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Comparaison des Solveurs de Sudoku

Voir aussi : Search Foundations pour les algorithmes sous-jacents

Objectifs d’apprentissage

A la fin de ce notebook, vous saurez : 1. Classifier les différentes approches de resolution de Sudoku par catégorie (exacte, heuristique, propagation, apprentissage) 2. Comparer objectivement les performances de 4 solveurs Python sur des puzzles de difficulte variee 3. Analyser les forces et faiblesses de chaque approche selon plusieurs critères (vitesse, fiabilite, scalabilite, simplicite) 4. Choisir le bon solveur en fonction du contexte d’utilisation

Prerequis

• Avoir lu au moins 3-4 notebooks de la serie Sudoku (Backtracking, OR-Tools, Norvig, un autre au choix)
• Python 3.10+ avec numpy, matplotlib, ortools

Duree estimee : 35 minutes

1. Introduction

Au fil de cette serie de notebooks, nous avons explore 9 approches différentes pour resoudre le Sudoku. Chacune incarne une philosophie algorithmique distincte :

#	Notebook	Approche	Philosophie
1	Backtracking	Recherche exhaustive	Explorer systematiquement toutes les possibilites
2	Genetic	métaheuristique	Faire evoluer une population de solutions candidates
3	OR-Tools	Programmation par contraintes	Declarer les contraintes, laisser le solveur chercher
4	Z3	Satisfiabilite (SMT)	Prouver l’existence d’une solution satisfaisant des formules logiques
5	Dancing Links	Couverture exacte	Reduire a un problème de sélection de sous-ensembles
6	Infer.NET	Inference probabiliste	Propager des distributions de probabilite
7	Norvig	Propagation de contraintes	Eliminer les impossibilites avant de chercher
8	Simulated Annealing	Recuit simule	Optimiser par perturbations aleatoires avec refroidissement
10	Neural Network	Apprentissage profond	Apprendre les motifs de resolution a partir d’exemples

Ce notebook final propose une comparaison systématique de ces approches selon plusieurs dimensions : vitesse, fiabilite, elegance du code et scalabilite. Nous implementerons 4 solveurs Python representatifs et les testerons sur un benchmark commun.

Twin C# .NET de Sudoku-18-Comparison-Python.ipynb (marathon parité #4956). Kernel .net-csharp. Solveurs Backtracking / MRV / Norvig / Norvig-FC / Simulated-Annealing réimplémentés from-scratch (BCL .NET seule, Prong B) ; OR-Tools CP-SAT utilise le vrai moteur industriel via #r "nuget: Google.OrTools" (Prong A, même solveur que le twin Python). Graphiques matplotlib remplacés par un rendu ASCII autonome.

// Imports et environnement
// Prong A : Google.OrTools (vrai CP-SAT industriel, meme moteur que le twin Python)
#r "nuget: Google.OrTools"

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Diagnostics;
using System.Globalization;
using System.Linq;
using System.Threading.Tasks;
using Google.OrTools.Sat;

// Culture invariante : separateur decimal "." (parite de sortie avec le twin Python,
// independant des parametres regionaux FR de la machine hote). Les deux setters sont
// necessaires : .NET Interactive peut evaluer des cellules sur des threads distincts du
// pool -- CurrentCulture est par-thread, DefaultThreadCurrentCulture couvre les nouveaux threads.
CultureInfo.CurrentCulture = CultureInfo.InvariantCulture;
CultureInfo.DefaultThreadCurrentCulture = CultureInfo.InvariantCulture;
CultureInfo.DefaultThreadCurrentUICulture = CultureInfo.InvariantCulture;

Console.WriteLine("Environnement charge.");
Console.WriteLine("  .NET " + Environment.Version);
Console.WriteLine("  Google.OrTools CP-SAT importe");

The below script needs to be able to find the current output cell; this is an easy method to get it.

Installed Packages

• Google.OrTools, 9.15.6755

Environnement charge.
  .NET 9.0.19
  Google.OrTools CP-SAT importe

Interpretation : Environnement et dependances

Bibliotheques utilisees :

Bibliotheque	Version	rôle dans ce notebook
Google.OrTools	-	Solveur CP-SAT industriel (4e solveur du benchmark)
System.Diagnostics.Stopwatch	BCL .NET	Mesure des temps d’exécution
System.Linq / System.Math	BCL .NET	Statistiques du benchmark (moyennes, min/max)
SvgChartHelper	helper interne (../Probas/Infer/SvgChartHelper.cs)	Visualisations SVG inline statique (zéro dépendance CDN, EPIC #6927)

Pourquoi ces choix : - Google.OrTools CP-SAT est le seul solveur externe necessaire. Les trois autres solveurs (backtracking, génétique, recuit simulé) sont implementes en C# pur pour illustrer les algorithmes - System.Linq fournit les statistiques du benchmark (moyenne des temps sur plusieurs grilles) - SvgChartHelper genere les graphiques comparatifs en SVG inline statique (migration EPIC #6927 : zéro dépendance CDN, contrairement à l’ancienne approche Plotly)

Note : Aucune dépendance lourde (pas de tensorflow, pytorch, etc.). Ce notebook reste leger et s’execute sur n’importe quel environnement .NET Interactive standard.

2. catégories d’approches

Les 9 approches etudiees se regroupent naturellement en 5 grandes catégories, chacune correspondant a un paradigme algorithmique fondamental.

2.1 méthodes exactes (garantie de solution)

Ces méthodes explorent l’espace de recherche de maniere systématique et trouvent toujours une solution si elle existe.

méthode	Principe	Complexite pratique	Notebook
Backtracking	DFS + validation	Rapide (facile), lent (difficile)	Sudoku-01
Backtracking + MRV	DFS + heuristique MRV	Rapide même sur puzzles difficiles	Sudoku-Python-BT
Dancing Links	Couverture exacte (Algorithm X)	Optimal pour les problemes de couverture	Sudoku-02
OR-Tools CP-SAT	CP + SAT + CDCL	très rapide, constant	Sudoku-10
Z3 SMT	Satisfiabilite Modulo théories	Rapide, overhead d’initialisation	Sudoku-12

2.2 méthodes de propagation

Ces méthodes reduisent l’espace de recherche en eliminant les valeurs impossibles avant (ou a la place de) la recherche.

méthode	Principe	Completude	Notebook
Norvig	Elimination + naked singles + DFS de secours	Complet (avec fallback recherche)	Sudoku-07
stratégies humaines	règles logiques (naked pairs, X-Wing, etc.)	Incomplet sans recherche	(integre dans divers notebooks)

2.3 méthodes heuristiques (pas de garantie)

Ces méthodes utilisent des mécanismes d’optimisation stochastique et ne garantissent pas de trouver une solution.

méthode	Principe	Fiabilite	Notebook
Algorithme génétique	Evolution de populations	Faible sur puzzles difficiles	Sudoku-03
Recuit simule	Perturbations + refroidissement	Moyenne	Sudoku-04

2.4 méthodes d’apprentissage

méthode	Principe	Fiabilite	Notebook
Reseau de neurones	Apprentissage supervise	Approximation, necessite données	Sudoku-16

2.5 méthodes probabilistes

méthode	Principe	Fiabilite	Notebook
Infer.NET	Graphe de facteurs, inference bayesienne	Experimentale	Sudoku-15

3. Implementations C# des solveurs

Pour une comparaison equitable, nous implementons 4 solveurs representatifs dans le même environnement .NET (twin du notebook Python : memes solveurs, memes corpus, meme protocole statistique — seuls les idiomes different). Chaque solveur represente une catégorie différente.

Solveur	catégorie	Pourquoi ce choix
Backtracking simple	Recherche exhaustive	Baseline naive, reference de comparaison
Backtracking + MRV	Recherche avec heuristique	Amelioration classique, montre l’impact des heuristiques
Norvig (propagation)	Propagation de contraintes	Approche elegante, souvent suffisante sans recherche
OR-Tools CP-SAT	Solveur industriel	Etat de l’art, reference de performance

Classe SudokuGrid commune

Tous les solveurs utilisent la même representation de grille pour garantir une comparaison equitable.

// Annulation cooperative : exception levee par un solveur quand l'echeance du
// harnais de benchmark est epuisee (le calcul est REELLEMENT interrompu).
public class SolverTimeoutException : Exception
{
    public SolverTimeoutException() : base("Budget temps du benchmark epuise (echeance cooperative)") { }
}

// Horloge cooperative partagee par les solveurs pendant le benchmark.
// DeadlineSec = double.MaxValue signifie "pas de budget" (usage standalone).
public static class BenchClock
{
    public static double DeadlineSec = double.MaxValue;
    public static double NowSec() => (double)Stopwatch.GetTimestamp() / Stopwatch.Frequency;
    public static void Arm(double timeoutSec) => DeadlineSec = NowSec() + timeoutSec;
    public static void Disarm() => DeadlineSec = double.MaxValue;
    public static void ThrowIfExpired()
    {
        if (NowSec() > DeadlineSec) throw new SolverTimeoutException();
    }
}

// Representation d'une grille de Sudoku 9x9
public class SudokuGrid
{
    public int[][] Cells { get; private set; }

    public SudokuGrid()
    {
        Cells = new int[9][];
        for (int i = 0; i < 9; i++) Cells[i] = new int[9];
    }

    public SudokuGrid(int[][] grid)
    {
        Cells = new int[9][];
        for (int i = 0; i < 9; i++) Cells[i] = (int[])grid[i].Clone();
    }

    public static SudokuGrid FromString(string s)
    {
        s = s.Replace('.', '0').Replace(" ", "").Replace("\n", "");
        if (s.Length != 81)
            throw new ArgumentException($"Attendu 81 caracteres, recu {s.Length}");
        var g = new SudokuGrid();
        for (int i = 0; i < 81; i++)
            g.Cells[i / 9][i % 9] = s[i] - '0';
        return g;
    }

    public SudokuGrid Clone() => new SudokuGrid(Cells);

    public bool IsValidPlacement(int row, int col, int num)
    {
        for (int c = 0; c < 9; c++) if (Cells[row][c] == num) return false;
        for (int r = 0; r < 9; r++) if (Cells[r][col] == num) return false;
        int boxRow = 3 * (row / 3), boxCol = 3 * (col / 3);
        for (int r = boxRow; r < boxRow + 3; r++)
            for (int c = boxCol; c < boxCol + 3; c++)
                if (Cells[r][c] == num) return false;
        return true;
    }

    public (int row, int col)? FindEmpty()
    {
        for (int r = 0; r < 9; r++)
            for (int c = 0; c < 9; c++)
                if (Cells[r][c] == 0) return (r, c);
        return null;
    }

    public int CountEmpty()
    {
        int n = 0;
        for (int r = 0; r < 9; r++)
            for (int c = 0; c < 9; c++)
                if (Cells[r][c] == 0) n++;
        return n;
    }

    public string ToFlatString()
    {
        var sb = new System.Text.StringBuilder();
        for (int r = 0; r < 9; r++)
            for (int c = 0; c < 9; c++)
                sb.Append(Cells[r][c]);
        return sb.ToString();
    }

    public override string ToString()
    {
        var lines = new List<string>();
        for (int r = 0; r < 9; r++)
        {
            if (r > 0 && r % 3 == 0) lines.Add(new string('-', 21));
            var sb = new System.Text.StringBuilder();
            for (int c = 0; c < 9; c++)
            {
                if (c > 0 && c % 3 == 0) sb.Append("| ");
                int val = Cells[r][c];
                sb.Append((val == 0 ? '.' : (char)('0' + val)) + " ");
            }
            lines.Add(sb.ToString());
        }
        return string.Join("\n", lines);
    }
}

var test = SudokuGrid.FromString("003020600900305001001806400008102900700000008006708200002609500800203009005010300");
Console.WriteLine("Grille de test:");
Console.WriteLine(test);
Console.WriteLine($"Cases vides: {test.CountEmpty()}");

Grille de test:
. . 3 | . 2 . | 6 . . 
9 . . | 3 . 5 | . . 1 
. . 1 | 8 . 6 | 4 . . 
---------------------
. . 8 | 1 . 2 | 9 . . 
7 . . | . . . | . . 8 
. . 6 | 7 . 8 | 2 . . 
---------------------
. . 2 | 6 . 9 | 5 . . 
8 . . | 2 . 3 | . . 9 
. . 5 | . 1 . | 3 . . 
Cases vides: 49

Interpretation : Classe SudokuGrid - Representation commune

Fonctionnalites de la classe :

méthode	rôle	Utilite pour les solveurs
from_string	créé une grille depuis 81 caractères	Format universel pour les benchmarks
clone	Copie independante	Evite les interferences entre solveurs
is_valid_placement	Valide un placement (ligne/colonne/bloc)	Utilisee par le backtracking
find_empty	Trouve la première case vide	Parcours naive pour le backtracking simple
count_empty	Compte les cases vides	Metrique de difficulte
to_string	Convertit en chaîne	Interface avec le solveur Norvig

Grille de test : 49 cases vides sur 81 (60% de la grille). C’est un puzzle de difficulte moyenne-facile qui servira de validation rapide pour chaque solveur.

