparent : ni périodicité, ni monotonie. C’est le signe que τ n’est pas une fonction arithmétique élémentaire comme \(\sigma_k\) — mais le §2 révèle qu’elle en imite une modulo 691.
Multiplicativité — τ se comporte comme une série de Hecke
La propriété structurante : \(\tau\) est multiplicative au sens fort des formes de Hecke —
Le terme \(-p^{11}\) est la signature du poids 12 : c’est lui qui distingue τ d’une simple fonction multiplicativa comme \(\sigma_{11}\). Vérifions les deux lois sur tout le domaine calculé.
from math import gcddef est_premier(n):if n <2:returnFalse d =2while d * d <= n:if n % d ==0:returnFalse d +=1returnTrue# Loi 1 : multiplicativite sur les couples premiers entre eux <= 200violations = []exemples = []for m inrange(1, 201):for n inrange(1, 201):if m * n <= N and gcd(m, n) ==1:if tau[m * n] != tau[m] * tau[n]: violations.append((m, n))eliflen(exemples) <3and m >1and n >1: exemples.append((m, n, tau[m], tau[n], tau[m * n]))print("multiplicativite gcd=1, m,n <= 200 :", len(violations), "violation(s)")for m, n, tm, tn, tmn in exemples:print(f" tau({m}*{n}) = tau({tm})... tau({m})={tm}, tau({n})={tn}, tau({m*n})={tmn} = {tm}*{tn}")# Loi 2 : recurrence sur les puissances premières tau(p^{k+1}) = tau(p)tau(p^k) - p^11 tau(p^{k-1})violations_rec = []premiers_testes = [p for p inrange(2, 40) if est_premier(p)]for p in premiers_testes: pk, pk1, pk2 = p, 1, 0# tau(p^1), tau(p^0)=tau(1)=1 k =1while p ** (k +1) <= N: attendu = tau[p] * tau[p ** k] - p **11* tau[p ** (k -1)]if tau[p ** (k +1)] != attendu: violations_rec.append((p, k)) k +=1print("recurrence premier, p <= 37 :", len(violations_rec), "violation(s)","| premiers testes :", len(premiers_testes))
Zéro violation sur les deux lois, sur tout le domaine \(n \leq 600\). La récurrence des puissances premières est la plus parlante : elle dit que toute la fonction τ est déterminée par ses valeurs sur les premiers — donnez-moi \(\tau(p)\) pour chaque premier \(p\), et \(\tau(n)\) suit pour tout \(n\) par factorisation. C’est exactement la structure d’une forme propre de Hecke (Hecke, 1937), et Δ en est l’exemple prototype de poids 12.
C’est aussi la bonne nouvelle algorithmique : calculer τ par le produit coûte \(O(N^2)\) ; par la factorisation, \(O(\text{nb premiers})\) — l’exercice 1 fera construire cette voie rapide.
2. Congruences — 691 et la parité
Deux congruences, deux époques. Celle de Ramanujan (1916) : pour tout \(n\),
Autrement dit : modulo 691, la forme parabolique τ imite la série d’Eisenstein \(E_{12}\) — le monde des formes paraboliques et celui des séries d’Eisenstein se touchent. L’explication tient en un nombre : \(691\) divise le numérateur du nombre de Bernoulli \(B_{12} = -691/2730\), et c’est ce unique facteur qui fait fuiter la constante de \(E_{12}\) dans les coefficients de \(\Delta\).
