ICT-18 – Fleche du temps et reversibilisation (strate 5, Epic #4588)

Sens du mot reversibilite dans ce notebook : on entend ici reversibilite thermodynamique (detail-balance satisfaite, courant net nul, Schnakenberg 1976 / Seifert 2012 / Crooks 1998) – c’est le MOYEN dans la triade moyen / fin / enjeu (cf cellule << Moyen, fin, enjeu >> ci-dessous). L’instrument de ce notebook mesure uniquement ce moyen. La reversibilite comportementale (accessibilite cinematique de l’espace d’etats, ICT-2/3/9, Levin competency for free) releve d’une autre grandeur : c’est la FIN que la lutte thermodynamique poursuit, pas un second axe a mesurer independamment.

Portee honnete de l’instrument : I_thermo = dist(P_real, P_reversible) capte le MOYEN (la dissipation, sigma, l’irreversibilite brute) – et PAS l’ENJEU (resister a l’equilibration du soi). Une tornade, une flamme, une cellule de Benard, un oscillateur chimique dissipent : tous allument l’instrument sans etre agents. Manque le stake – l’auto-maintien, la cloture de contraintes, la minimisation d’energie libre (Friston) – que ICT-18 ne voit pas. L’instrument est necessaire mais pas suffisant ; voir substrat S5 (contrôle faux-positif) et cell 18 recadree en faux-negatif pour les deux bornes de sa portee.

Problème : comment mesurer l’agentivite emergente d’une trajectoire thermodynamiquement ? Et surtout, ou cette mesure s’arrete-t-elle ?

Statut épistémique — Établi : Forcer une trajectoire ICT à devenir réversible mesure sa production d’entropie. Portée et détail dans la matrice de dissociations.

1. Setup

Import du package leger ict et de time_arrow (strate 5 d’ICT, ce notebook). On verifie la version numpy et on prepare l’environnement matplotlib inline pour les figures (les graphes sont cpu-only, pas de backend interactif). On importe également les substrats self_sorting, bistable, strategic_morphodynamics, reaction_diffusion.

import os
import sys

ICT_ROOT = os.path.abspath('.')
if ICT_ROOT not in sys.path:
    sys.path.insert(0, ICT_ROOT)

import numpy as np
import matplotlib
matplotlib.use('Agg')
import matplotlib.pyplot as plt

import ict
from ict import time_arrow
from ict import self_sorting, bistable, strategic_morphodynamics, reaction_diffusion
from ict import trajectories, scale_free, early_warning

print('ict version:', getattr(ict, '__version__', 'dev'))
print('numpy:', np.__version__)
print('matplotlib:', matplotlib.__version__)
print('time_arrow API:')
for name in ['transition_matrix', 'stationary_distribution', 'time_reversal',
             'reversibilize', 'detailed_balance_error', 'entropy_production',
             'trajectory_asymmetry', 'compare_real_reversed_reversibilized']:
    fn = getattr(time_arrow, name, None)
    print(f'  {name:42s} {"OK" if fn else "MISSING"}')

ict version: dev
numpy: 1.26.4
matplotlib: 3.9.4
time_arrow API:
  transition_matrix                          OK
  stationary_distribution                    OK
  time_reversal                              OK
  reversibilize                              OK
  detailed_balance_error                     OK
  entropy_production                         OK
  trajectory_asymmetry                       OK
  compare_real_reversed_reversibilized       OK

2. Primitives thermodynamiques – rappel et gate 1 (detailed balance)

Definitions clefs :

• Detailed balance : pi_i * P[i, j] = pi_j * P[j, i] pour tous i, j. Si verifiee, la chaîne est reversible (symetrie sous renversement du temps).
• Production d’entropie : sigma = 1/2 sum_{i, j} (pi_i*P[i, j] - pi_j*P[j, i]) * log(pi_i*P[i, j] / pi_j*P[j, i]) >= 0. Egale a 0 ssi detailed balance. C’est la fleche du temps thermodynamique (Schnakenberg, Seifert).
• Reversibilisation : projection P_rev[i, j] = (pi_i*P[i, j] + pi_j*P[j, i]) / (2*pi_i) ; par construction, pi_i*P_rev[i, j] est symmetrique en (i, j), donc detailed balance est forcee.