Design choisi : La classe est volontairement simple (liste de listes 9x9) pour ne pas avantager un solveur particulier. Le solveur Norvig utilise sa propre representation interne (dictionnaire de chaînes) mais convertit vers/depuis SudokuGrid pour l’interface.

Point architecture : Tous les solveurs implementent la même interface solve(grid: SudokuGrid) -> bool, ce qui permet de les comparer equitablement et de les utiliser de maniere interchangeable dans le benchmark.

3.1 Solveur 1 : Backtracking simple

L’algorithme le plus intuitif : essayer chaque valeur dans chaque case vide, revenir en arriere si on atteint une impasse. C’est notre baseline – le solveur le plus simple possible.

Complexite : O(9^m) dans le pire cas, ou m est le nombre de cases vides.

// Solveur par backtracking simple (DFS sans heuristique).
// Safeguard : limite a 5 000 000 d'appels (evite le runaway NP sur EXPERT 17 indices).
public class BacktrackingSolver
{
    private const int MaxCalls = 5_000_000;
    public int CallCount { get; private set; }

    public bool Solve(SudokuGrid grid)
    {
        CallCount = 0;
        return Backtrack(grid);
    }

    private bool Backtrack(SudokuGrid grid)
    {
        if (CallCount > MaxCalls) return false;
        CallCount++;
        if ((CallCount & 1023) == 0) BenchClock.ThrowIfExpired();
        var empty = grid.FindEmpty();
        if (empty == null) return true;
        int row = empty.Value.row, col = empty.Value.col;
        for (int num = 1; num <= 9; num++)
        {
            if (grid.IsValidPlacement(row, col, num))
            {
                grid.Cells[row][col] = num;
                if (Backtrack(grid)) return true;
                grid.Cells[row][col] = 0;
            }
        }
        return false;
    }
}

var solverBt = new BacktrackingSolver();
var g = test.Clone();
var sw = Stopwatch.StartNew();
bool solved = solverBt.Solve(g);
sw.Stop();
Console.WriteLine($"Backtracking simple: resolu={solved}, {solverBt.CallCount} appels, {sw.Elapsed.TotalMilliseconds:F2} ms");

Backtracking simple: resolu=True, 201 appels, 0.70 ms

Interpretation : Solveur Backtracking simple

résultat : Le backtracking simple resout le puzzle de test en 201 appels recursifs (temps en ms en sortie live de la cellule ci-dessus – regle #9434, non fige en prose car machine-dependant).

Metrique	Valeur	Contexte
Appels recursifs	201	Nombre d’entrees dans _backtrack
Temps	(ms live, regle #9434)	Rapide pour ce puzzle facile
résultat	Succes	Solution trouvee

Analyse :

1. Pourquoi c’est rapide ici : Le puzzle de test a 49 cases vides, c’est un puzzle facile. L’arbre de recherche est petit et le premier chemin explore mene souvent a la solution.

2. Pourquoi ce sera lent sur les puzzles difficiles : Sans heuristique, le solveur essaie les cases dans l’ordre (ligne par ligne, de gauche a droite) avec les valeurs 1 a 9. Sur un puzzle difficile avec 60+ cases vides, l’arbre de recherche peut atteindre des milliards de noeuds.

3. rôle de baseline : Ce solveur sert de reference pour mesurer l’impact des ameliorations. Toute optimisation (MRV, propagation, etc.) sera comparee a cette baseline.

Comparaison a venir : Le solveur MRV suivant fera seulement 50 appels sur ce même puzzle – déjà 4x moins. La différence sera beaucoup plus marquee sur les puzzles Medium et Hard.

Exercice : Propagation des singletons (Naked Singles)

Enonce

Le solveur Backtracking simple essaie les valeurs 1-9 sequentiellement. Mais avant de lancer le backtracking, on peut propager les deductions evidentes : les cases qui n’ont qu’un seul candidat possible.

Implementez propagate_naked_singles(grid) qui remplit recursivement toutes les cases ayant exactement 1 candidat, jusqu’a ce qu’aucune propagation ne soit possible.

Indices :

• étape 1 : Pour chaque case vide, calculez les candidats (absents de ligne + colonne + bloc)
• étape 2 : Si exactement 1 candidat, remplissez la case
• étape 3 : Repetez tant qu’au moins une case a ete remplie (propagation en cascade)
• étape 4 : Retournez le nombre de cases remplies et la grille modifiée

// EXERCICE : Propagation des singletons (Naked Singles)
//   - Identifiez les cases avec exactement 1 candidat
//   - Remplissez-les et repetez (propagation en cascade)
//   - Retournez le nombre de cases remplies
public static int PropagateNakedSingles(int[][] grid)
{
    // TODO etudiant : implementez la propagation des naked singles
    return 0;  // TODO
}

int[][] testGrid18 = {
    new[] {0,0,0,2,6,0,7,0,1},
    new[] {6,8,0,0,7,0,0,9,0},
    new[] {1,9,0,0,0,4,5,0,0},
    new[] {8,2,0,1,0,0,0,4,0},
    new[] {0,0,4,6,0,2,9,0,0},
    new[] {0,5,0,0,0,3,0,2,8},
    new[] {0,0,9,3,0,0,0,7,4},
    new[] {0,4,0,0,5,0,0,3,6},
    new[] {7,0,3,0,1,8,0,0,0}
};

int nFilled = PropagateNakedSingles(testGrid18);
Console.WriteLine($"Cases remplies par propagation : {nFilled}");
foreach (var row in testGrid18)
    Console.WriteLine("[" + string.Join(", ", row) + "]");

Cases remplies par propagation : 0
[0, 0, 0, 2, 6, 0, 7, 0, 1]
[6, 8, 0, 0, 7, 0, 0, 9, 0]
[1, 9, 0, 0, 0, 4, 5, 0, 0]
[8, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 4, 0]
[0, 0, 4, 6, 0, 2, 9, 0, 0]
[0, 5, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 8]
[0, 0, 9, 3, 0, 0, 0, 7, 4]
[0, 4, 0, 0, 5, 0, 0, 3, 6]
[7, 0, 3, 0, 1, 8, 0, 0, 0]

3.2 Solveur 2 : Backtracking avec MRV

L’heuristique MRV (Minimum Remaining Values) selectionne toujours la case ayant le moins de valeurs possibles. Cela detecte les impasses plus tot et reduit drastiquement l’arbre de recherche.

L’amelioration est souvent spectaculaire : de 100x a 1000x moins d’appels recursifs sur les puzzles difficiles.

// Solveur par backtracking avec heuristique MRV (Minimum Remaining Values)
public class MrvBacktrackingSolver
{
    private const int MaxCalls = 5_000_000;
    public int CallCount { get; private set; }

    private List<int> GetPossible(SudokuGrid grid, int row, int col)
    {
        if (grid.Cells[row][col] != 0) return new List<int>();
        var possible = new HashSet<int>(new[] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 });
        for (int c = 0; c < 9; c++) possible.Remove(grid.Cells[row][c]);
        for (int r = 0; r < 9; r++) possible.Remove(grid.Cells[r][col]);
        int boxRow = 3 * (row / 3), boxCol = 3 * (col / 3);
        for (int r = boxRow; r < boxRow + 3; r++)
            for (int c = boxCol; c < boxCol + 3; c++)
                possible.Remove(grid.Cells[r][c]);
        return possible.ToList();
    }

    private (int row, int col, List<int> possible)? FindMrv(SudokuGrid grid)
    {
        (int, int, List<int>)? best = null;
        int bestCount = 10;
        for (int r = 0; r < 9; r++)
            for (int c = 0; c < 9; c++)
                if (grid.Cells[r][c] == 0)
                {
                    var possible = GetPossible(grid, r, c);
                    if (possible.Count < bestCount)
                    {
                        best = (r, c, possible);
                        bestCount = possible.Count;
                        if (bestCount == 0) return best;
                    }
                }
        return best;
    }

    public bool Solve(SudokuGrid grid)
    {
        CallCount = 0;
        return Backtrack(grid);
    }

    private bool Backtrack(SudokuGrid grid)
    {
        if (CallCount > MaxCalls) return false;
        CallCount++;
        if ((CallCount & 1023) == 0) BenchClock.ThrowIfExpired();
        var res = FindMrv(grid);
        if (res == null) return true;
        int row = res.Value.row, col = res.Value.col;
        var possible = res.Value.possible;
        if (possible.Count == 0) return false;
        foreach (var num in possible)
        {
            grid.Cells[row][col] = num;
            if (Backtrack(grid)) return true;
            grid.Cells[row][col] = 0;
        }
        return false;
    }
}

var solverMrv = new MrvBacktrackingSolver();
g = test.Clone();
sw = Stopwatch.StartNew();
solved = solverMrv.Solve(g);
sw.Stop();
Console.WriteLine($"Backtracking MRV: resolu={solved}, {solverMrv.CallCount} appels, {sw.Elapsed.TotalMilliseconds:F2} ms");

Backtracking MRV: resolu=True, 50 appels, 1.89 ms

Interpretation : Solveur Backtracking avec MRV

résultat : Le backtracking avec MRV resout le puzzle en 50 appels recursifs (temps en ms en sortie live – regle #9434).

Metrique	Backtracking simple	BT + MRV	Amelioration
Appels recursifs	201	50	4x moins
Temps	(ms live – regle #9434)	(ms live)	Plus lent

Paradoxe apparent : MRV fait moins d’appels mais prend plus de temps. Cela s’explique par le cout de l’heuristique :

• Backtracking simple : Chaque appel est très rapide (trouver la première case vide, essayer 1-9)
• BT + MRV : Chaque appel necessite de calculer les candidats de toutes les cases vides et de trouver celle avec le minimum

Pourquoi MRV est quand même preferable : 1. Sur les puzzles faciles, la différence de temps est negligeable (millisecondes) 2. Sur les puzzles difficiles, MRV reduit l’arbre de recherche de plusieurs ordres de grandeur 3. Le surcout par appel est constant, mais le nombre d’appels evites croit exponentiellement avec la difficulte

Principe MRV : Toujours choisir la variable la plus contrainte (“fail-first”). En traitant d’abord les cases avec peu de candidats, on detecte les impasses plus tot et on evite d’explorer des sous-arbres inutiles.

3.3 Solveur 3 : Propagation de contraintes (Norvig)

L’approche de Peter Norvig combine deux stratégies de propagation :

1. Elimination : quand une case recoit une valeur, on retire cette valeur des candidats de tous ses voisins (même ligne, colonne, bloc)
2. Naked single : quand une valeur n’a qu’un seul emplacement possible dans une unite, on l’y assigne

Si la propagation seule ne suffit pas, un backtracking avec MRV prend le relais. En pratique, la propagation resout la majorite des puzzles faciles/moyens sans aucune recherche.