Celle de la parité : \(\tau(n)\) est impair si et seulement si \(n\) est un carré impair. Elle se lit sur le produit : modulo 2, \((1-q^n)^{24}\) se réduit par triple application de \((1-x)^2 \equiv 1 + x^2\), et le produit télescopé engendre exactement les carrés impairs.
def sigma_k(n, k):"""Somme des k-iemes puissances des diviseurs de n.""" total =0for d inrange(1, n +1):if n % d ==0: total += d ** kreturn total# Loi de Ramanujan : tau(n) = sigma_11(n) mod 691 pour tout n <= 500ecarts, exemples_691 = [], []for n inrange(1, 501): diff = tau[n] - sigma_k(n, 11)if diff %691!=0: ecarts.append(n)eliflen(exemples_691) <4and n >1: exemples_691.append((n, tau[n], sigma_k(n, 11)))print("congruence mod 691, n <= 500 :", len(ecarts), "violation(s)")for n, t, s in exemples_691:print(f" n={n} : tau={t}, sigma_11={s}, difference={t - s} = {(t - s) //691} x 691")# Loi de parite : tau(n) impair si et seulement si n est un carre impaircarres_impairs = {k * k for k inrange(1, 23) if k %2==1}impairs_mesures = {n for n inrange(1, 501) if tau[n] %2!=0}print()print("n avec tau(n) impair (n <= 500) :", sorted(impairs_mesures))print("carres impairs <= 500 :", sorted(carres_impairs))print("coincidence exacte :", impairs_mesures == {c for c in carres_impairs if c <=500})# Temoignage chiffre du corps de la lecture : le cas n = 10, imprime en entiern_show =10t10, s10 = tau[n_show], sigma_k(n_show, 11)print()print(f"cas n=10 : tau={t10}, sigma_11={s10}")print(f" difference = {t10 - s10} = {(t10 - s10) //691} x 691")print("sigma_11(100) =", sigma_k(100, 11), "-- seuil d'exactitude du double 2^53 =", 2**53)
congruence mod 691, n <= 500 : 0 violation(s)
n=2 : tau=-24, sigma_11=2049, difference=-2073 = -3 x 691
n=3 : tau=252, sigma_11=177148, difference=-176896 = -256 x 691
n=4 : tau=-1472, sigma_11=4196353, difference=-4197825 = -6075 x 691
n=5 : tau=4830, sigma_11=48828126, difference=-48823296 = -70656 x 691
n avec tau(n) impair (n <= 500) : [1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441]
carres impairs <= 500 : [1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441]
coincidence exacte : True
cas n=10 : tau=-115920, sigma_11=100048830174
difference = -100048946094 = -144788634 x 691
sigma_11(100) = 10004885401585844040103 -- seuil d'exactitude du double 2^53 = 9007199254740992
Lecture du résultat
Les deux lois tiennent sur tout le domaine. La congruence de 691 est la plus spectaculaire : \(\tau(10) = -115920\) et \(\sigma_{11}(10) = 100\,048\,830\,174\) n’ont visiblement rien à voir — leur différence est \(-100\,048\,946\,094 = 691 \times (-144\,788\,634)\), un multiple exact de \(691\) — le cas \(n = 10\) est imprimé en entier dans la sortie ci-dessus. Multiplier des entiers sans erreur d’arrondi, c’est la condition de possibilité de cette distillation : en flottant, \(\sigma_{11}(100) = 10\,004\,885\,401\,585\,844\,040\,103 \approx 10^{22}\) dépasse déjà le seuil d’exactitude des doubles (\(2^{53} \approx 9{,}0 \times 10^{15}\), deux valeurs mesurées dans la sortie ci-dessus) — sur tout le domaine \(n \le 500\), la congruence ne serait même plus vérifiable.
La loi de parité est le genre de résultat que la computation découvre avant que la théorie ne l’explique : la liste des \(n\) à \(\tau(n)\) impair est exactement \(1, 9, 25, 49, \dots\) — les carrés des impairs. Le §4 refera ce geste à plus grande échelle : lire une classification (celle de Serre) directement dans les densités mesurées.
3. La borne de Ramanujan–Deligne — |τ(p)| ≤ 2 p^(11/2)
La conjecture centrale de Ramanujan (1916) : pour tout premier \(p\),
\[|\tau(p)| \leq 2\,p^{11/2}.\]
C’est l’analogue pour \(\Delta\) de l’inégalité \(|2\cos\theta| \leq 2\) : on peut écrire \(\tau(p) = 2\,p^{11/2}\cos\theta_p\), et la borne dit que l’angle \(\theta_p\) est réel. La preuve a demandé un demi-siècle : Deligne 1974, comme corollaire des conjectures de Weil — la même machinerie que la borne de Hasse–Weil du notebook 01 de cette série, un étage au-dessus. Aucune preuve élémentaire n’est connue.
