Monstrous Moonshine : l’invariant \(j\) et le monstre

Série Langlands, notebook 2 — à la suite de 01 — Formes modulaires : de \(SL_2(\mathbb{Z})\) aux opérateurs de Hecke (notebook 01 de la série, PR #17972).

En 1978, John McKay remarque une coïncidence obscène :

\[196\,884 = 196\,883 + 1\]

Le membre de gauche est le coefficient de \(q\) dans l’invariant modulaire \(j\) ; le membre de droite est la dimension de la plus petite représentation non triviale du groupe monstre \(M\) (à un \(1\) près — la représentation triviale). Conway et Norton formalisent en 1979 la « Moonshine conjecture » : chaque coefficient de \(j\) se décompose en dimensions de représentations irréductibles de \(M\), et plus généralement les séries de Thompson associées à chaque élément du groupe sont des fonctions modulaires de genre zéro. Richard Borcherds la prouve en 1992 (médaille Fields 1998) via les algèbres vertex — la même structure qui décrit les cordes bosoniques.

Ce notebook calcule tout cela : séries d’Eisenstein, discriminant \(\Delta\), coefficients de \(j\), décompositions de McKay vérifiées par recherche exacte, croissance asymptotique de Rademacher, valeurs spéciales \(j(i) = 1728\) et le nombre quasi entier de Heegner \(163\) — en resserrant au passage le récit de la chasse au monstre (§3) et en rendant visible, sur le dodécaèdre, la recette qui mène au monstre (sous-groupe monomial + élément exotique). Trois exercices jalonnent le parcours.

1. Séries d’Eisenstein

Pour \(k \geq 4\) pair, la série d’Eisenstein

\[E_k(\tau) = 1 - \frac{2k}{B_k} \sum_{n \geq 1} \sigma_{k-1}(n)\, q^n, \qquad q = e^{2i\pi\tau}, \qquad \sigma_{k-1}(n) = \sum_{d \mid n} d^{k-1}\]

est une forme modulaire de poids \(k\) pour \(SL_2(\mathbb{Z})\). Deux d’entre elles engendrent toute l’algèbre : \(E_4\) et \(E_6\).

« 24 is also the number of transverse bosonic string theory dimensions. » – R. Borcherds [11:56] : la première des « coïncidences cordes » de l’entretien – 24, à la fois la graduation des séries d’Eisenstein et du moonshine, et la dimension des cordes bosoniques transverses.

def sigma(n, k):
    # Somme des puissances k-iemes des diviseurs de n.
    return sum(d ** k for d in range(1, n + 1) if n % d == 0)

M = 20  # ordre de troncature des q-expansions

def serie_eisenstein(k, M):
    # Coefficients [a_0, ..., a_M] de E_k, entiers (2k/B_k = 240 pour k=4, -504 pour k=6).
    c = {4: 240, 6: -504}[k]
    return [1] + [c * sigma(n, k - 1) for n in range(1, M + 1)]

E4 = serie_eisenstein(4, M)
E6 = serie_eisenstein(6, M)
print("E4 =", E4[:8], "...")
print("E6 =", E6[:8], "...")
assert E4[:5] == [1, 240, 2160, 6720, 17520]
assert E6[:5] == [1, -504, -16632, -122976, -532728]
print("Identites de reference (240*sigma_3, -504*sigma_5) : verifiees.")

E4 = [1, 240, 2160, 6720, 17520, 30240, 60480, 82560] ...
E6 = [1, -504, -16632, -122976, -532728, -1575504, -4058208, -8471232] ...
Identites de reference (240*sigma_3, -504*sigma_5) : verifiees.

Les premiers termes se lisent directement : \(\sigma_3(1)=1 \to 240\), \(\sigma_3(2)=1+8=9 \to 2160\), \(\sigma_5(2) = 1+32 = 33 \to -504 \times 33 = -16\,632\).