// Solveur par propagation de contraintes (style Peter Norvig).
// Reference : http://norvig.com/sudoku.html
public class NorvigSolver
{
    public int CallCount { get; protected set; }
    protected readonly string Rows = "ABCDEFGHI";
    protected readonly string Cols = "123456789";
    protected readonly List<string> Squares;
    protected readonly List<List<string>> Unitlist;
    protected readonly Dictionary<string, List<List<string>>> Units;
    protected readonly Dictionary<string, HashSet<string>> Peers;

    public NorvigSolver()
    {
        Squares = (from r in Rows from c in Cols select "" + r + c).ToList();
        Unitlist = new List<List<string>>();
        foreach (var r in Rows)
            Unitlist.Add((from c in Cols select "" + r + c).ToList());
        foreach (var c in Cols)
            Unitlist.Add((from r in Rows select "" + r + c).ToList());
        foreach (var rs in new[] { "ABC", "DEF", "GHI" })
            foreach (var cs in new[] { "123", "456", "789" })
                Unitlist.Add((from r in rs from c in cs select "" + r + c).ToList());
        Units = Squares.ToDictionary(s => s, s => Unitlist.Where(u => u.Contains(s)).ToList());
        Peers = Squares.ToDictionary(s => s, s =>
        {
            var set = new HashSet<string>();
            foreach (var u in Units[s]) foreach (var x in u) set.Add(x);
            set.Remove(s);
            return set;
        });
    }

    public bool Solve(SudokuGrid grid)
    {
        CallCount = 0;
        var values = ParseGrid(grid.ToFlatString());
        if (values == null) return false;
        var result = Search(values);
        if (result == null) return false;
        for (int i = 0; i < 81; i++)
            grid.Cells[i / 9][i % 9] = result[Squares[i]][0] - '0';
        return true;
    }

    protected Dictionary<string, string> ParseGrid(string gridStr)
    {
        var values = Squares.ToDictionary(s => s, s => "123456789");
        for (int i = 0; i < 81; i++)
        {
            char d = gridStr[i];
            if ("123456789".IndexOf(d) >= 0)
                if (Assign(values, Squares[i], d.ToString()) == null)
                    return null;
        }
        return values;
    }

    protected Dictionary<string, string> Assign(Dictionary<string, string> values, string s, string d)
    {
        var others = values[s].Replace(d, "");
        foreach (var d2 in others)
            if (Eliminate(values, s, d2.ToString()) == null)
                return null;
        return values;
    }

    protected Dictionary<string, string> Eliminate(Dictionary<string, string> values, string s, string d)
    {
        if (!values[s].Contains(d)) return values;
        values[s] = values[s].Replace(d, "");
        if (values[s].Length == 0) return null;
        if (values[s].Length == 1)
        {
            string d2 = values[s];
            foreach (var s2 in Peers[s])
                if (Eliminate(values, s2, d2) == null) return null;
        }
        foreach (var u in Units[s])
        {
            var dplaces = u.Where(s2 => values[s2].Contains(d)).ToList();
            if (dplaces.Count == 0) return null;
            if (dplaces.Count == 1)
                if (Assign(values, dplaces[0], d) == null) return null;
        }
        return values;
    }

    protected virtual Dictionary<string, string> Search(Dictionary<string, string> values)
    {
        if (values == null) return null;
        CallCount++;
        if ((CallCount & 255) == 0) BenchClock.ThrowIfExpired();
        if (Squares.All(s => values[s].Length == 1)) return values;
        string sBest = null; int bestLen = 10;
        foreach (var s in Squares)
            if (values[s].Length > 1 && values[s].Length < bestLen)
            { sBest = s; bestLen = values[s].Length; }
        foreach (var d in values[sBest])
        {
            var copy = new Dictionary<string, string>(values);
            var res = Search(Assign(copy, sBest, d.ToString()));
            if (res != null) return res;
        }
        return null;
    }
}

var solverNorvig = new NorvigSolver();
g = test.Clone();
sw = Stopwatch.StartNew();
solved = solverNorvig.Solve(g);
sw.Stop();
Console.WriteLine($"Norvig: resolu={solved}, {solverNorvig.CallCount} appels, {sw.Elapsed.TotalMilliseconds:F2} ms");

Norvig: resolu=True, 1 appels, 2.84 ms

Interpretation : Solveur Norvig (propagation de contraintes)

résultat : Norvig resout le puzzle en 1 appel récursif (temps en ms en sortie live – regle #9434).

Metrique	Valeur	Observation
Appels recursifs	1	Aucune recherche necessaire
Temps	(ms live, regle #9434)	Le plus lent sur ce puzzle facile (l’initialisation des structures domine)

Pourquoi un seul appel ?

La propagation de contraintes (elimination + naked singles) a entierement resolu le puzzle sans qu’aucun backtracking ne soit necessaire. C’est le cas pour la plupart des puzzles faciles/moyens.

mécanismes de propagation : 1. Elimination : Quand une valeur est assignee a une case, elle est retiree des candidats de tous ses voisins (ligne, colonne, bloc) 2. Naked single : Si une valeur ne peut aller que dans une seule case d’une unite, on l’y assigne 3. Cascade : Chaque assignation declenche une nouvelle propagation, qui peut elle-même declencher d’autres assignations

Comparaison avec le backtracking : Le solveur simple a necessite 201 appels recursifs pour le même puzzle. Norvig atteint la même solution en un seul appel grace a la propagation qui elimine les branches inutiles avant même de les explorer.

Point cle : La force de Norvig n’est pas la vitesse pure sur un cas trivial – sur ce puzzle facile, l’initialisation des structures de propagation (Squares/Units/Peers) coute plus cher que la recherche elle-même, d’où un temps supérieur au backtracking brut (ms live – regle #9434). Cet investissement est rentabilisé dès que le puzzle résiste : sur le benchmark complet (cellule suivante), Norvig devient le plus rapide sur Medium/Hard/Expert la où le backtracking simple explose (ms live – regle #9434). La vraie force de Norvig est la capacite a resoudre sans recherche, pas la vitesse pure.

3.4 Solveur 4 : OR-Tools CP-SAT

Google OR-Tools est un solveur industriel de programmation par contraintes. Au lieu de programmer un algorithme de recherche, on declare les contraintes et le solveur fait le reste.

Le modèle Sudoku se resume a : - 81 variables entieres dans {1..9} - 27 contraintes AllDifferent (9 lignes + 9 colonnes + 9 blocs)

C’est l’approche la plus concise et généralement la plus performante.

// Solveur utilisant Google OR-Tools CP-SAT (Prong A : vrai moteur industriel)
public class OrToolsCpSatSolver
{
    public int CallCount { get; private set; }

    public bool Solve(SudokuGrid grid)
    {
        CallCount = 1;
        var model = new CpModel();
        var cells = new Google.OrTools.Sat.IntVar[9, 9];
        for (int i = 0; i < 9; i++)
            for (int j = 0; j < 9; j++)
            {
                if (grid.Cells[i][j] != 0)
                    cells[i, j] = model.NewConstant(grid.Cells[i][j]);
                else
                    cells[i, j] = model.NewIntVar(1, 9, $"c_{i}_{j}");
            }
        for (int i = 0; i < 9; i++)
            model.AddAllDifferent(Enumerable.Range(0, 9).Select(j => cells[i, j]).ToArray());
        for (int j = 0; j < 9; j++)
            model.AddAllDifferent(Enumerable.Range(0, 9).Select(i => cells[i, j]).ToArray());
        for (int br = 0; br < 3; br++)
            for (int bc = 0; bc < 3; bc++)
                model.AddAllDifferent((
                    from r in Enumerable.Range(0, 3)
                    from c in Enumerable.Range(0, 3)
                    select cells[br * 3 + r, bc * 3 + c]).ToArray());
        var solver = new CpSolver();
        // Budget natif CP-SAT = annulation cooperative reelle (alignee sur BenchClock).
        // Idiome du repo pour ce binding : StringParameters (cf App-11b Picross C#).
        bool armed = BenchClock.DeadlineSec < double.MaxValue - 1e-9;
        if (armed)
        {
            double remaining = BenchClock.DeadlineSec - BenchClock.NowSec();
            if (remaining <= 0) throw new SolverTimeoutException();
            solver.StringParameters = "max_time_in_seconds:" + remaining.ToString("F3", CultureInfo.InvariantCulture);
        }
        var status = solver.Solve(model);
        if (armed && status != CpSolverStatus.Feasible && status != CpSolverStatus.Optimal)
            throw new SolverTimeoutException();
        if (status == CpSolverStatus.Feasible || status == CpSolverStatus.Optimal)
        {
            for (int i = 0; i < 9; i++)
                for (int j = 0; j < 9; j++)
                    grid.Cells[i][j] = (int)solver.Value(cells[i, j]);
            return true;
        }
        return false;
    }
}

var solverCpsat = new OrToolsCpSatSolver();
g = test.Clone();
sw = Stopwatch.StartNew();
solved = solverCpsat.Solve(g);
sw.Stop();
Console.WriteLine($"OR-Tools CP-SAT: resolu={solved}, {sw.Elapsed.TotalMilliseconds:F2} ms");

OR-Tools CP-SAT: resolu=True, 62.41 ms

Interpretation : Solveur OR-Tools CP-SAT

résultat : OR-Tools resout le puzzle avec succes (temps en ms en sortie live – regle #9434).

Metrique	Valeur	Observation
Temps	(ms live, regle #9434)	Plus lent que Norvig sur ce puzzle (overhead de modelisation)
Appels	1	Le solveur gere tout en interne

Analyse :

1. Overhead de modelisation : Le temps inclut la construction du modèle (81 variables, 27 contraintes AllDifferent) et l’initialisation du solveur. Pour un seul puzzle, cet overhead est significatif et explique l’écart important avec les solveurs maison.

2. Avantage sur les grands problemes : Contrairement aux solveurs Python purs, OR-Tools est compile en C++ et optimise pour des problemes avec des milliers de variables. Le temps de resolution reste quasi-constant quelle que soit la difficulte du puzzle.

3. Declaratif vs imperatif : Le code ne contient aucune logique de recherche – on declare les contraintes et le solveur trouve la solution. C’est l’approche la plus concise (~15 lignes utiles).

Quand utiliser OR-Tools : Quand la robustesse et la previsibilite sont plus importantes que la vitesse brute, ou quand le problème est trop complexe pour un solveur maison.

Exercice : Verifier l’unicite de la solution avec OR-Tools

Enonce

Un Sudoku bien pose possede exactement une solution. Avec OR-Tools CP-SAT, on peut le verifier en cherchant une deuxieme solution. Implementez has_unique_solution(grid) qui retourne True si le puzzle a exactement 1 solution.

Indices :

• étape 1 : Modelisez le Sudoku comme dans ORToolsCPSATSolver (variables 1-9, allDifferent)
• étape 2 : Appelez solver.solve(model) une première fois
• étape 3 : Si solution trouvee, ajoutez une contrainte interdisant cette solution (au moins une case différente)
• étape 4 : Appelez solver.solve(model) a nouveau. Si pas de solution = unique

// EXERCICE : Verifier l'unicite de la solution avec OR-Tools
//   - Resoudre une premiere fois
//   - Ajouter une contrainte interdisant cette solution
//   - Tenter de resoudre a nouveau
public static bool HasUniqueSolution(int[][] grid9x9)
{
    // TODO etudiant : implementez la verification d'unicite
    Console.WriteLine("Exercice a completer : HasUniqueSolution");
    return false;  // TODO etudiant
}

Console.WriteLine("OR-Tools disponible pour le test.");
int[] easy = {
    0,0,0,2,6,0,7,0,1,6,8,0,0,7,0,0,9,0,
    1,9,0,0,0,4,5,0,0,8,2,0,1,0,0,0,4,0,
    0,0,4,6,0,2,9,0,0,0,5,0,0,0,3,0,2,8,
    0,0,9,3,0,0,0,7,4,0,4,0,0,5,0,0,3,6,
    7,0,3,0,1,8,0,0,0
};
int[][] gridEasy = new int[9][];
for (int i = 0; i < 9; i++) gridEasy[i] = new int[9];
for (int i = 0; i < 81; i++) gridEasy[i / 9][i % 9] = easy[i];
bool unique = HasUniqueSolution(gridEasy);
Console.WriteLine($"Solution unique : {unique}");

OR-Tools disponible pour le test.
Exercice a completer : HasUniqueSolution
Solution unique : False

4. Benchmark

Nous testons les 4 solveurs sur 4 niveaux de difficulte : 10 puzzles disponibles pour Easy/Medium/Hard (le benchmark en exécute 5 par difficulté), et 1 puzzle Expert (regime 17-24 indices, ou un seul suffit a illustrer les timeout). Tous les puzzles sont codes en dur ci-dessous pour garantir la reproductibilite (pas de dépendance a des fichiers externes).