Ce que le calcul peut faire : mesurer le ratio \(r(p) = |\tau(p)| / (2\,p^{11/2})\) sur tous les premiers \(p \leq 300\), et vérifier que la barre à 1 n’est jamais franchie — tout en s’en approchant.
import matplotlib# Backend inline (convention serie) : la figure vit dans la sortie de cellulematplotlib.use('module://matplotlib_inline.backend_inline')import matplotlib.pyplot as pltpremiers = [p for p inrange(2, 301) if est_premier(p)]ratios = [abs(tau[p]) / (2.0* p **5.5) for p in premiers]r_max, p_max =max(ratios), premiers[ratios.index(max(ratios))]r_min, p_min =min(ratios), premiers[ratios.index(min(ratios))]print(f"premiers testes : {len(premiers)} (2 .. {premiers[-1]})")print(f"ratio max : {r_max:.4f} atteint en p = {p_max} (tau({p_max}) = {tau[p_max]})")print(f"ratio min : {r_min:.4f} atteint en p = {p_min}")print(f"borne violée : {'OUI'ifany(r >1for r in ratios) else'NON'} — le maximum observe frôle 1 sans le franchir")fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4))ax.scatter(premiers, ratios, s=14, color="#1a6faf", label=r"$r(p) = |\tau(p)| / (2p^{11/2})$")ax.axhline(1.0, color="#c0392b", lw=1.4, ls="--", label="borne de Ramanujan–Deligne $r = 1$")ax.set_xlabel("premier $p$")ax.set_ylabel("$r(p)$")ax.set_title(r"La borne $|\tau(p)|\leq 2p^{11/2}$ mesuree sur les premiers $p \leq 300$")ax.legend(loc="lower right", fontsize=9)fig.tight_layout()plt.show()
premiers testes : 62 (2 .. 293)
ratio max : 0.9594 atteint en p = 103 (tau(103) = -225755128648)
ratio min : 0.0089 atteint en p = 43
borne violée : NON — le maximum observe frôle 1 sans le franchir
Lecture du résultat
Le nuage danse sous la ligne rouge et s’en approche par en dessous : ratio maximal \(0{,}96\) (atteint en \(p = 103\)), minimum \(0{,}009\) (en \(p = 43\)), jamais au-dessus. Deux lectures s’offrent, et la seconde est la vraie richesse de la figure :
la borne tient — c’est la vérification numérique du théorème de Deligne, la seule qu’un calcul puisse offrir ; la preuve, elle, vit dans la cohomologie étale et ne se distille pas ;
la borne est optimale — les ratios ne s’écrasent pas vers 0 en croissant : ils peuplent tout l’intervalle \([0, 1]\) avec une densité qui ne diminue pas. C’est la conjecture de Sato–Tate (démontrée par Barnet-Lamb, Geraghty, Harris et Taylor en 2011) : les angles \(\theta_p\) s’équidistribuent selon la loi \((2/\pi)\sin^2\theta\). Un au-dessus de 1 infirmerait Deligne ; un nuage qui fuirait vers 0 infirmerait Sato–Tate. Le calcul ne voit ni l’un ni l’autre.
Les nombres premiers où \(r(p)\) monte vers son maximum (les \(\theta_p\) proches de 0 ou \(\pi\)) sont rares mais présents à toute échelle — exactement ce que prédit la densité \(\sin^2\) aux extrémités.