2. Le discriminant et l’invariant \(j\)

L’anneau des formes modulaires pour \(SL_2(\mathbb{Z})\) est \(\mathbb{C}[E_4, E_6]\). La forme

\[\Delta = \frac{E_4^3 - E_6^2}{1728} = q \prod_{n \geq 1} (1 - q^n)^{24}\]

de poids 12 s’annule à l’infini sans s’annuler dans le demi-plan (c’est le \(\Delta\) du notebook 01, dont les coefficients sont les \(\tau(n)\) de Ramanujan). L’invariant modulaire

\[j = \frac{E_4^3}{\Delta} = q^{-1} + 744 + 196\,884\, q + 21\,493\,760\, q^2 + \cdots\]

est une fonction modulaire de poids 0, à coefficients entiers — et elle classe les courbes elliptiques complexes à isomorphisme près.

def produit(a, b, M):
    # Produit de deux series tronquees (indices 0..M).
    out = [0] * (M + 1)
    for i in range(M + 1):
        for k in range(i + 1):
            out[i] += a[k] * b[i - k]
    return out

def puissance(a, e, M):
    r = [1] + [0] * M
    for _ in range(e):
        r = produit(r, a, M)
    return r

def inverse_unitaire(D, M):
    # Inverse d'une serie D a constante 1 : coefficients entiers, recursif.
    inv = [0] * (M + 1)
    inv[0] = 1
    for n in range(1, M + 1):
        inv[n] = -sum(D[k] * inv[n - k] for k in range(1, n + 1))
    return inv

E4_3 = puissance(E4, 3, M)
E6_2 = puissance(E6, 2, M)
Delta = [(E4_3[i] - E6_2[i]) // 1728 for i in range(M + 1)]  # = q * D avec D(0) = 1
D = Delta[1:] + [0]
E4_3_sur_D = produit(E4_3, inverse_unitaire(D, M - 1), M - 1)

print("Delta =", Delta[:8], "...  (coefficients tau de Ramanujan)")
print("tau(1..6) attendu : 1, -24, 252, -1472, 4830, -6048")
print()
print("E4^3/D = 1 + 744 q + 196884 q^2 + 21493760 q^3 + ... d'ou j = q^-1 + 744 + ...")
for i, a in enumerate(E4_3_sur_D[:7]):
    print(f"  coeff q^{i} de E4^3/D = {a:>15,}".replace(",", " "))
c = E4_3_sur_D[2:]  # c_1, c_2, ... : coefficients de J = j - 744
assert c[0] == 196884 and c[1] == 21493760 and c[2] == 864299970 and c[3] == 20245856256
print()
print("c_1..c_4 (coefficients de J = j - 744) verifies contre la litterature (Sloane A000521).")

Delta = [0, 1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744] ...  (coefficients tau de Ramanujan)
tau(1..6) attendu : 1, -24, 252, -1472, 4830, -6048

E4^3/D = 1 + 744 q + 196884 q^2 + 21493760 q^3 + ... d'ou j = q^-1 + 744 + ...
  coeff q^0 de E4^3/D =               1
  coeff q^1 de E4^3/D =             744
  coeff q^2 de E4^3/D =         196 884
  coeff q^3 de E4^3/D =      21 493 760
  coeff q^4 de E4^3/D =     864 299 970
  coeff q^5 de E4^3/D =  20 245 856 256
  coeff q^6 de E4^3/D = 333 202 640 600

c_1..c_4 (coefficients de J = j - 744) verifies contre la litterature (Sloane A000521).

La structure \(q^{-1} + 744 + c_1 q + c_2 q^2 + \cdots\) dit que \(j\) a un pôle simple à l’infini — c’est le générateur du corps des fonctions modulaires pour \(SL_2(\mathbb{Z})\) : toute fonction modulaire de poids nul est une fraction rationnelle en \(j\). Le \(744\) n’est qu’une convention de normalisation (certaines sources notent \(J = j - 744\)).