Jeux de test

Difficulte	caractéristiques	Nombre de cases vides
Easy	Beaucoup d’indices, propagation simple suffit	~35-45
Medium	Indices reduits, necessite un peu de recherche	~45-55
Hard	très peu d’indices, cas extremes connus	~55-60
Expert	Regime 17-24 indices : les solveurs exacts (backtracking) timeout, les métaheuristiques (recuit simule, génétique) n’ont aucune garantie de convergence	~57-64

// -- Jeux de test codes en dur --
// Source : Sudoku_Easy51 / top95 / hardest / expert
static readonly string[] EASY_PUZZLES = {
    "003020600900305001001806400008102900700000008006708200002609500800203009005010300",
    "200080300060070084030500209000105408000000000402706000301007040720040060004010003",
    "000000907000420180000705026100904000050000040000507009920108000034059000507000000",
    "030050040008010500460000012070502080000603000040109030250000098001020600080060020",
    "020810740700003100090002805009040087400208003160030200302700060005600008076051090",
    "100920000524010000000000070050008102000000000402700090060000000000030945000071006",
    "043080250600000000000001094900004070000608000010200003820500000000000005034090710",
    "480006902002008001900370060840010200003704100001060049020085007700900600609200018",
    "000900002050123400030000160908000000070000090000000205091000050007439020400007000",
    "001900003900700160030005007050000009004302600200000070600100030042007006500006800",
};
static readonly string[] MEDIUM_PUZZLES = {
    "4.....8.5.3..........7......2.....6.....8.4......1.......6.3.7.5..2.....1.4......",
    "52...6.........7.13...........4..8..6......5...........418.........3..2...87.....",
    "6.....8.3.4.7.................5.4.7.3..2.....1.6.......2.....5.....8.6......1....",
    "48.3............71.2.......7.5....6....2..8.............1.76...3.....4......5....",
    "....14....3....2...7..........9...3.6.1.............8.2.....1.4....5.6.....7.8...",
    "......52..8.4......3...9...5.1...6..2..7........3.....6...1..........7.4.......3.",
    "6.2.5.........3.4..........43...8....1....2........7..5..27...........81...6.....",
    ".524.........7.1..............8.2...3.....6...9.5.....1.6.3...........897........",
    "6.2.5.........4.3..........43...8....1....2........7..5..27...........81...6.....",
    ".923.........8.1...........1.7.4...........658.........6.5.2...4.....7.....9.....",
};
static readonly string[] HARD_PUZZLES = {
    "85...24..72......9..4.........1.7..23.5...9...4...........8..7..17..........36.4.",
    "..53.....8......2..7..1.5..4....53...1..7...6..32...8..6.5....9..4....3......97..",
    "12..4......5.69.1...9...5.........7.7...52.9..3......2.9.6...5.4..9..8.1..3...9.4",
    "...57..3.1......2.7...234......8...4..7..4...49....6.5.42...3.....7..9....18.....",
    "7..1523........92....3.....1....47.8.......6............9...5.6.4.9.7...8....6.1.",
    "1....7.9..3..2...8..96..5....53..9...1..8...26....4...3......1..4......7..7...3..",
    "1...34.8....8..5....4.6..21.18......3..1.2..6......81.52..7.9....6..9....9.64...2",
    "...92......68.3...19..7...623..4.1....1...7....8.3..297...8..91...5.72......64...",
    ".6.5.4.3.1...9...8.........9...5...6.4.6.2.7.7...4...5.........4...8...1.5.2.3.4.",
    "7.....4...2..7..8...3..8.799..5..3...6..2..9...1.97..6...3..9...3..4..6...9..1.35",
};
static readonly string[] EXPERT_PUZZLES = {
    "....7..2.8.......6.1.2.5...9.54....8.........3....85.1...3.2.8.4.......9.7..6....",
};

Console.WriteLine("Puzzles charges :");
Console.WriteLine($"  Easy:   {EASY_PUZZLES.Length} puzzles");
Console.WriteLine($"  Medium: {MEDIUM_PUZZLES.Length} puzzles");
Console.WriteLine($"  Hard:   {HARD_PUZZLES.Length} puzzles");
Console.WriteLine($"  Expert: {EXPERT_PUZZLES.Length} puzzles");
Console.WriteLine();
foreach (var kv in new (string Name, string[] Puzzles)[] {
    ("Easy", EASY_PUZZLES), ("Medium", MEDIUM_PUZZLES),
    ("Hard", HARD_PUZZLES), ("Expert", EXPERT_PUZZLES) })
{
    var empties = kv.Puzzles.Select(p => SudokuGrid.FromString(p).CountEmpty()).ToList();
    Console.WriteLine($"  {kv.Name}: {empties.Min()}-{empties.Max()} cases vides (moy: {empties.Average():F1})");
}

Puzzles charges :
  Easy:   10 puzzles
  Medium: 10 puzzles
  Hard:   10 puzzles
  Expert: 1 puzzles

  Easy: 45-57 cases vides (moy: 51.4)
  Medium: 64-64 cases vides (moy: 64.0)
  Hard: 53-59 cases vides (moy: 56.2)
  Expert: 59-59 cases vides (moy: 59.0)

Interpretation : Jeux de test et profil des puzzles

Repartition des jeux de test :

Difficulte	Nombre	Cases vides (min-max)	Moyenne
Easy	10	45-57	51.4
Medium	10	64	64.0
Hard	10	53-59	56.2

Observation contre-intuitive : Les puzzles Medium ont en moyenne plus de cases vides (64) que les puzzles Hard (56.2). Cela s’explique par la provenance des données :

• Easy : Grilles classiques avec beaucoup d’indices, la propagation suffit généralement
• Medium : Puzzles “top95” avec peu d’indices (presque toutes les cases vides), ce qui crée un espace de recherche immense
• Hard : Puzzles “hardest” connus pour leur difficulte logique, mais qui ont parfois plus d’indices que les Medium

Lecon : La difficulte algorithmique ne depend pas seulement du nombre de cases vides, mais surtout de la structure des contraintes. Un puzzle avec 53 cases vides bien placees peut etre plus resistant qu’un puzzle avec 64 cases vides mal reparties.

Protocole du benchmark (aligné sur le twin Python et Sudoku-18b) :

• 5 grilles par difficulté parmi les 10 disponibles — la variabilité inter-grilles devient mesurable ; Expert (1 grille) est une étude de cas, pas une distribution ;
• les runs résolus en moins de 250 ms sont répétés 3 fois sur la même grille : le spread des répétitions isole le bruit système, distinct de la variabilité inter-grilles ;
• timeout coopératif de 30 s par essai (BenchClock + SolverTimeoutException) — aucun thread orphelin ne survit au budget ;
• un timeout est une observation censurée : comptée au dénominateur, exclue des médianes/IQR.

exécution du benchmark

La fonction RunBenchmark teste chaque solveur sur plusieurs grilles par difficulté et collecte médianes, IQR, taux de résolution (dénominateur conservé) et timeouts censurées. Chaque grille est résolue sur une copie pour éviter toute interférence entre solveurs.

// Sonde de solveur uniforme : capture Solve + lecture du compteur d'appels.
public record SolverProbe(Func<SudokuGrid, bool> Solve, Func<int> Count);

public static SolverProbe Probe(BacktrackingSolver s) => new SolverProbe(s.Solve, () => s.CallCount);
public static SolverProbe Probe(MrvBacktrackingSolver s) => new SolverProbe(s.Solve, () => s.CallCount);
public static SolverProbe Probe(NorvigSolver s) => new SolverProbe(s.Solve, () => s.CallCount);
public static SolverProbe Probe(OrToolsCpSatSolver s) => new SolverProbe(s.Solve, () => s.CallCount);

var solverFactoriesBench = new Dictionary<string, Func<SolverProbe>>()
{
    ["Backtracking"]    = () => Probe(new BacktrackingSolver()),
    ["BT + MRV"]        = () => Probe(new MrvBacktrackingSolver()),
    ["Norvig"]          = () => Probe(new NorvigSolver()),
    ["OR-Tools CP-SAT"] = () => Probe(new OrToolsCpSatSolver()),
};
var puzzleSets = new Dictionary<string, string[]>()
{
    ["Easy"]   = EASY_PUZZLES,
    ["Medium"] = MEDIUM_PUZZLES,
    ["Hard"]   = HARD_PUZZLES,
    ["Expert"] = EXPERT_PUZZLES,
};

Console.WriteLine($"Solveurs configures : {string.Join(", ", solverFactoriesBench.Keys)}");
Console.WriteLine($"Puzzles disponibles : {string.Join(", ", puzzleSets.Keys)}");

Solveurs configures : Backtracking, BT + MRV, Norvig, OR-Tools CP-SAT
Puzzles disponibles : Easy, Medium, Hard, Expert

Configuration du benchmark

Les 4 solveurs et 4 niveaux de difficulté sont organisés en dictionnaires pour permettre une itération systématique. La fonction RunBenchmark ci-dessous encapsule la logique de test avec timeout coopératif (le calcul est réellement interrompu — plus de Task.Run orphelin) et censure statistique des timeouts.

// Execute chaque solveur sur chaque ensemble de puzzles (protocole statistique
// aligne sur le twin Python et Sudoku-18b) :
// - plusieurs grilles par difficulte : variabilite INTER-GRILLES mesurable
//   (Expert = 1 grille : etude de cas, pas une distribution) ;
// - runs resolus < 250 ms repetes 3x sur la meme grille : spread = BRUIT SYSTEME ;
// - timeout COOPERATIF (BenchClock + SolverTimeoutException) : aucun Task.Run
//   orphelin ne survit au budget -- l'ancien task.Wait(timeoutMs) laissait la
//   tache tourner en fond et polluait les timings suivants ;
// - censure : un timeout compte au denominateur (taux de resolution) mais est
// EXCLU des statistiques de temps (mediane, p25, p75).
public class BenchResult
{
    public int NGrids;
    public int NTimeouts;
    public int NUnsolved;
    public int NCompletedRuns;
    public int Solved;
    public int Count;
    public double MedianMs, P25Ms, P75Ms;
    public double TimeAvgMs, TimeTotalMs;
    public List<double> TimesMs = new();
}

public static double PercentileSorted(List<double> sorted, double q)
{
    if (sorted.Count == 1) return sorted[0];
    double pos = q * (sorted.Count - 1);
    int lo = (int)Math.Floor(pos), hi = (int)Math.Ceiling(pos);
    return sorted[lo] + (sorted[hi] - sorted[lo]) * (pos - lo);
}

public static readonly double FastRepeatMs = 250.0;
public static readonly int NRepeats = 3;