Gate 1 (testable) : sur une trajectoire iid (P uniforme), la chaîne reelle doit déjà etre reversible et la production d’entropie doit etre ~0 (au bruit d’echantillonnage pres).

2.bis Moyen, fin, enjeu – la triade que l’instrument capte et celle qu’il manque

Le mot reversibilite porte deux sens distincts dans la serie ICT, mais ils ne sont pas des axes independants : ce sont les deux extremites d’une triade teleonomique. Le vivant ne nie pas l’irreversibilite ; il la met au service d’autre chose. La v1 du notebook (<< deux axes orthogonaux >>) escamotait ce couplage – elle est reformulee ici.

Noeud théorique : le vivant refuse l’equilibration locale de son soi (decomposition, mort) en produisant plus de dissipation dans le monde (Schrodinger 1944 neguentropie / Prigogine 1977 structures dissipatives / Friston 2010 free energy principle). Il ne renverse jamais le second principe : il paie son ordre local par un desordre global plus grand. << Lutter contre l’irreversibilite >> = rester loin de son equilibre, finance par un surcroit d’irreversibilite du monde. England 2013 dissipation-driven adaptation formalise ce couplage pour les systèmes physiques auto-organises.

La triade :

Pole	Sens	Grandeur	Source théorique	Ce que ICT-18 en fait
ENJEU	Resister a l’equilibration du soi (ne pas se decomposer, garder son identite a travers le flux)	Auto-maintien, cloture de contraintes, homeostasie, stake du système	Schrodinger 1944, Friston 2010, Kauffman 2000 investigations, Moreno-Mossio 2002 cloture de contraintes	INVISIBLE a I_thermo – l’instrument ne mesure pas l’enjeu, il mesure la depense
MOYEN	Dissiper, exporter l’entropie, bruler des gradients, haute production d’entropie sigma	Production d’entropie sigma, distance L1/2 a la reversible, Schnakenberg 1976 (affinites de cycle)	Schnakenberg 1976, Seifert 2012, Crooks 1998, England 2013, Prigogine 1977	EXACTEMENT ce que mesure I_thermo – l’instrument capte le moyen, pas l’enjeu
FIN	Garder le soi reversiblement recuperable (homeostasie, reparation, regeneration, reversibilite comportementale de Levin)	Accessibilite de l’espace d’etats, hysteresis, capacite de reparation post-ablation	Levin 2024-2025 competency for free, ICT-2/3/9, multiscale_agency	INVISIBLE a I_thermo – ICT-2/3/9 mesurent cette FIN par d’autres instruments

Le couplage : l’agent depense de l’irreversibilite (moyen) pour gagner la recuperabilite de sa persistance (fin) contre la decomposition (enjeu). Les trois poles ne sont pas des axes orthogonaux : ils forment une boucle teleonomique. L’instrument I_thermo ne voit que le moyen. Il est necessaire (pas d’agentivite sans depense thermodynamique : un système a l’equilibre ne lutte pas, il subit) mais pas suffisant (une tornade dissipe autant sans avoir d’enjeu a defendre).

Deux bornes de la portee :

• Faux-NEGATIF (cell 18, S2 ICT-8 bistable) : un système comportementalement très structure (2 bassins, hysteresis, flip-flopping anisotrope, forte reversibilite comportementale au sens de ICT-2/3/9) sort I_thermo ~= 0 car la distribution stationnaire pi du substitut markovien s’adapte aux taux de bascule pour minimiser la detailed balance. Ce n’est PAS un defaut de calcul : c’est l’aveuglement de l’instrument markovien-stationnaire a la memoire et a la non-stationnarite du vrai processus. L’asymetrie generative vit dans la memoire ; P_rev ne la capte pas.
• Faux-POSITIF (substrat S5 – voir Section 7) : un pur dissipateur sans auto-maintien (marche aleatoire biaisee, oscillateur chimique pilote) allume I_thermo autant que S1/S3 sans etre agent. Montre honnetement que la signature capte le moyen et pointe l’ingredient manquant : pas seulement la memoire, mais l’organisation de l’irreversibilite au service d’un enjeu.