4. Lacunarité des puissances de η — Euler, Jacobi, Serre
Une série est lacunaire si une proportion positive de ses coefficients est nulle. La fonction η de Dedekind,
est la brique dont Δ est la puissance 24 : \(\Delta = \eta^{24}\). La question : pour quels exposants \(r\) la série \(\eta^r\) est-elle lacunaire ? La réponse occupe deux siècles —
Les deux premiers exposants par Euler (1747, théorème des nombres pentagonaux) et Jacobi (1829) ; les sept exposants pairs par Serre (Sur la lacunarité des puissances de η, Glasgow Math. J. 27, 1985) — chacun correspond à une forme à multiplication complexe, série thêta d’un caractère de Hecke sur un corps quadratique imaginaire. Pour tout autre \(r\), la densité de zéros est nulle.
Le calcul mesure la frontière : développer \(\prod (1-q^n)^r\) en exact — c’est \(\eta^r\) au facteur \(q^{r/24}\) près, décalage qui ne change ni les zéros ni la densité — compter les zéros sur 600 coefficients, et lire la classification dans la table.
# Densite de zeros des coefficients de eta^r, dans et hors la liste de SerreN4 =600exposants = [1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 26, 12, 24, 48]liste_serre = {2, 4, 6, 8, 10, 14, 26}resultats = {}for r in exposants: serie = produit_e(r, N4) zeros =sum(1for c in serie[1:N4 +1] if c ==0) resultats[r] = (zeros, zeros / N4)print(f"{'r':>4}{'zeros':>7}{'n <=':>6}{'densite':>9} lecture")for r in exposants: z, d = resultats[r]if r ==1: verdict ="lacunaire -- Euler (nombres pentagonaux)"elif r ==3: verdict ="lacunaire -- Jacobi (nombres triangulaires)"elif r in liste_serre: verdict ="lacunaire -- Serre (multiplication complexe)"else: verdict ="non lacunaire -- 0 zero mesure"print(f"{r:>4}{z:>7}{N4:>6}{d:>9.3%}{verdict}")
La table se lit en deux blocs. Les neuf exposants de la liste affichent des densités massives, de 16,5 % (\(r = 26\)) à 94,3 % (\(r = 3\)) ; les trois hors liste — 12, 24, 48 — affichent zéro zéro sur 600 termes. La frontière de Serre n’est pas progressive : elle est sèche.
Et \(r = 24\) dans la colonne non lacunaire, c’est Δ lui-même. Aucune puissance \(\Delta^b = \eta^{24b}\) ne peut appartenir à la liste — \(24b \geq 24\) ne coïncide jamais avec un exposant de Serre — donc aucune puissance de Δ n’est lacunaire. La question la plus fine reste ouverte : la conjecture de Lehmer demande si \(\tau(n)\) peut s’annuler une seule fois — aucun zéro n’est connu, et il n’y en a pas un seul pour \(n \leq 600\) ici.
Les zéros des exposants à multiplication complexe n’obéissent à aucune progression simple : ceux de \(\eta^2\) visitent les quatre classes modulo 4. Leur structure vit dans la théorie des caractères de Hecke. Mais pour \(r = 1\) et \(r = 3\), les deux aînés, la structure est complète — et vérifiable coefficient par coefficient.