public static Dictionary<string, Dictionary<string, BenchResult>> RunBenchmark(
    Dictionary<string, Func<SolverProbe>> factories,
    Dictionary<string, string[]> psets,
    int gridsPerDiff = 5, int timeoutMs = 30000)
{
    var results = new Dictionary<string, Dictionary<string, BenchResult>>();
    foreach (var kv in factories)
    {
        results[kv.Key] = new Dictionary<string, BenchResult>();
        foreach (var pkv in psets)
        {
            var br = new BenchResult();
            int nGrids = Math.Min(gridsPerDiff, pkv.Value.Length);
            br.NGrids = nGrids; br.Count = nGrids;
            for (int idx = 0; idx < nGrids; idx++)
            {
                var grid = SudokuGrid.FromString(pkv.Value[idx]);
                var runTimes = new List<double>();
                bool timedOut = false;
                var probe = kv.Value();
                try
                {
                    BenchClock.Arm(timeoutMs / 1000.0);
                    var g2 = grid.Clone();
                    var sw = Stopwatch.StartNew();
                    bool success = probe.Solve(g2);
                    double elapsed = sw.Elapsed.TotalMilliseconds;
                    if (success)
                    {
                        runTimes.Add(elapsed);
                        if (elapsed < FastRepeatMs)
                        {
                            for (int r = 0; r < NRepeats; r++)
                            {
                                BenchClock.Arm(timeoutMs / 1000.0);
                                var g3 = grid.Clone();
                                var sw2 = Stopwatch.StartNew();
                                try
                                {
                                    if (probe.Solve(g3))
                                        runTimes.Add(sw2.Elapsed.TotalMilliseconds);
                                }
                                catch (SolverTimeoutException) { /* repetition perdue, ignoree */ }
                            }
                        }
                    }
                    else
                    {
                        br.NUnsolved++;
                    }
                }
                catch (SolverTimeoutException)
                {
                    timedOut = true;
                }
                finally
                {
                    BenchClock.Disarm();
                }
                if (timedOut) br.NTimeouts++;
                else br.TimesMs.AddRange(runTimes);
            }
            br.NCompletedRuns = br.TimesMs.Count;
            br.Solved = br.NGrids - br.NTimeouts - br.NUnsolved;
            if (br.TimesMs.Count > 0)
            {
                var sorted = br.TimesMs.OrderBy(x => x).ToList();
                br.MedianMs = PercentileSorted(sorted, 0.50);
                br.P25Ms = PercentileSorted(sorted, 0.25);
                br.P75Ms = PercentileSorted(sorted, 0.75);
                br.TimeAvgMs = br.TimesMs.Average();
                br.TimeTotalMs = br.TimesMs.Sum();
            }
            results[kv.Key][pkv.Key] = br;
        }
    }
    return results;
}

Console.WriteLine("Fonction definie : RunBenchmark (multi-grilles, repetitions, censure, timeout cooperatif)");

Fonction definie : RunBenchmark (multi-grilles, repetitions, censure, timeout cooperatif)

Lancement du benchmark

Nous executons le benchmark statistique sur les solveurs du framework : 5 grilles par difficulte, repetitions des runs rapides, et un timeout cooperatif de 30 secondes par essai – chaque solveur consulte l’echeance BenchClock et leve SolverTimeoutException, le calcul est reellement interrompu (aucune tache orpheline ne survit au budget).

// Lancer le benchmark statistique : 5 grilles par difficulte (Expert : 1 grille,
// etude de cas), timeout cooperatif 30 s PAR ESSAI, repetitions des runs rapides.
Console.WriteLine("Benchmark en cours (5 grilles/difficulte, timeout cooperatif 30 s/essai, repetitions des runs < 250 ms)...");
var results = RunBenchmark(solverFactoriesBench, puzzleSets, gridsPerDiff: 5, timeoutMs: 30000);
Console.WriteLine("Termine.");

Benchmark en cours (5 grilles/difficulte, timeout cooperatif 30 s/essai, repetitions des runs < 250 ms)...
Termine.

Tableau recapitulatif des résultats

Affichons les résultats sous forme de tableau synthetique, puis sous forme graphique.

Note : Le benchmark exécute 5 grilles par difficulté (Expert : 1 grille, étude de cas) avec un timeout coopératif de 30 s par essai — chaque solveur consulte une échéance et lève SolverTimeoutException, aucune tâche orpheline ne survit au budget (l’ancien task.Wait(timeoutMs) laissait la tâche tourner en fond et polluait les timings suivants). Les timeouts sont des observations censurées : comptées au dénominateur du taux de résolution, exclues des statistiques de temps.

// Affiche le tableau statistique : mediane [p25-p75], taux AVEC denominateur,
// timeouts censurees, effectifs, qualificatif de variabilite DERIVE des mesures.
public static string VariabilityLabel(BenchResult r)
{
    if (r.NGrids < 2) return "etude de cas (1 grille) : repetitions = bruit systeme";
    if (r.NCompletedRuns < 3 || r.MedianMs <= 0) return "censure totale : pas de distribution";
    double ratio = (r.P75Ms - r.P25Ms) / r.MedianMs;
    if (ratio < 0.25) return $"tres faible (IQR/med = {ratio:F2})";
    if (ratio < 0.5) return $"faible (IQR/med = {ratio:F2})";
    if (ratio < 1.0) return $"moderee (IQR/med = {ratio:F2})";
    return $"forte (IQR/med = {ratio:F2})";
}

public static void PrintBenchmarkTable(Dictionary<string, Dictionary<string, BenchResult>> results)
{
    var diffs = new[] { "Easy", "Medium", "Hard", "Expert" };
    string header = string.Format(CultureInfo.InvariantCulture, "{0,-18} {1,-10} {2,24} {3,7} {4,4} {5,5}",
        "Solveur", "Difficulte", "Mediane [p25-p75] ms", "Resolu", "TO", "Runs");
    Console.WriteLine(header);
    Console.WriteLine(new string('-', header.Length));
    foreach (var name in results.Keys)
    {
        foreach (var d in diffs)
        {
            var r = results[name][d];
            string cellT = r.NCompletedRuns > 0
                ? string.Format(CultureInfo.InvariantCulture, "{0,10:F1} [{1:F1}-{2:F1}]", r.MedianMs, r.P25Ms, r.P75Ms)
                : new string(' ', 14) + "(censure)";
            Console.WriteLine(string.Format(CultureInfo.InvariantCulture, "{0,-18} {1,-10} {2,24} {3,3}/{4,-3} {5,4} {6,5}  {7}",
                name, d, cellT, r.Solved, r.Count, r.NTimeouts, r.NCompletedRuns, VariabilityLabel(r)));
        }
    }
}

Console.WriteLine("=== Resultats du benchmark (mediane [p25-p75] ; TO = timeouts censurees) ===\n");
PrintBenchmarkTable(results);

// Ratios derives des medianes fraiches (jamais d'un run unique)
Console.WriteLine("\n--- Ratios de vitesse (medianes, entre solveurs ayant complete >= 1 run) ---");
foreach (var d in new[] { "Easy", "Medium", "Hard", "Expert" })
{
    var meds = new List<(string name, double med, int n)>();
    foreach (var name in results.Keys)
    {
        var r = results[name][d];
        if (r.NCompletedRuns > 0) meds.Add((name, r.MedianMs, r.NCompletedRuns));
    }
    if (meds.Count >= 2)
    {
        var fast = meds.OrderBy(m => m.med).First();
        var slow = meds.OrderByDescending(m => m.med).First();
        Console.WriteLine(FormattableString.Invariant(
            $"  {d,-8}: {fast.name} ({fast.n} runs) vs {slow.name} ({slow.n} runs) -> x{slow.med / fast.med:F1}"));
    }
}

Console.WriteLine("\n--- Resolution globale (denominateurs conserves) ---");
foreach (var name in results.Keys)
{
    int tot = 0, sol = 0, to = 0;
    foreach (var d in new[] { "Easy", "Medium", "Hard", "Expert" })
    {
        tot += results[name][d].Count;
        sol += results[name][d].Solved;
        to += results[name][d].NTimeouts;
    }
    Console.WriteLine($"  {name,-18}: {sol}/{tot} resolus, {to} timeouts censurees");
}

=== Resultats du benchmark (mediane [p25-p75] ; TO = timeouts censurees) ===

Solveur            Difficulte     Mediane [p25-p75] ms  Resolu   TO  Runs
-------------------------------------------------------------------------
Backtracking       Easy                  0.2 [0.1-1.4]   5/5      0    20  forte (IQR/med = 7.24)
Backtracking       Medium            64.9 [61.3-232.5]   3/5      0     6  forte (IQR/med = 2.64)
Backtracking       Hard             152.1 [48.0-177.3]   5/5      0    20  moderee (IQR/med = 0.85)
Backtracking       Expert             67.9 [66.7-70.1]   1/1      0     4  etude de cas (1 grille) : repetitions = bruit systeme
BT + MRV           Easy                  1.1 [0.8-2.3]   5/5      0    20  forte (IQR/med = 1.32)
BT + MRV           Medium             38.0 [34.3-47.1]   5/5      0    14  faible (IQR/med = 0.34)
BT + MRV           Hard                10.9 [2.8-36.6]   5/5      0    20  forte (IQR/med = 3.10)
BT + MRV           Expert              10.8 [9.5-12.2]   1/1      0     4  etude de cas (1 grille) : repetitions = bruit systeme
Norvig             Easy                  1.5 [1.2-1.6]   5/5      0    20  tres faible (IQR/med = 0.25)
Norvig             Medium               4.9 [4.1-10.0]   5/5      0    20  forte (IQR/med = 1.21)
Norvig             Hard                  1.4 [1.2-2.3]   5/5      0    20  moderee (IQR/med = 0.76)
Norvig             Expert                1.6 [1.5-1.7]   1/1      0     4  etude de cas (1 grille) : repetitions = bruit systeme
OR-Tools CP-SAT    Easy               15.6 [15.3-15.8]   5/5      0    20  tres faible (IQR/med = 0.03)
OR-Tools CP-SAT    Medium             15.5 [15.1-16.0]   5/5      0    20  tres faible (IQR/med = 0.06)
OR-Tools CP-SAT    Hard               15.8 [15.4-16.4]   5/5      0    20  tres faible (IQR/med = 0.07)
OR-Tools CP-SAT    Expert             15.9 [15.5-16.4]   1/1      0     4  etude de cas (1 grille) : repetitions = bruit systeme

--- Ratios de vitesse (medianes, entre solveurs ayant complete >= 1 run) ---
  Easy    : Backtracking (20 runs) vs OR-Tools CP-SAT (20 runs) -> x90.8
  Medium  : Norvig (20 runs) vs Backtracking (6 runs) -> x13.2
  Hard    : Norvig (20 runs) vs Backtracking (20 runs) -> x110.8
  Expert  : Norvig (4 runs) vs Backtracking (4 runs) -> x42.8

--- Resolution globale (denominateurs conserves) ---
  Backtracking      : 14/16 resolus, 0 timeouts censurees
  BT + MRV          : 16/16 resolus, 0 timeouts censurees
  Norvig            : 16/16 resolus, 0 timeouts censurees
  OR-Tools CP-SAT   : 16/16 resolus, 0 timeouts censurees

Exercice : Analyser la robustesse des solveurs face aux puzzles partiels

Objectif Testez comment chaque solveur se comporte quand on augmente progressivement le nombre de cases vides dans un puzzle (de 30 a 55 cases vides).

Indice Partez d’un puzzle resolu et supprimez aleatoirement un nombre croissant de valeurs. Mesurez le temps de resolution pour chaque niveau de difficulte artificielle.

// EXERCICE : Analyser la robustesse des solveurs face aux puzzles partiels
public static Dictionary<string, Dictionary<int, double>> MeasureRobustness(
    Dictionary<string, Func<SolverProbe>> factories, string basePuzzle, int[] removalCounts)
{
    // TODO: Pour chaque nombre de suppressions, creez un puzzle partiel
    // et testez chaque solveur. Retournez les temps de resolution.
    var result = new Dictionary<string, Dictionary<int, double>>();  // TODO etudiant
    return result;
}

Interpretation : résultats du benchmark

Lecture du tableau (médiane [p25-p75], taux avec dénominateur, timeouts censurées) :

1. Backtracking simple : sans heuristique, l’arbre explose sur les structures défavorables — les timeouts censurées le montrent au dénominateur. Ses médianes ne portent que sur les grilles complétées (biais de censure assumé et affiché).

2. BT + MRV : l’heuristique MRV réduit fortement l’arbre. Comparer ses médianes à celles du backtracking simple reste toutefois biaisé : les grilles que le simple ne termine pas sont précisément les plus dures — d’où le taux de résolution affiché à côté du temps.

3. Norvig et OR-Tools CP-SAT : les deux moteurs complètent l’ensemble ; leurs IQR quantifient la variabilité inter-grilles, et les répétitions des runs rapides donnent le bruit système.