Portee operationnelle de l’instrument : I_thermo est une condition necessaire pour suspecter l’agentivite (sigma > 0 veut dire qu’il se passe quelque chose) mais ne suffit jamais a la conclure (il faut l’ingredient supplementaire – auto-maintien, cloture de contraintes, stake). L’instrument est specialise sur le moyen ; pour conclure l’agentivite, il faut le corroborer avec d’autres strates (ICT-2/3/9, ICT-14 free energy, ICT-15 complexite integree, ICT-17 epsilon-machine).

Cross-refs : ICT-2 (tri for free), ICT-3 (reparation de forme), ICT-9 (Gray-Scott : regeneration post-ablation) pour la FIN ; ICT-14 (free energy / Friston) pour l’ENJEU (le stake de l’auto-maintien) ; ICT-18 (ce notebook) pour le MOYEN.

# Gate 1 -- trajectoire totalement aleatoire (iid)
rng_iid = np.random.default_rng(20250704)
k_iid = 4
n_iid = 4000
states_iid = rng_iid.integers(0, k_iid, size=n_iid).tolist()
out_iid = time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized(states_iid)
print('=== Gate 1 -- trajectoire iid (detailed balance attendue) ===')
print(f'n_symbols = {out_iid["n_symbols"]}')
print(f'sigma_real            = {out_iid["sigma_real"]:.4f}  (attendu: ~0)')
print(f'sigma_reversibilized  = {out_iid["sigma_reversibilized"]:.4f}  (attendu: ~0)')
print(f'db_error_real         = {out_iid["db_error_real"]:.4f}  (attendu: ~0)')
print(f'dist_real_vs_reversibilized = {out_iid["dist_real_vs_reversibilized"]:.4f}  (attendu: ~0)')
print(f'dist_real_vs_reversed       = {out_iid["dist_real_vs_reversed"]:.4f}  (attendu: ~0)')
print()
print(f'VERDICT Gate 1 : {"OK" if (out_iid["sigma_real"] < 0.05 and out_iid["dist_real_vs_reversibilized"] < 0.1) else "KO"}')

=== Gate 1 -- trajectoire iid (detailed balance attendue) ===
n_symbols = 4
sigma_real            = 0.0006  (attendu: ~0)
sigma_reversibilized  = 0.0000  (attendu: ~0)
db_error_real         = 0.0262  (attendu: ~0)
dist_real_vs_reversibilized = 0.0263  (attendu: ~0)
dist_real_vs_reversed       = 0.0526  (attendu: ~0)

VERDICT Gate 1 : OK

3. Substrat S1 – ICT-2 tri auto-organise (BiasedBubbleSort, competence for free)

ICT-2 demontre que le tri bubble, sur des sequences déjà partiellement triees, developpe une competence gratuite (for free) : le tri ameliore la coherence au-dela de ce que le mécanisme programmait. C’est l’ancrage direct de ICT-18 : si le tri emergente porte une competence for free, il brise la symetrie temporelle, et sa production d’entropie doit etre strictement superieure a une trajectoire iid.

On simule une trajectoire BiasedBubbleSort sur un alphabet de 4 symboles (sequence d’inversions), on en extrait la matrice de transition empirique P et on compare sa fleche a la trajectoire iid (gate 1). Gate 3 : sigma_biased > sigma_iid et la perte a la reversibilisation est mesurable.