# Les deux lacunarites EXACTES : Euler (r=1) et Jacobi (r=3)# prod(1-q^n) : non nuls aux nombres pentagonaux g_k = k(3k+-1)/2, valeurs (-1)^k# prod(1-q^n)^3 : non nuls aux nombres triangulaires t_k = k(k+1)/2, valeurs (-1)^k(2k+1)P1 = produit_e(1, N4)P3 = produit_e(3, N4)pentagonaux = {k * (3* k + s) //2for k inrange(1, 25) for s in (-1, 1)}triangulaires = {k * (k +1) //2for k inrange(0, 40)}euler_support =all((P1[n] ==0) == (n notin pentagonaux) for n inrange(1, N4 +1))euler_valeurs =all(abs(P1[n]) <=1for n inrange(1, N4 +1))print("Euler : zeros de prod(1-q^n) = exactement les non-pentagonaux :", euler_support)print(" |coefficients| <= 1 sur tout le domaine :", euler_valeurs)jacobi_support =all((P3[n] ==0) == (n notin triangulaires) for n inrange(1, N4 +1))jacobi_valeurs =all(P3[k * (k +1) //2] == (-1) ** k * (2* k +1) for k inrange(0, 35))print("Jacobi : zeros de prod(1-q^n)^3 = exactement les non-triangulaires :", jacobi_support)print(" coefficients en t_k = (-1)^k (2k+1) :", jacobi_valeurs)
Euler : zeros de prod(1-q^n) = exactement les non-pentagonaux : True
|coefficients| <= 1 sur tout le domaine : True
Jacobi : zeros de prod(1-q^n)^3 = exactement les non-triangulaires : True
coefficients en t_k = (-1)^k (2k+1) : True
Lecture du résultat
Deux identités complètes, vérifiées coefficient par coefficient sur 600 termes :
Euler (1747) : \(\prod (1-q^n) = \sum_k (-1)^k \left( q^{k(3k-1)/2} + q^{k(3k+1)/2} \right)\) — la série n’a de non nuls que sur les nombres pentagonaux généralisés, où elle vaut \(\pm 1\). Sur 600 termes : 39 coefficients non nuls.
Jacobi (1829) : \(\prod (1-q^n)^3 = \sum_k (-1)^k (2k+1)\, q^{k(k+1)/2}\) — support triangulaire, valeurs impairs alternés. Sur 600 termes : 34 coefficients non nuls.
La lacunarité de ces deux-là est exponentiellement forte (presque tous les coefficients sont nuls), celle des sept exposants de Serre est positive (de 16 % à 50 %) — deux régimes que la table sépare nettement. Entre 1829 et 1985 : la classification des formes à multiplication complexe, que le théorème de densité de Chebotarev fournit à Serre.
Quant à \(\Delta = \eta^{24}\) : hors liste, zéro zéro — et personne n’en a jamais trouvé un seul depuis que Lehmer a posé la question en 1947.
5. Exercices
Trois exercices, du plus direct au plus ouvert. Les stubs sont volontairement incomplets (convention C.1) : chaque fonction retourne None tant que l’étudiant ne l’a pas écrite, et le notebook s’exécute de bout en bout sans erreur.
# Exercice 1 : tau par factorisation — la voie rapide.# La recurrence du §1 determine tau(n) a partir des seules valeurs tau(p) :# tau(mn) = tau(m) tau(n) si gcd(m, n) = 1# tau(p^{k+1}) = tau(p) tau(p^k) - p^11 tau(p^{k-1})# Ecrire tau_rapide(n) qui factorise n puis reconstruit tau(n) sans jamais# developper le produit de Delta.def tau_rapide(n):"""tau(n) par multiplicativite + recurrence, sans produit de series."""# TODO etudiant : factoriser n, appliquer les deux lois du §1# Indice : la table des tau(p) se lit sur tau[] deja calculee (mais on peut# aussi la reconstruire par produit_e(24, ...) sur les seuls premiers)print("Exercice a completer : tau_rapide")returnNone# Verification attendue : tau_rapide(100) == 37534859200, tau_rapide(2*3*5*7) == tau(210)resultat_1 = tau_rapide(100)if resultat_1 isnotNone:print("tau_rapide(100) =", resultat_1, "| attendu :", tau[100])
Exercice a completer : tau_rapide