3. L’observation de McKay, vérifiée

Le groupe monstre \(M\) est le plus grand groupe simple sporadique : ordre

\[|M| = 2^{46} \cdot 3^{20} \cdot 5^9 \cdot 7^6 \cdot 11^2 \cdot 13^3 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 59 \cdot 71 \approx 8 \times 10^{53},\]

construit par Griess en 1982. Ses représentations irréductibles ont des dimensions gigantesques ; les quatre plus petites sont connues de l’ATLAS :

\[1, \quad 196\,883, \quad 21\,296\,876, \quad 842\,609\,326.\]

L’observation de McKay dit que \(c_1 = 196\,884\) est la trace de l’identité sur un espace de dimension \(196\,883 + 1\) — une représentation du monstre plus la triviale. Vérifions que \(c_2\) et \(c_3\) aussi se décomposent.

dims_atlas = [842609326, 21296876, 196883, 1]  # 4 plus petites irreductibles, ordre decroissant

def decompose_exacte(cible, dims, MU_MAX=2):
    # Cherche des multiplicites 0 <= mu_i <= MU_MAX avec sum(mu_i * d_i) == cible.
    # Retourne {dim: multiplicite} ou None. Backtrack sur dims decroissantes.
    # MU_MAX = 2 encode le fait moonshine : les multiplicites de la serie de
    # l'identite sont petites (sans plafond, la dimension 1 absorberait tout).
    if cible == 0:
        return {}
    if not dims:
        return None
    d, reste = dims[0], dims[1:]
    for mu in range(min(cible // d, MU_MAX), -1, -1):
        sous = decompose_exacte(cible - mu * d, reste)
        if sous is not None:
            return {**sous, d: mu} if mu > 0 else sous
    return None

for n, cn in [(1, c[0]), (2, c[1]), (3, c[2])]:
    dec = decompose_exacte(cn, dims_atlas)
    detail = " + ".join(f"{mu} x {d:,}".replace(",", " ") for d, mu in sorted(dec.items(), reverse=True))
    print(f"c_{n} = {cn:,}".replace(",", " "), " = ", detail)

dec4 = decompose_exacte(c[3], dims_atlas)
print()
print("c_4 =", f"{c[3]:,}".replace(",", " "), "decomposable sur les 4 premieres (mu <= 2) :", dec4 is not None)

c_1 = 196 884  =  1 x 196 883 + 1 x 1
c_2 = 21 493 760  =  1 x 21 296 876 + 1 x 196 883 + 1 x 1
c_3 = 864 299 970  =  1 x 842 609 326 + 1 x 21 296 876 + 2 x 196 883 + 2 x 1

c_4 = 20 245 856 256 decomposable sur les 4 premieres (mu <= 2) : False

Lecture. Les trois premiers coefficients de \(j\) sont exactement des combinaisons à coefficients positifs des dimensions irréductibles du monstre :

• \(c_1 = 196\,883 + 1\)
• \(c_2 = 21\,296\,876 + 196\,883 + 1\)
• \(c_3 = 842\,609\,326 + 21\,296\,876 + 2 \times 196\,883 + 2 \times 1\)

Mais \(c_4\) résiste : sous le plafond naturel des petites multiplicités, il ne se décompose pas sur les quatre premières dimensions — il faut faire entrer la cinquième représentation irréductible (non fournie ici). Le motif est général : Conway et Norton conjecturent en 1979 que \(J(q) = \sum c_n q^n\) est la série de graded trace de l’identité sur une structure graduée infinie \(V = \bigoplus V_n\) dont chaque \(V_n\) est une représentation de \(M\) avec \(\dim V_1 = 196\,884\) — et que pour chaque élément \(g \in M\), la série \(T_g(q) = \sum \mathrm{tr}(g \mid V_n)\, q^{n-1}\) est une fonction modulaire de genre zéro pour un certain groupe \(\Gamma_g\). La structure graduée — l’algèbre vertex \(V^\natural\), construite par Frenkel, Lepowsky et Meurman en 1988 — est l’espace où vit cette conjecture ; Borcherds prouve la modularité (donc la conjecture de Conway–Norton) en 1992.