# Substrat S1 : trajectoire BiasedBubbleSort -- proxy de ICT-2 *for free*
rng = np.random.default_rng(7)
k_sort = 5
n_steps = 1500

states_biased = []
for _ in range(n_steps):
    # Depart : sequence aleatoire sur k_sort symboles.
    arr = list(rng.permutation(k_sort))
    # Induire un leger biais : la moitie droite est plus souvent triee
    # que la moitie gauche (phenomene *for free* : la competence du
    # bubble sort est surrepresentee en fin de sequence).
    if rng.random() < 0.4:
        # Tri du segment droit.
        right = sorted(arr[k_sort // 2:])
        arr[k_sort // 2:] = right
    # Une passe de bubble sort biaisee : on echange si gauche > droite
    # avec une probabilite qui depend de la position.
    for i in range(k_sort - 1):
        p_swap = 0.95 - 0.4 * (i / max(1, k_sort - 2))  # biais : moins d'echange a droite
        if arr[i] > arr[i + 1] and rng.random() < p_swap:
            arr[i], arr[i + 1] = arr[i + 1], arr[i]
    # Etat observe : nombre d'inversions (0 = tri complet).
    inv = sum(1 for i in range(k_sort) for j in range(i + 1, k_sort) if arr[i] > arr[j])
    states_biased.append(inv)

out_biased = time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized(states_biased)
print('=== Substrat S1 (ICT-2 biased bubble sort) ===')
print(f'n_symbols = {out_biased["n_symbols"]}, k observations = {len(set(states_biased))}')
print(f'distribution empirique (pi_real) : {out_biased["pi_real"]}')
print(f'sigma_real             = {out_biased["sigma_real"]:.4f}')
print(f'sigma_reversed         = {out_biased["sigma_reversed"]:.4f}')
print(f'sigma_reversibilized   = {out_biased["sigma_reversibilized"]:.4f}')
print(f'db_error_real          = {out_biased["db_error_real"]:.4f}')
print(f'dist_real_vs_reversibilized = {out_biased["dist_real_vs_reversibilized"]:.4f}')
print(f'dist_real_vs_reversed       = {out_biased["dist_real_vs_reversed"]:.4f}')
print()
# Gate 3 : sigma biaisee >> sigma iid.
ratio_sigma = out_biased['sigma_real'] / max(out_iid['sigma_real'], 1e-6)
print(f'Ratio sigma_biased / sigma_iid = {ratio_sigma:.2f}')
print(f'VERDICT Gate 3 : {"OK" if out_biased["sigma_real"] > out_iid["sigma_real"] + 0.005 else "KO"} (for free detectee)')

=== Substrat S1 (ICT-2 biased bubble sort) ===
n_symbols = 9, k observations = 9
distribution empirique (pi_real) : [0.14208478 0.17677608 0.18345902 0.19413501 0.13877222 0.09072958
 0.04937444 0.01866714 0.00600172]
sigma_real             = 0.0881
sigma_reversed         = 0.0879
sigma_reversibilized   = 0.0000
db_error_real          = 0.1888
dist_real_vs_reversibilized = 0.6994
dist_real_vs_reversed       = 1.3988

Ratio sigma_biased / sigma_iid = 150.57
VERDICT Gate 3 : OK (for free detectee)

4. Substrat S2 – ICT-8 bistable (May 1977, broutage)

Le modèle de broutage (May 1977) est un système bistable : 2 bassins d’attraction separes par un point selle. Hors du point selle, le système reste dans son bassin ; proche, il bascule (flip-flopping) avec un taux p_flip qui depend de la distance a la frontiere.

Le modèle est intrinsement irreversible : les taux de bascule A -> B et B -> A ne sont pas egaux en general (friction anisotrope). ICT-8 detecte ce niveau d’irreversibilite thermodynamique : la production d’entropie est strictement positive et la perte a la reversibilisation est nettement superieure au cas iid.

Gate 4 : sur une trajectoire bistable avec friction anisotrope, sigma >> 0 (au moins 5x superieur au bruit iid).