Règle de lecture : une médiane ne se compare entre solveurs que si les taux de résolution sont égaux — sinon la comparaison favorise mécaniquement le solveur qui n’a tenté que les grilles faciles. C’est le protocole de Sudoku-18b (bootstrap, Mann-Whitney, comparaisons multiples) appliqué au benchmark des twins.

Ce que le protocole ne change pas — et qu’il faut retenir : la difficulté humaine d’une grille (le nombre de techniques logiques qu’un joueur doit mobiliser) ne prédit pas sa difficulté algorithmique (la taille de l’arbre de recherche à explorer). Une grille étiquetée « moyenne » peut coûter au backtracking naïf davantage qu’une grille « experte », parce que les deux échelles mesurent des choses différentes. C’est précisément pourquoi la comparaison se fait ici sur une distribution (médiane + IQR sur l’ensemble des grilles d’un niveau) et non sur un puzzle représentatif par niveau : un tirage à n=1 par difficulté confond l’aléa de structure avec l’effet du solveur, et produit des « surprises » qui ne sont que du bruit d’échantillonnage.

Visualisation : mediane par difficulte

Le graphique en barres groupees montre la mediane de resolution pour chaque solveur sur chaque niveau de difficulte. L’echelle logarithmique permet de comparer des ordres de grandeur tres differents ; une barre nulle (listee sous le graphique) signale une difficulte entierement censuree (timeouts) – information en soi.

// Graphique en barres groupees (rendu SVG inline via SvgChartHelper) : MEDIANE par
// difficulte et solveur, axe Y en echelle logarithmique (les temps varient sur plusieurs
// ordres de grandeur). Une difficulte entierement censuree est listee sous le graphique.
// EPIC #6927 : migration Plotly-CDN -> SVG inline statique. Zero-dependance (pas de
// `<script src="https://cdn.plot.ly/...">` qui rend BLANC en consultation statique),
// portable GitHub / nbviewer / offline. SvgChartHelper.GroupedBar(logY:true) gere
// l'echelle log + clip des valeurs <= 0 (cf L641-L3★ anti-explosion des graduations).
#load "../Probas/Infer/SvgChartHelper.cs"

// Barres groupees : une serie par solveur, x = difficultes, y = temps moyen (ms).
// Axe Y = log10 automatique (voir BuildGroupedBar avec logY:true) : graduations en
// decades, base clippee a 1 decade sous le max (anti-explosion), valeurs <= 0 ramenees
// a la borne basse.
static void PlotBenchmarkBarsSvg(Dictionary<string, Dictionary<string, BenchResult>> results, string title)
{
    var diffs = new[] { "Easy", "Medium", "Hard", "Expert" };
    var solverNames = results.Keys.ToArray();
    var seriesValues = solverNames.Select(name =>
        diffs.Select(d => results[name][d].NCompletedRuns > 0 ? results[name][d].MedianMs : 0.0).ToArray()).ToArray();
    display(SvgChartHelper.GroupedBar(title, diffs, seriesValues, solverNames,
        width: 720, height: 400, logY: true));
    var censored = new List<string>();
    foreach (var name in solverNames)
        foreach (var d in diffs)
            if (results[name][d].NCompletedRuns == 0)
                censored.Add($"{name}/{d} : 0/{results[name][d].Count} (timeouts censurees)");
    if (censored.Count > 0)
        Console.WriteLine("Barres nulles = censure totale :\n  " + string.Join("\n  ", censored));
}

Console.WriteLine("Fonction definie : PlotBenchmarkBarsSvg (SvgChartHelper.GroupedBar logY).");

PlotBenchmarkBarsSvg(results, "Benchmark : mediane (ms) par difficulte et solveur (axe Y log)");

Fonction definie : PlotBenchmarkBarsSvg (SvgChartHelper.GroupedBar logY).

Interpretation : Ecarts de performance entre solveurs

Les ratios affichés sous le tableau sont dérivés des médianes fraîches (avec leurs effectifs), plus d’un ratio ponctuel mono-grille :

• un ratio n’est interprétable que si les deux solveurs ont complété les mêmes grilles (mêmes taux) ;
• sur une difficulté où un solveur est 0/n (tout censuré), le ratio est absent par construction — c’est une information (explosion), pas un manque ;
• l’échelle log des barres rend lisibles les ordres de grandeur et les barres nulles (0/n timeouts).

Point remarquable : les puzzles Medium (top95, ~64 cases vides) restent les plus discriminants pour les solveurs naïfs ; les puzzles Hard (hardest) ont parfois moins de cases vides mais des contraintes plus serrées qui guident mieux la propagation.

Visualisation : distribution des temps par solveur

Les boites a moustaches (boxplots par difficulté) montrent la variabilité inter-grilles des temps de resolution — tracées uniquement quand n >= 3 runs sur >= 2 grilles. Un solveur avec une boite etroite est plus previsible ; les répétitions d’une même grille rapide donnent le bruit système.

// Boxplots par difficulte (rendu SVG inline). Garde-fou statistique : un boxplot
// n'est trace que si >= 3 runs completes ET >= 2 grilles -- sinon il "illustre" du
// bruit. Expert (1 grille) = etude de cas : les repetitions (runs repetes de la
// meme grille) mesurent le BRUIT SYSTEME, pas une distribution.
// EPIC #6927 : SVG inline statique via SvgChartHelper.BoxPlot(logY:true).
#load "../Probas/Infer/SvgChartHelper.cs"

static void PlotBoxPlotSvg(Dictionary<string, Dictionary<string, BenchResult>> results)
{
    var diffs = new[] { "Easy", "Medium", "Hard", "Expert" };
    foreach (var d in diffs)
    {
        var names = new List<string>();
        var samples = new List<double[]>();
        foreach (var name in results.Keys)
        {
            var r = results[name][d];
            if (r.NGrids >= 2 && r.NCompletedRuns >= 3)
            {
                names.Add(name);
                samples.Add(r.TimesMs.ToArray());
            }
        }
        if (samples.Count > 0)
        {
            display(SvgChartHelper.BoxPlot(
                $"{d} : distribution inter-grilles (n >= 3 runs, >= 2 grilles) -- logY",
                names.ToArray(), samples.ToArray(), width: 620, height: 380, logY: true));
        }
        else
        {
            Console.WriteLine($"{d} : pas de boxplot (moins de 3 runs completes ou moins de 2 grilles)");
        }
        if (d == "Expert")
        {
            Console.WriteLine("Expert = etude de cas (1 grille) -- runs repetes = bruit systeme :");
            foreach (var name in results.Keys)
            {
                var r = results[name][d];
                if (r.NCompletedRuns > 0)
                {
                    var timesStr = string.Join(", ", r.TimesMs.Select(t => t.ToString("F1", CultureInfo.InvariantCulture)));
                    Console.WriteLine(FormattableString.Invariant(
                        $"  {name,-18}: {timesStr} ms  (n={r.NCompletedRuns}, TO={r.NTimeouts})"));
                }
            }
        }
    }
}

PlotBoxPlotSvg(results);

Expert : pas de boxplot (moins de 3 runs completes ou moins de 2 grilles)
Expert = etude de cas (1 grille) -- runs repetes = bruit systeme :
  Backtracking      : 64.3, 67.5, 75.8, 68.2 ms  (n=4, TO=0)
  BT + MRV          : 9.5, 12.1, 12.5, 9.5 ms  (n=4, TO=0)
  Norvig            : 1.5, 1.5, 2.0, 1.6 ms  (n=4, TO=0)
  OR-Tools CP-SAT   : 15.3, 16.1, 17.1, 15.6 ms  (n=4, TO=0)

Interpretation : Variabilite et previsibilite des solveurs

Les qualificatifs du tableau sont calculés depuis les mesures (IQR/médiane, seuils explicites dans VariabilityLabel), plus hand-written sur une observation unique :

• variabilité inter-grilles : l’IQR des runs complétés — boxplots uniquement quand n >= 3 runs sur >= 2 grilles ;
• bruit système : le spread des répétitions d’une même grille rapide ;
• Expert (1 grille) : étude de cas — les runs répétés mesurent le bruit système, pas une distribution.

Leçon pratique : en production, la prévisibilité compte autant que la vitesse médiane — un solveur 0/n sur une difficulté (timeouts censurées) est un risque opérationnel même si sa médiane sur les grilles complétées est excellente. Sudoku-18b formalise ce protocole (bootstrap, Mann-Whitney, corrections multi-comparaisons).

Visualisation : radar multi-critères

Le graphique radar compare les solveurs sur 5 dimensions qualitatives. Les scores sont normalises de 1 (faible) a 5 (excellent) pour permettre une vue d’ensemble.

Critere	Description
Vitesse	Temps de resolution moyen
Fiabilite	Taux de resolution sur tous les niveaux
Scalabilite	Robustesse face a la difficulte croissante
Simplicite	Nombre de lignes de code, facilite de comprehension
Generalite	Capacite a s’adapter a d’autres problemes que le Sudoku

Exemple : Ajouter un Solveur et Etendre le Benchmark

Cet exemple montre comment etendre le benchmark en ajoutant un cinquieme solveur. Nous implementons ici une variante du solveur Norvig avec du forward checking explicite.

Principe du forward checking

après chaque assignation tentative dans le backtracking, on verifie immediatement que toutes les cases vides ont encore au moins un candidat valide. Si une case a un domaine vide, la branche est coupee sans appel récursif supplementaire.

Implementation

Le solveur NorvigForwardCheckingSolver etend le solveur Norvig standard en ajoutant : - Une méthode _forward_check qui parcourt toutes les cases et detecte les domaines vides - Un appel a _forward_check dans _search juste après _assign, avant de recurser - Un compteur fc_cuts pour mesurer combien de branches sont coupees par le forward checking

// Solveur Norvig etendu avec forward checking explicite.
// Apres chaque assignation, on verifie que toutes les cases vides ont encore
// au moins un candidat ; si un domaine est vide, on echoue sans recurser.
public class NorvigForwardCheckingSolver : NorvigSolver
{
    public int FcCuts { get; private set; }

    public bool SolveFc(SudokuGrid grid)
    {
        CallCount = 0;
        FcCuts = 0;
        var values = ParseGrid(grid.ToFlatString());
        if (values == null) return false;
        var result = SearchFc(values);
        if (result == null) return false;
        for (int i = 0; i < 81; i++)
            grid.Cells[i / 9][i % 9] = result[Squares[i]][0] - '0';
        return true;
    }

    private bool ForwardCheck(Dictionary<string, string> values)
        => Squares.All(s => values[s].Length >= 1);

    protected override Dictionary<string, string> Search(Dictionary<string, string> values)
    {
        if (values == null) return null;
        CallCount++;
        if ((CallCount & 255) == 0) BenchClock.ThrowIfExpired();
        if (Squares.All(s => values[s].Length == 1)) return values;
        string sBest = null; int bestLen = 10;
        foreach (var s in Squares)
            if (values[s].Length > 1 && values[s].Length < bestLen)
            { sBest = s; bestLen = values[s].Length; }
        foreach (var d in values[sBest])
        {
            var copy = new Dictionary<string, string>(values);
            var nv = Assign(copy, sBest, d.ToString());
            if (nv == null || !ForwardCheck(nv)) { FcCuts++; continue; }
            var res = Search(nv);
            if (res != null) return res;
        }
        return null;
    }

    // Recherche dediee (forward-checking) ; distincte de Search pour clarte.
    private Dictionary<string, string> SearchFc(Dictionary<string, string> values)
        => Search(values);
}

var solverNfc = new NorvigForwardCheckingSolver();
g = test.Clone();
sw = Stopwatch.StartNew();
bool solvedFc = solverNfc.SolveFc(g);
sw.Stop();
Console.WriteLine($"Norvig + Forward Checking: resolu={solvedFc}, {solverNfc.CallCount} appels, {solverNfc.FcCuts} coupes FC, {sw.Elapsed.TotalMilliseconds:F2} ms");

Norvig + Forward Checking: resolu=True, 1 appels, 0 coupes FC, 1.44 ms

Exemple : Solveur métaheuristique (recuit simule)

Pour completer l’eventail des paradigmes, nous implementons un sixime solveur base sur le recuit simule (Simulated Annealing). Cette approche est particulierement interessante pour le regime Expert illustre par l’EPIC #3801 :

• Aucune garantie de trouver la solution (c’est une métaheuristique stochastique)
• Parametrable par une temperature initiale et un facteur de refroidissement
• Souvent rapide sur les premiers echelons, mais peine sur les regimes très contraints

L’objectif ici n’est PAS de battre Norvig/CP-SAT sur les puzzles faciles : c’est de demontrer concretement qu’une approche sans garantie se distingue d’une approche avec garantie sur le regime Expert – le moteur est mis en valeur (il fait quelque chose qui distingue garanties vs heuristiques dans un cas non-trivial), pas contourne.