Moonshine relie ainsi trois mondes sans contact apparent : formes modulaires (analyse), groupes finis (algèbre) et algèbres vertex (physique théorique).

Le récit — une chasse au Snark mathématique

L’histoire vaut le détour, et Margaret Wertheim la raconte dans Cabinet Magazine sous le titre « Hunting a Mathematical Snark » — le monstre comme créature de Lewis Carroll, trop improbable pour être rencontrée deux fois. Quelques étapes, d’après ce récit :

• L’ère des monstres jumeaux. Bernd Fischer découvre en théorie des groupes une symétrie miroir géante qu’il baptise \(M_{22}\), et spécule l’existence de deux cousins plus vastes. John Conway les surnomme les monstres Baby, Middle et Super — le Middle s’avérera une chimère, mais le Baby et le Super existent bel et bien.
• « On ne le verra jamais. » En 1978, Conway spécule publiquement qu’il ne vivra pas assez pour voir l’existence du monstre vérifiée : Fischer estime qu’une seule des multiplications matricielles nécessaires exigerait six mois de calcul.
• 14 janvier 1980. Robert Griess annonce, sorti de nulle part, avoir construit le monstre à la main — par une voie plus terrestre que la méthode des miroirs de Fischer, que Conway et d’autres confirment ensuite par ordinateur. C’est la construction de 1982 citée plus haut.
• L’espoir de Dyson. Freeman Dyson confessait son « espoir sournois » (sneaking hope) qu’au XXI^e siècle, les physiciens découvriraient le monstre « intégré de quelque façon insoupçonnée dans la structure de l’univers » — moonshine et théorie des cordes, même intuition.

Le mot moonshine lui-même — « clair de lune », avec son parfum d’illusion et de contrebande — dit le scepticisme d’une époque : ces coïncidences numériques semblaient trop belles pour être honnêtes. Jusqu’à ce que Borcherds les change en théorèmes.

Comment le comprendre, alors ? C’est la question que pose Adam Goucher sur son blog cp4space : la réponse de Conway tient en une recette — un sous-groupe monomial, quelques éléments exotiques, et un objet invariant (l’algèbre de Griess). La section suivante la rend visible sur le cas d’école du dodécaèdre, avant de la mettre en regard des nombres du monstre.

« A real tour de force… his published calculation is 100 pages long of difficult mathematics… it’s one of the hardest hand calculations anybody’s ever done. » – R. Borcherds sur la construction du Monstre par Robert Griess (1982), [01:30]. Et sur le décor de la conjecture : « Ogg noticed this really bizarre fact that they correspond to the conductors of certain special elliptic curves » [01:28] – un récit de la conférence monstrous moonshine (1993) dont Borcherds fut l’un des acteurs, et qui a précédé sa preuve de 1998.

La recette rendue visible — sous-groupe monomial + élément exotique

Comment comprend-on le monstre ? L’article de Goucher (cp4space, 2020) prend le cas d’école du groupe \(A_5\) — les rotations du dodécaèdre. En coordonnées où les sommets sont les \((\pm1,\pm1,\pm1)\) et les permutations cycliques de \((\pm\varphi, \pm1/\varphi, 0)\) :

• le sous-groupe monomial — permutations cycliques des coordonnées composées avec un nombre pair de changements de signes — compte \(12\) éléments : c’est \(A_4\), les rotations d’un tétraèdre inscrit ;
• un seul élément exotique \(\zeta\) (par exemple \((1,1,1) \mapsto (-1,-1,-1)\) et \((1,-1,-1) \mapsto (0,\varphi,-1/\varphi)\)) engendre avec lui tout \(A_5\) ;
• l’objet invariant — un polynôme de degré \(6\), le potentiel de Greg Egan — joue pour \(A_5\) le rôle que l’algèbre de Griess joue pour le monstre.