# Exercice 2 : le premier depassement — quand tau croise un seuil.# Trouver le plus petit n tel que |tau(n)| > 10^10 (le tableau tau[] monte# a N = 600 : la reponse y est, mais l'exercice est de la chercher par# balayage, puis de commenter la position trouvee au regard de la borne# n^{11/2} du §3).def premier_depassement(seuil):"""Plus petit n avec |tau(n)| > seuil, ou None si absent du domaine."""# TODO etudiant : balayer tau[] et retourner le premier n qui depasse# Indice : abs(tau[n]) > seuil ; penser au cas ou aucun n du domaine ne convientprint("Exercice a completer : premier_depassement")returnNoneresultat_2 = premier_depassement(10**10)if resultat_2 isnotNone:print("premier n avec |tau(n)| > 1e10 :", resultat_2)print("a titre de comparaison : n^{11/2} pour ce n =", resultat_2 **5.5)
Exercice a completer : premier_depassement
# Exercice 3 : predire la lacunarite AVANT de mesurer.# Pour r = 9 et r = 16 : la liste {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 26} tranche# sans calcul. Ecrire densite_zeros(r, horizon) qui developpe prod(1-q^n)^r# et retourne (nb_zeros, densite), verifier la prediction — puis expliquer# pourquoi la ligne r = 10 de la table du §4, elle, est lacunaire a 31 %# alors que r = 9 et r = 16 ne le sont pas du tout.def densite_zeros(r, horizon):"""(nb_zeros, densite) des coefficients de prod(1-q^n)^r jusqu'a horizon."""# TODO etudiant : adapter produit_e(r, ...) comme dans la table du §4# Indice : compter les coefficients nuls sur les positions 1..horizonprint("Exercice a completer : densite_zeros")returnNonefor r_exo in (9, 16): resultat_3 = densite_zeros(r_exo, 300)if resultat_3 isnotNone:print(f"r = {r_exo} : {resultat_3[0]} zeros, densite {resultat_3[1]:.3%}")
Exercice a completer : densite_zeros
Exercice a completer : densite_zeros
Conclusion
Ce que la distillation a calculé :
τ est multiplicative à récurrence près — deux lois exactes, zéro violation sur \(n \leq 600\), et la récurrence \(\tau(p^{k+1}) = \tau(p)\tau(p^k) - p^{11}\tau(p^{k-1})\) réduit toute la fonction à ses valeurs sur les premiers ;
la congruence de Ramanujan\(\tau(n) \equiv \sigma_{11}(n) \pmod{691}\) et la loi de parité tiennent sur tout le domaine — la première fait toucher paraboliques et Eisenstein, la seconde se lit dans les carrés impairs ;
la borne de Deligne\(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}\) n’est jamais violée et le nuage des ratios s’en approche par en dessous — le régime prédit par Sato–Tate ;
la classification de Serre est lisible dans les densités : neuf exposants \(\eta^r\) lacunaires — \(\eta\) et \(\eta^3\) exactement (Euler : pentagonaux, \(\pm 1\) ; Jacobi : triangulaires, \((-1)^k(2k+1)\)), les sept exposants à multiplication complexe entre 16 % et 51 % — et zéro zéro pour tous les autres, \(\Delta = \eta^{24}\) compris, dont Lehmer conjecture qu’il ne s’annule jamais ;
La frontière reste nette entre distiller et prouver : les quatre lois se vérifient ici, aucune ne se démontre en stdlib — la borne de Deligne vit dans la cohomologie étale, la lacunarité dans Chebotarev. Le versant preuves de la série vit dans les lakes compagnons (serre100_lean/, grain 9 #16374).
Ressources
Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic, Springer GTM 7 — ch. VII : formes modulaires, \(\Delta\), τ, la conjecture de Ramanujan énoncée.
Jean-Pierre Serre, Sur la lacunarité des puissances de η, Glasgow Mathematical Journal 27 (1985) — la classification des \(\eta^r\) lacunaires (l’outil : Quelques applications du théorème de densité de Chebotarev, Publ. Math. IHÉS 54, 1981).
Pierre Deligne, La conjecture de Weil. I, Publ. Math. IHÉS 43 (1974) — la preuve de la borne de Ramanujan.
Barnet-Lamb, Geraghty, Harris, Taylor, A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy II (2011) — Sato–Tate pour les formes de poids ≥ 2.
OEIS A000594 — la table de Ramanujan, valeur par valeur.
Série Serre 100 — les distillations sœurs (corps finis, adèles, Čech, Yoneda, caractères, Minkowski).