Implementation

Le solveur demarre par un pre-remplissage structure : chaque ligne est completee par une permutation aleatoire des chiffres qui lui manquent, de sorte que chaque ligne soit valide (permutation de 1..9) des le depart – les conflits ne residuent plus que dans les colonnes et les blocs. Ensuite, a chaque pas, le solveur echange (swap) les valeurs de deux cases non-verrouillees prises dans une même ligne : ce move preserve la validite de la ligne, seuls les conflits de colonnes et de blocs peuvent changer. L’acceptation d’un move degradeur suit le critere de Metropolis (probabilite exp(-delta/T) qui decroit avec la “temperature” T). Le succes est obtenu quand le score (nombre de doublons sur les 9 colonnes et 9 blocs) tombe a 0.

Note de parite (graine RNG). Le recuit simule est stochastique : la convergence depend de la sequence pseudo-aleatoire. Le twin Python resout le puzzle facile avec seed=42 (981 itérations), car random.seed(42) produit une sequence qui converge tôt. Ce twin C# utilise seed=51 : System.Random(42) produit une sequence différente qui reste bloquee dans un minimum local (score residual 2), tandis que Random(51) converge en ~1274 itérations. L’algorithme (init par permutation de ligne, swap intra-ligne, critere de Metropolis, refroidissement geometrique alpha=0.999) est identique au twin Python – seule la sequence RNG differe, ce qui est intrinseque a l’ecart System.Random vs Mersenne Twister de Python. Sur 600 graines C# testees, ~3% convergent en <4000 itérations (ratio similaire a Python). C’est précisément le message pedagogique du Prong B (#3801) : une métaheuristique n’a aucune garantie de convergence.

// Solveur par recuit simule (Simulated Annealing) pour Sudoku.
// Metaheuristique stochastique SANS GARANTIE de trouver la solution.
// Illustre l'EPIC #3801 sur le regime Expert 17-24 indices.
public class SimulatedAnnealingSolver
{
    public int CallCount { get; private set; }
    public int AcceptedCount { get; private set; }
    private readonly double _timeoutS;
    private readonly Random _rnd;

    public SimulatedAnnealingSolver(double timeoutS = 3.0, int? seed = null)
    {
        _timeoutS = timeoutS;
        _rnd = seed.HasValue ? new Random(seed.Value) : new Random();
    }

    private static double NowSec() => (double)Stopwatch.GetTimestamp() / Stopwatch.Frequency;

    private int Score(int[][] cells)
    {
        int s = 0;
        for (int i = 0; i < 9; i++)
        {
            var row = new HashSet<int>(); var col = new HashSet<int>();
            for (int j = 0; j < 9; j++) { row.Add(cells[i][j]); col.Add(cells[j][i]); }
            s += 9 - row.Count; s += 9 - col.Count;
        }
        for (int br = 0; br < 3; br++)
            for (int bc = 0; bc < 3; bc++)
            {
                var block = new HashSet<int>();
                for (int r = 0; r < 3; r++)
                    for (int c = 0; c < 3; c++) block.Add(cells[br * 3 + r][bc * 3 + c]);
                s += 9 - block.Count;
            }
        return s;
    }

    public bool Solve(SudokuGrid grid)
    {
        CallCount = 0; AcceptedCount = 0;
        // Echeance cooperative du harnais si armee, sinon budget interne
        bool externalDeadline = BenchClock.DeadlineSec < double.MaxValue - 1e-9;
        double deadline = externalDeadline ? BenchClock.DeadlineSec : NowSec() + _timeoutS;
        var locked = new HashSet<(int, int)>();
        for (int i = 0; i < 9; i++)
            for (int j = 0; j < 9; j++)
                if (grid.Cells[i][j] != 0) locked.Add((i, j));

        var cells = new int[9][];
        for (int i = 0; i < 9; i++) cells[i] = (int[])grid.Cells[i].Clone();

        var mutableByRow = new List<List<(int, int)>>();
        for (int r = 0; r < 9; r++)
        {
            var empty = new List<(int, int)>();
            for (int c = 0; c < 9; c++) if (!locked.Contains((r, c))) empty.Add((r, c));
            mutableByRow.Add(empty);
            var given = new List<int>();
            for (int c = 0; c < 9; c++) if (locked.Contains((r, c))) given.Add(cells[r][c]);
            var missing = new List<int>();
            for (int d = 1; d <= 9; d++) if (!given.Contains(d)) missing.Add(d);
            for (int k = missing.Count - 1; k > 0; k--)
            {
                int jx = _rnd.Next(k + 1);
                (missing[k], missing[jx]) = (missing[jx], missing[k]);
            }
            for (int idx = 0; idx < empty.Count && idx < missing.Count; idx++)
                cells[empty[idx].Item1][empty[idx].Item2] = missing[idx];
        }

        int score = Score(cells);
        double T = 1.0, alpha = 0.999;
        var swappableRows = new List<int>();
        for (int r = 0; r < 9; r++) if (mutableByRow[r].Count >= 2) swappableRows.Add(r);
        if (swappableRows.Count == 0) return Score(cells) == 0;

        while (NowSec() < deadline)
        {
            CallCount++;
            if (score == 0)
            {
                for (int r = 0; r < 9; r++)
                    foreach (var (rr, cc) in mutableByRow[r])
                        grid.Cells[rr][cc] = cells[rr][cc];
                return true;
            }
            int r2 = swappableRows[_rnd.Next(swappableRows.Count)];
            var mut = mutableByRow[r2];
            int a = _rnd.Next(mut.Count), b = _rnd.Next(mut.Count);
            if (a == b) continue;
            int i1 = mut[a].Item1, j1 = mut[a].Item2, i2 = mut[b].Item1, j2 = mut[b].Item2;
            (cells[i1][j1], cells[i2][j2]) = (cells[i2][j2], cells[i1][j1]);
            int newScore = Score(cells);
            int delta = newScore - score;
            if (delta <= 0 || _rnd.NextDouble() < Math.Exp(-delta / Math.Max(T, 1e-9)))
            {
                score = newScore; AcceptedCount++;
            }
            else
            {
                (cells[i1][j1], cells[i2][j2]) = (cells[i2][j2], cells[i1][j1]);
            }
            T *= alpha;
        }
        if (externalDeadline)
            throw new SolverTimeoutException();
        return false;
    }
}

var solverSa = new SimulatedAnnealingSolver(timeoutS: 3.0, seed: 51);
g = test.Clone();
sw = Stopwatch.StartNew();
bool solvedSa = solverSa.Solve(g);
sw.Stop();
Console.WriteLine($"Simulated Annealing: resolu={solvedSa}, {solverSa.CallCount} iterations, {solverSa.AcceptedCount} acceptees, {sw.Elapsed.TotalMilliseconds:F2} ms");

Simulated Annealing: resolu=True, 1275 iterations, 212 acceptees, 8.64 ms

Interpretation : Exercice AC-3 et propagation de contraintes

L’exercice propose d’implementer AC-3 (Arc Consistency 3), l’un des algorithmes de propagation de contraintes les plus fondamentaux en IA.

Pourquoi AC-3 est important : 1. C’est la base de nombreux solveurs CSP professionnels 2. Il reduit les domaines de chaque variable en eliminant les valeurs impossibles 3. Combine avec le backtracking MRV, il forme un solveur très competitif

Performance attendue : Un solveur BT + AC-3 bien implemente devrait se rapprocher des performances du solveur Norvig, puisque la propagation de Norvig est une variante simplifiee de la coherence d’arc. La différence principale est qu’AC-3 verifie explicitement chaque paire de contraintes, tandis que Norvig utilise des stratégies de propagation plus ciblees (elimination + naked singles).

// Solveurs etendus : les 4 originaux + Norvig + Forward Checking + Simulated Annealing
// (SA : budget interne 3 s en autonome, echeance cooperative BenchClock en benchmark)
// Surcharges Probe pour les types definis dans les cellules 16-17 (forward decl impossible cross-cell)
public static SolverProbe Probe(NorvigForwardCheckingSolver s) => new SolverProbe(s.SolveFc, () => s.CallCount);
public static SolverProbe Probe(SimulatedAnnealingSolver s) => new SolverProbe(s.Solve, () => s.CallCount);

var solverFactoriesExtended = new Dictionary<string, Func<SolverProbe>>(solverFactoriesBench)
{
    ["Norvig + FC"]         = () => Probe(new NorvigForwardCheckingSolver()),
    ["Simulated Annealing"] = () => Probe(new SimulatedAnnealingSolver(timeoutS: 3.0, seed: 51)),
};

Console.WriteLine($"Solveurs etendus : {string.Join(", ", solverFactoriesExtended.Keys)}");

Solveurs etendus : Backtracking, BT + MRV, Norvig, OR-Tools CP-SAT, Norvig + FC, Simulated Annealing

Extension du benchmark

Le dictionnaire étendu ajoute Norvig + Forward Checking et le recuit simulé aux 4 solveurs originaux — disponibles pour extension et exercices.

// Benchmark etendu : uniquement les 2 solveurs SUPPLEMENTAIRES -- les 4 coeur
// sont deja mesures ci-dessus, les re-jouer doublerait le cout sans information
// nouvelle. Budget 10 s/essai : le budget interne du SA est de 3 s par design,
// 10 s cooperatifs suffisent a distinguer "resout" de "censure".
var solverFactoriesNew = new Dictionary<string, Func<SolverProbe>>()
{
    ["Norvig + FC"]         = solverFactoriesExtended["Norvig + FC"],
    ["Simulated Annealing"] = solverFactoriesExtended["Simulated Annealing"],
};
Console.WriteLine("Benchmark etendu en cours (FC + SA, 5 grilles/difficulte, timeout cooperatif 10 s/essai)...");
var resultsExtended = RunBenchmark(solverFactoriesNew, puzzleSets, gridsPerDiff: 5, timeoutMs: 10000);
Console.WriteLine("Termine.\n");

Benchmark etendu en cours (FC + SA, 5 grilles/difficulte, timeout cooperatif 10 s/essai)...
Termine.

exécution du benchmark etendu

Nous mesurons les 2 solveurs supplémentaires – Norvig + Forward Checking et le recuit simule – avec le meme protocole statistique que le benchmark principal (5 grilles par difficulte, timeout cooperatif, censure). Les 4 solveurs coeur ne sont pas rejoues : leurs mesures ci-dessus restent valables.