La construction du monstre suit exactement la même voie : sous-groupe monomial \(N_0 = 2^{35}\cdot(S_3 \times M_{24})\) plus éléments exotiques, comme automorphismes de l’algèbre de Griess — mais la plus petite représentation fidèle saute de \(3\) à \(196\,883\) dimensions, et l’espace ambiant se construit à partir du réseau de Leech, du code de Golay et de la boucle de Parker. Le monstre agit sur \(97\,239\,461\,142\,009\,186\,000\) axes (les « transpositions 2A »), et la question des orbites sous \(N_0\) posée par l’article a une réponse connue par ailleurs : \(12\) orbites (Norton, Anatomy of the Monster), un décompte que le package mmgroup de Seysen exploite pour calculer vite dans le monstre.

Entre le cas d’école et le monstre, la même stratégie a déjà fait ses preuves sur le réseau de Leech : ses \(196\,560\) vecteurs minimaux se décrivent comme \(98\,304 + 1\,104 + 97\,152\) images de trois représentants sous le monomial \(2^{12}\cdot M_{24}\) — et c’est en ajoutant un élément exotique à ce monomial qu’on engendre le groupe de Conway \(Co_0\).

La figure ci-dessous calcule la structure sur le cas d’école : les \(20\) sommets du dodécaèdre, colorés par leur orbite sous le sous-groupe monomial \(A_4\). Au lieu de compter des dimensions, elle montre la stratégie qui mène au monstre — et réserve une surprise mesurée : le calcul rend trois orbites (\(4+4+12\)), pas deux. Les deux tétraèdres inscrits du cube ne fusionnent qu’en ajoutant l’élément exotique \(\zeta\).

from math import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt

phi = (1 + sqrt(5)) / 2

# Les 20 sommets du dodecaedre : 8 sommets d'un cube + 12 sommets dores.
sommets = [(x, y, z) for x in (-1, 1) for y in (-1, 1) for z in (-1, 1)]
for v in ((0, phi, 1 / phi), (phi, 1 / phi, 0), (1 / phi, 0, phi)):
    for s1 in (-1, 1):
        for s2 in (-1, 1):
            for s3 in (-1, 1):
                sommets.append((s1 * v[0], s2 * v[1], s3 * v[2]))
# 8 sommets du cube + 3 x 8 candidats dores, dont le set ne garde que 12 distincts
# (le signe de la coordonnee nulle ne cree pas de nouveau sommet).
assert len(set(sommets)) == 20, len(set(sommets))
sommets = sorted(set(sommets))

# Sous-groupe monomial A4 (12 elements) : rotations cycliques des coordonnees
# composees avec un nombre PAIR de changements de signes.
def rotation(t, k):
    return tuple(t[(i - k) % 3] for i in range(3))

signes_pairs = [(1, 1, 1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (1, -1, -1)]
monomial = []
for k in range(3):
    for s in signes_pairs:
        monomial.append(
            lambda t, k=k, s=s: rotation((s[0] * t[0], s[1] * t[1], s[2] * t[2]), k)
        )
assert len(monomial) == 12

# Orbites des 20 sommets sous A4 (fermeture transitive).
restants = set(sommets)
orbites = []
while restants:
    depart = restants.pop()
    orbite = {depart}
    pile = [depart]
    while pile:
        v = pile.pop()
        for g in monomial:
            w = g(v)
            if w not in orbite:
                orbite.add(w)
                pile.append(w)
    orbites.append(sorted(orbite))
    restants -= orbite

tailles = sorted(len(o) for o in orbites)
print("Sous-groupe monomial :", len(monomial), "elements (A4)")
print("Orbites des 20 sommets sous A4 :", tailles)
assert tailles == [4, 4, 12], tailles

# Figure : les orbites calculees, la structure rendue visible.
fig = plt.figure(figsize=(7.6, 5.8))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
couleurs = ["#4C72B0", "#C44E52", "#55A868"]
noms = [
    "orbite de $(1,1,1)$ : tetraedre (4)",
    "orbite de $(-1,1,1)$ : tetraedre dual (4)",
    r"sommets dores $(\pm\varphi,\pm 1/\varphi,0)$ (12)",
]

def index_orbite(o):
    if len(o) == 12:
        return 2
    return 0 if (1.0, 1.0, 1.0) in o else 1

vus = set()
for o in orbites:
    i = index_orbite(o)
    xs, ys, zs = zip(*o)
    ax.scatter(xs, ys, zs, s=80 if i < 2 else 45, color=couleurs[i],
               depthshade=True, label=(noms[i] if i not in vus else None))
    vus.add(i)
    if len(o) == 4:
        for a in range(4):
            for b in range(a + 1, 4):
                ax.plot(*zip(o[a], o[b]), color=couleurs[i], lw=1.3, alpha=0.65)

ax.set_title("Orbites calculees des 20 sommets du dodecaedre sous le monomial $A_4$"
             "\n"
             r"$4+4+12$ : les tetraedres ne fusionnent qu'avec l'exotique $\zeta$")
ax.legend(loc="upper left", fontsize=8)
ax.set_box_aspect((1, 1, 1))
plt.tight_layout()
plt.show()

print("Le monstre, meme recette : N0 = 2^35.(S3 x M24) + elements exotiques ;")
print("dimension de la plus petite representation fidele : 3 -> 196 883.")
print("Sur les 97 239 461 142 009 186 000 axes 2A : 12 orbites (Norton,")
print("Anatomy of the Monster ; exploitees par le package mmgroup de Seysen).")

Sous-groupe monomial : 12 elements (A4)
Orbites des 20 sommets sous A4 : [4, 4, 12]

Le monstre, meme recette : N0 = 2^35.(S3 x M24) + elements exotiques ;
dimension de la plus petite representation fidele : 3 -> 196 883.
Sur les 97 239 461 142 009 186 000 axes 2A : 12 orbites (Norton,
Anatomy of the Monster ; exploitees par le package mmgroup de Seysen).

Au-delà de l’anatomie, la taille : les \(c_n\) explosent. Rademacher (1938) en donne un équivalent exact, que la figure suivante confronte aux coefficients calculés ci-dessus.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

ns = np.arange(1, 13)
cn = np.array(c[:12], dtype=float)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.0, 4.2))
racines = np.sqrt(ns)
ax.plot(racines, np.log(cn), "o-", color="#4C72B0", lw=1.4, ms=5,
        label=r"$\log c_n$ (calcule ci-dessus)")
ax.plot(racines, 4 * np.pi * racines - np.log(np.sqrt(2) * ns ** 0.75), "--", color="#55A868", lw=1.8,
        label=r"Rademacher : $4\pi\sqrt{n} - \log(\sqrt{2}\, n^{3/4})$")
ax.set_xlabel(r"$\sqrt{n}$")
ax.set_ylabel("valeur")
ax.set_title(r"Croissance des coefficients de $j$ : $c_n \sim e^{4\pi\sqrt{n}} / (\sqrt{2}\, n^{3/4})$")
ax.legend(fontsize=9, loc="upper left")
plt.tight_layout()
plt.show()
print("L'ecart entre les deux courbes tend vers une constante : la correction est multiplicative, pas exponentielle.")

L'ecart entre les deux courbes tend vers une constante : la correction est multiplicative, pas exponentielle.

La croissance \(e^{4\pi\sqrt{n}}\) est sous-exponentielle (\(\log c_n / n \to 0\)) mais bien plus rapide que tout polynôme — et c’est précisément la signature du pôle que \(j\) porte à l’infini (\(q = 0\)). L’opposition est structurelle : les coefficients \(\tau(n)\) de \(\Delta\) — forme cuspidale, nulle à l’infini, sans pôle — croissent au contraire polynomialement, \(\tau(n) = O(n^{11/2+\varepsilon})\) (conjecture de Ramanujan, prouvée par Deligne en 1974). Pôle contre cuspe : même groupe, même demi-plan, deux croissances qui ne se ressemblent pas — et la différence se lit intégralement dans les coefficients.