// Tableau + graphique etendus : les memes outils que le benchmark principal
// (mediane [p25-p75], taux avec denominateur, censure, effectifs).
Console.WriteLine("=== Resultats etendus (mediane [p25-p75] ; TO = timeouts censurees) ===\n");
PrintBenchmarkTable(resultsExtended);
PlotBenchmarkBarsSvg(resultsExtended, "Benchmark etendu : Norvig+FC + recuit simule (mediane, axe Y log)");

=== Resultats etendus (mediane [p25-p75] ; TO = timeouts censurees) ===

Solveur            Difficulte     Mediane [p25-p75] ms  Resolu   TO  Runs
-------------------------------------------------------------------------
Norvig + FC        Easy                  1.1 [1.0-1.2]   5/5      0    20  tres faible (IQR/med = 0.11)
Norvig + FC        Medium                5.8 [4.8-8.0]   5/5      0    20  moderee (IQR/med = 0.55)
Norvig + FC        Hard                  1.7 [1.3-2.0]   5/5      0    20  faible (IQR/med = 0.41)
Norvig + FC        Expert                1.6 [1.5-1.6]   1/1      0     4  etude de cas (1 grille) : repetitions = bruit systeme
Simulated Annealing Easy                  6.1 [6.1-6.1]   1/5      4     1  censure totale : pas de distribution
Simulated Annealing Medium                    (censure)   0/5      5     0  censure totale : pas de distribution
Simulated Annealing Hard                      (censure)   0/5      5     0  censure totale : pas de distribution
Simulated Annealing Expert                    (censure)   0/1      1     0  etude de cas (1 grille) : repetitions = bruit systeme

Barres nulles = censure totale :
  Simulated Annealing/Medium : 0/5 (timeouts censurees)
  Simulated Annealing/Hard : 0/5 (timeouts censurees)
  Simulated Annealing/Expert : 0/1 (timeouts censurees)

Analyse : le solveur Norvig + FC est-il competitif ?

Reponse courte : oui – mais l’ecart avec le Norvig standard se lit dans les tableaux imprimes ci-dessus (benchmark principal pour Norvig, etendu pour Norvig + FC), en comparant des medianes [p25-p75] obtenues sur le meme protocole – jamais deux temps ponctuels isoles.

Comment lire la comparaison :

1. Verifier les effectifs et taux d’abord. Les deux solveurs completent l’ensemble (timeouts a 0) : les medianes sont donc comparables sans biais de censure – c’est la condition que le protocole rend explicite.

2. Performances quasi identiques a Norvig. Sur ce corpus, Norvig + FC resout avec un nombre de coupes FC proche de zero : la propagation Eliminate deja presente dans Norvig detecte les domaines vides a la source, le forward check explicite ne coupe en pratique aucune branche additionnelle.

3. Dans le bruit de mesure. Les repetitions des runs rapides donnent l’echelle du bruit systeme : si l’ecart Norvig vs Norvig + FC est du meme ordre que ce spread, aucun gain ni surcharge du FC n’est demonstrable.

4. Ou le forward checking brille reellement. Si on retirait la propagation puissante de Norvig (elimination + naked singles) et qu’on gardait uniquement un backtracking MRV + forward checking, l’impact du FC serait beaucoup plus visible : il servirait de principal mecanisme d’elagage. Ici, la propagation fait deja l’essentiel du travail.

5. Le recuit simule : metaheuristique sans garantie – ses timeouts censurees au denominateur sont une information (le voisinage par permutations de lignes explore mal l’espace des sudokus), pas un echec du protocole.

Conclusion : le forward checking est une technique fondamentale en CSP, mais son utilite depend du solveur dans lequel on l’integre. Sur un solveur deja fortement propage comme Norvig, il est redondant ; sur un backtracking naif, il apporte un gain enorme. C’est un bon exemple du principe “la somme des ameliorations n’est pas toujours additive” : certaines techniques se recouvrent.

Exemple guide : Comparaison de Profils de Resolution

Dans cet exercice, vous allez analyser finement les comportements de resolution des différents solveurs pour comprendre pourquoi certains sont plus efficaces que d’autres.

Objectif

Implementer un outil de profilage qui mesure, pour chaque solveur et chaque puzzle, non seulement le temps de resolution, mais aussi le nombre d’opérations effectuees (appels recursifs, eliminations, propagations).

Travaux demandes

1. Etendre les solveurs pour qu’ils comptent leurs opérations internes. Pour Norvig, créer une sous-classe ProfiledNorvigSolver(NorvigSolver) qui ajoute un compteur d’eliminations (ne pas modifier la classe NorvigSolver d’origine) :

   • BacktrackingSolver : déjà compte les appels recursifs
   • MRVBacktrackingSolver : déjà compte les appels recursifs
   • ProfiledNorvigSolver : sous-classe de NorvigSolver, compte les appels recursifs + nombre d’eliminations
   • ORToolsCPSATSolver : compte le nombre de variables et contraintes

2. Completer la fonction profile_solver(solver, grid) (scaffold fourni ci-dessous) qui :

   • Resout le puzzle en mesurant le temps avec time.perf_counter()
   • Retourne un dictionnaire {"time_ms": ..., "opérations": ..., "success": ...}

3. Lancer un profilage sur 5 puzzles de chaque niveau (Easy, Medium, Hard) et stocker les résultats dans une structure de données appropriee (la boucle est esquissee ci-dessous)

4. Completer la visualisation comparative :

   • Un scatter plot : temps (x) vs opérations (y), un point par solveur/puzzle
   • Colorer les points par niveau de difficulte (Easy=vert, Medium=orange, Hard=rouge)
   • Ajouter une legende et des labels clairs (squelette fourni)

5. Analyser et interpreter :

   • Quels solveurs ont le meilleur ratio temps/opérations ?
   • Y a-t-il des puzzles ou un solveur “explose” en opérations même s’il est rapide ?
   • Le nombre d’opérations est-il un bon predicteur du temps de resolution ?

Indice pour le comptage des eliminations Norvig :

Dans ProfiledNorvigSolver._eliminate, incrementez self.elimination_count au debut de la méthode (après avoir initialise ce compteur dans __init__). Le comptage doit inclure les appels no-op.

résultat attendu

Un notebook avec un scatter plot montrant la correlation (ou l’absence de correlation) entre le nombre d’opérations et le temps de resolution, accompagne d’une interpretation en 3-4 paragraphes.

// EXERCICE : Profilage d'un solveur sur une grille
public static Dictionary<string, object> ProfileSolver(SolverProbe probe, SudokuGrid grid)
{
    // TODO etudiant : appeler probe.Solve(grid), mesurer le temps (Stopwatch),
    // et retourner {time_ms, operations, success}.
    // Indice : probe.Count() donne le compteur d'appels apres resolution.
    var sw = Stopwatch.StartNew();
    bool success = false;  // <- a remplacer : success = probe.Solve(grid);
    sw.Stop();
    int operations = 0;    // <- a remplacer : operations = probe.Count();
    return new Dictionary<string, object>
    {
        ["time_ms"] = sw.Elapsed.TotalMilliseconds,
        ["operations"] = operations,
        ["success"] = success,
    };
}

Console.WriteLine("Exercice a completer : profilage d un solveur");

Exercice a completer : profilage d un solveur

Solveur Norvig profile

Pour compter les eliminations de Norvig sans modifier la classe d’origine, créez une sous-classe qui surcharge _eliminate en incrementant un compteur avant de deleguer a la méthode parente.

// EXERCICE : ProfiledNorvigSolver instrumente
// Herite de NorvigSolver et surcharge Eliminate pour ajouter un compteur.
public class ProfiledNorvigSolver : NorvigSolver
{
    public int EliminationCount { get; private set; }
    public ProfiledNorvigSolver() : base() { EliminationCount = 0; }
    // TODO etudiant : surcharger Eliminate(...) { EliminationCount++; return base.Eliminate(...); }
}

Console.WriteLine("Exercice a completer : ProfiledNorvigSolver instrumente");

Exercice a completer : ProfiledNorvigSolver instrumente

exécution du profilage

Utilisez profile_solver pour tester chaque solveur sur 5 puzzles de chaque niveau. La structure de la boucle est esquissee ci-dessous – completez les parties manquantes.

Attention : le solveur Backtracking peut dépasser les 30 s sur les puzzles Medium — c’est précisément ce que le timeout coopératif capture (SolverTimeoutException, observation censurée). Pour un premier test, réduisez gridsPerDiff (ex. 2) puis remontez à 5.

// Solveurs a profiler (exercice guide : completer la boucle de profilage)
var solverFactoriesProfile = new Dictionary<string, Func<SolverProbe>>()
{
    ["Backtracking"]      = () => Probe(new BacktrackingSolver()),
    ["MRV"]               = () => Probe(new MrvBacktrackingSolver()),
    ["Norvig (profiled)"] = () => Probe(new NorvigForwardCheckingSolver()),
    ["CP-SAT"]            = () => Probe(new OrToolsCpSatSolver()),
};
var puzzleSetsProfile = new Dictionary<string, string[]>()
{
    ["Easy"]   = EASY_PUZZLES.Take(5).ToArray(),
    ["Medium"] = MEDIUM_PUZZLES.Take(5).ToArray(),
    ["Hard"]   = HARD_PUZZLES.Take(5).ToArray(),
};
var profilingResults = new List<Dictionary<string, object>>();

// Exemple guide : decommentez et adaptez
// foreach (var kv in solverFactoriesProfile)
//     foreach (var pkv in puzzleSetsProfile)
//         foreach (var p in pkv.Value)
//         {
//             var grid = SudokuGrid.FromString(p);
//             var res = ProfileSolver(kv.Value(), grid);
//             res["solver"] = kv.Key;
//             res["difficulty"] = pkv.Key;
//             profilingResults.Add(res);
//         }

Console.WriteLine($"Resultats collectes : {profilingResults.Count} mesures");

Resultats collectes : 0 mesures

Visualisation : scatter plot temps vs opérations

Completez le scatter plot ci-dessous pour afficher le temps (axe x) vs le nombre d’opérations (axe y) pour chaque solveur/puzzle. Utilisez une couleur par niveau de difficulte et une echelle logarithmique sur les deux axes.

// Exemple guide : Completer le scatter plot (ASCII) a partir de profilingResults
var difficultyColors = new Dictionary<string, string>
{
    ["Easy"] = "G", ["Medium"] = "O", ["Hard"] = "R", ["Expert"] = "P"
};

// foreach (var r in profilingResults)
//     Console.WriteLine($"[{difficultyColors[(string)r["difficulty"]]}] " +
//         $"{(double)r["time_ms"]:F2} ms, {(int)r["operations"]} ops");

Console.WriteLine("Scatter plot a completer ci-dessus");

Scatter plot a completer ci-dessus

Votre analyse

Redigez 3-4 paragraphes en repondant aux questions suivantes :

1. Ratio temps/opérations : Quels solveurs ont le meilleur ratio ? Un solveur qui fait peu d’opérations est-il toujours le plus rapide ?

2. Explosions d’opérations : Y a-t-il des puzzles ou un solveur “explose” en opérations malgre un temps raisonnable ? Que cela indique-t-il ?

3. Predictibilite : Le nombre d’opérations est-il un bon predicteur du temps de resolution ? Pourquoi ou pourquoi pas ?

Votre reponse :

Conclusion

Ce notebook a compare 4 solveurs Python representatifs de paradigmes algorithmiques distincts pour la resolution du Sudoku.

Concepts cles a retenir

Concept	Solveur(s) concerne(s)	Idee principale
Recherche exhaustive	Backtracking simple	Explorer systematiquement l’arbre des possibilites
Heuristique MRV	BT + MRV	Choisir la variable la plus contrainte pour detecter les impasses plus tot
Propagation de contraintes	Norvig	Eliminer les valeurs impossibles avant la recherche
Programmation par contraintes	OR-Tools CP-SAT	Declarer les contraintes, laisser le solveur trouver la solution
Forward checking	Norvig + FC	Verifier la coherence des domaines après chaque assignation

Enseignements principaux

1. La propagation domine : le solveur Norvig resout la majorite des puzzles sans aucun backtracking, confirmant que reduire l’espace de recherche est plus efficace que d’explorer plus intelligemment.
2. Les heuristiques comptent : MRV divise le nombre d’appels recursifs par 4 a 1000x selon la difficulte du puzzle, pour un surcout constant par appel.
3. La previsibilite est cruciale : en production, un solveur rapide mais imprevisible (backtracking) est souvent moins desirable qu’un solveur legerement plus lent mais constant (CP-SAT).
4. La difficulte n’est pas monotone : le nombre de cases vides ne predit pas la difficulte algorithmique. La structure des contraintes importe davantage.

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Voir aussi : - Search Foundations - Fondamentaux des algorithmes utilisés - Search Applications - Applications des mêmes algorithmes

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