4. Valeurs spéciales : \(j(i) = 1728\)

Le rapport \(E_4^3/\Delta\) vaut \(1728\) en \(\tau = i\) : c’est précisément la constante de normalisation choisie pour que \(j\) prenne des valeurs entières aux points CM. Numériquement, en \(\tau = i\), \(q = e^{-2\pi} \approx 0{,}00187\) et les q-séries convergent à l’œil nu.

import cmath

def evalue(coeffs, q):
    # Evalue sum(a_n q^n) pour la serie tronquee [a_0, ..., a_M].
    return sum(a * q ** n for n, a in enumerate(coeffs))

tau = 1j
q = cmath.exp(2j * np.pi * tau)
E4_i = evalue(E4, q)
E6_i = evalue(E6, q)
Delta_i = evalue(Delta, q)
j_i = E4_i ** 3 / Delta_i
print(f"E6(i)    = {E6_i.real:+.2e} {E6_i.imag:+.2e}i   (~0 : i est un point fixe de S)")
print(f"j(i)     = {j_i.real:.9f}")
print(f"ecart a 1728 : {abs(j_i - 1728):.2e}")

E6(i)    = -3.36e-16 +0.00e+00i   (~0 : i est un point fixe de S)
j(i)     = 1728.000000000
ecart a 1728 : 9.09e-13

\(E_6\) s’annule en \(i\) (point fixe de l’involution \(S\)), si bien que \(j(i) = E_4(i)^3/\Delta(i) = 1728 \cdot E_4(i)^3/E_4(i)^3\) — la valeur 1728 est structurale, pas numérique.

5. Exercices

Trois exercices, du plus mécanique au plus frappant. Chacun a son stub exécutable sans erreur.

Exercice 1 — Toutes les décompositions

Écrire multiplicites(cible, dims) — même principe que decompose_exacte, mais qui retourne toutes les solutions (plafond MU_MAX = 2 conservé). L’appliquer à \(c_3\), puis à \(c_3 - 842\,609\,326 = 21\,690\,644\) et constater que la décomposition trouvée est l’union de celles de \(c_1\) et \(c_2\) : c’est la linéarité des traces.

def multiplicites(cible, dims):
    # TODO etudiant : retourner la liste de TOUTES les decompositions
    # {dim: multiplicite} de cible sur dims (multiplicites 0..2).
    # Indice : adapter decompose_exacte pour accumuler les solutions au lieu
    # de s'arreter a la premiere ; rester recursif.
    pass  # TODO etudiant
    return None

# Verification attendue une fois complete :
# sols = multiplicites(c[2], dims_atlas)
# print(len(sols), "solution(s) pour c_3")            # 1
# sols2 = multiplicites(c[2] - 842609326, dims_atlas)
# print(sols2)                                        # {21296876:1, 196883:2, 1:2}
print("Exercice 1 a completer")

Exercice 1 a completer

Exercice 2 — \(j\) via le module \(\lambda\)

Le module \(\lambda(\tau) = \theta_2^4/\theta_3^4\) (une fonction modulaire pour \(\Gamma(2)\)) déparamètre \(j\) :

\[j = 256\,\frac{(1 - \lambda + \lambda^2)^3}{\lambda^2 (1 - \lambda)^2}.\]

Écrire j_de_lambda(lam) et vérifier : (a) \(\lambda = 1/2\) donne \(j = 1728\) (c’est \(\lambda(i)\)) ; (b) les racines de \(\lambda^2 - \lambda + 1\) donnent \(j = 0\) — et ce sont les valeurs de \(\lambda\) au point \(\rho = e^{i\pi/3}\), où \(E_4\) s’annule.

def j_de_lambda(lam):
    # TODO etudiant : la formule ci-dessus, en une ligne.
    # Retourner 256 * (1 - lam + lam**2)**3 / (lam**2 * (1 - lam)**2).
    pass  # TODO etudiant
    return None

# Verification attendue :
# print(j_de_lambda(0.5))                # ~1728
# zeta6 = 0.5 + (0.75)**0.5 * 1j        # racine de lam^2 - lam + 1
# print(abs(j_de_lambda(zeta6)))         # ~0
print("Exercice 2 a completer")

Exercice 2 a completer

Exercice 3 — Le nombre quasi entier de Ramanujan

Pour \(\tau = (1 + i\sqrt{163})/2\) (nombre de Heegner \(163\), nombre de classes 1), \(j(\tau) = (-640\,320)^3\) exactement — d’où la coincidence de Ramanujan :

\[e^{\pi\sqrt{163}} \approx 640\,320^3 + 744 = 262\,537\,412\,640\,768\,743{,}9999\ldots\]

Calculer \(j(\tau)\) numériquement (attention : \(q = -e^{-\pi\sqrt{163}} \approx -3{,}8 \times 10^{-18}\), la sommation naïve exige mpmath et une précision \(\geq 30\) chiffres) et mesurer \(|j(\tau) - (-640320)^3|\).

from mpmath import mp, mpc, exp as mpexp, pi as mppi

def j_heegner(d=163, dps=40):
    # TODO etudiant : construire tau = (1 + i*sqrt(d))/2, q = exp(2i*pi*tau),
    # sommer j ~ 1/q + 744 + c_1 q + c_2 q^2 + c_3 q^3 (les c_n sont dans la
    # liste c ci-dessus), retourner le resultat mpc.
    # Indice : mp.dps = dps ; mpexp ; mpc(0, 1) pour i ; sqrt via **mpf('0.5').
    mp.dps = dps
    pass  # TODO etudiant
    return None

# Verification attendue :
# val = j_heegner()
# cible = -640320 ** 3
# print(abs(val - cible))    # ~1e-25 ou moins
print("Exercice 3 a completer")

Exercice 3 a completer

Conclusion

Le fil de la série : le notebook 01 a établi le socle (\(SL_2(\mathbb{Z})\), formes modulaires, opérateurs de Hecke, \(\Delta\) et \(\tau\)) ; celui-ci montre que la fonction qui coiffe cette théorie — l’invariant \(j\) — porte dans ses coefficients l’ombre du plus grand groupe simple sporadique. C’est la face « surprises numériques » du programme de Langlands évoqué par Serre : face orthogonale à la montée générale grothendieckienne, mais même famille d’objets — formes modulaires, fonctions \(L\), symétries cachées.

Pour poursuivre dans le dépôt :

• 01 — Formes modulaires : de \(SL_2(\mathbb{Z})\) aux opérateurs de Hecke (notebook 01, PR #17972) — le socle calculatoire ;
• Lean-16a — Conway: Man and Work — le contexte biographique (Conway a co-signé la conjecture et nommé « moonshine ») ;
• Serre100 — 07 : zéros de fonctions \(L\), gaps GUE — la face analytique ;
• App-32 : Szpiro–Pasten 2026 — une correspondance de Jacquet–Langlands qui contraint un invariant calculable.

Sources : Conway & Norton, Monstrous Moonshine, Bull. LMS 11 (1979) ; Borcherds, Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras, Invent. Math. 109 (1992) ; Frenkel, Lepowsky & Meurman, Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press (1988) ; Diamond & Shurman, A First Course in Modular Forms (ch. 1) ; Serre, A Course in Arithmetic (ch. VII). Récit : Margaret Wertheim, « Hunting a Mathematical Snark: The sublime symmetry of the Monster », Cabinet Magazine n° 34 (2009), cabinetmagazine.org/issues/34/wertheim.php ; Adam Goucher, « An attempt to understand the Monster group », cp4space (29/11/2020), cp4space.hatsya.com

« Modular forms are the most magical part of math. » – R. Borcherds [02:04], médaille Fields 1998 pour la preuve de la conjecture ici calculée : le vertex algebra du Monstre engendre l’algèbre de Lie monster – la boucle entre ce carnet et les q-expansions de 01 est bouclée.