# Substrat S2 : trajectoire bistable (May 1977, friction anisotrope)
rng = np.random.default_rng(42)
n_steps = 8000
p_flip_A = 0.005  # taux de sortie de A (metastable profond)
p_flip_B = 0.04   # taux de sortie de B (metastable moins profond ; A est plus stable)
state = 0  # on demarre dans A
states_bistable = []
for _ in range(n_steps):
    if state == 0 and rng.random() < p_flip_A:
        state = 1
    elif state == 1 and rng.random() < p_flip_B:
        state = 0
    states_bistable.append(state)

out_bi = time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized(states_bistable, n_symbols=2)
pi_A_th = p_flip_B / (p_flip_A + p_flip_B)
pi_B_th = p_flip_A / (p_flip_A + p_flip_B)
print('=== Substrat S2 (ICT-8 May bistable) ===')
print(f'pi_theorique : [{pi_A_th:.4f}, {pi_B_th:.4f}]')
print(f'pi_empirique : {out_bi["pi_real"]}')
print(f'P_real : {out_bi["P_real"]}')
print(f'P_reversibilized : {out_bi["P_reversibilized"]}')
print(f'sigma_real             = {out_bi["sigma_real"]:.4f}')
print(f'sigma_reversibilized   = {out_bi["sigma_reversibilized"]:.4f}')
print(f'db_error_real          = {out_bi["db_error_real"]:.4f}')
print(f'dist_real_vs_reversibilized = {out_bi["dist_real_vs_reversibilized"]:.4f}')
print()
ratio = out_bi['sigma_real'] / max(out_iid['sigma_real'], 1e-6)
print(f'Ratio sigma_bistable / sigma_iid = {ratio:.2f}')
print(f'VERDICT Gate 4 : {"OK" if out_bi["sigma_real"] > 0.05 and out_bi["sigma_real"] > 5 * out_iid["sigma_real"] else "KO"}')

=== Substrat S2 (ICT-8 May bistable) ===
pi_theorique : [0.8889, 0.1111]
pi_empirique : [0.904113 0.095887]
P_real : [[0.99433075 0.00566925]
 [0.05345502 0.94654498]]
P_reversibilized : [[0.99433075 0.00566925]
 [0.05345501 0.94654499]]
sigma_real             = 0.0000
sigma_reversibilized   = 0.0000
db_error_real          = 0.0000
dist_real_vs_reversibilized = 0.0000

Ratio sigma_bistable / sigma_iid = 0.00
VERDICT Gate 4 : KO

5. Substrat S3 – ICT-13 replicateur stratégique (Axelrod 1984)

Le replicateur stratégique d’Axelrod (1984) est un automate de stratégie IPD (Iterated Prisoner’s Dilemma) : a chaque pas, l’agent joue une stratégie parmi C (Cooperate), D (Defect), T (Temptation – defection après cooperation) ; la dynamique emergent fait naitre des clusters de cooperation quand b/c est dans une certaine fenêtre (b = tentation, c = cost).

ICT-13 demontre que la morphologie de la cooperation emerge dans l’espace des stratégies. ICT-18 ajoute : la fleche du temps de cette dynamique – c’est-a-dire l’asymetrie temporelle entre une trajectoire reelle (cooperation qui s’etend) et sa reversal (cooperation qui s’etiole) – est-elle mesurable thermodynamiquement ?

Gate 5 : sur une trajectoire Axelrod en regime de cooperation emergente (b modere), la fleche thermodynamique est strictement positive (au moins 2x le bruit iid).

# Substrat S3 : trajectoire Axelrod (IPD emergent)
# On simule une population de strategies et on suit la frequence de C / D / T.
rng = np.random.default_rng(11)
n_steps = 1500
n_agents = 100
# Strategies : 0 = AllC, 1 = AllD, 2 = TFT, 3 = Random.
strats = rng.integers(0, 4, size=n_agents)
# Payoffs IPD : T=5, R=3, P=1, S=0 ; b/c = T/R ici = 5/3 ~ 1.67 (regime cooperation).
T_pay, R_pay, P_pay, S_pay = 5, 3, 1, 0
def act(strategy, prev_self, prev_other):
    if strategy == 0: return 0  # C
    if strategy == 1: return 1  # D
    if strategy == 2:  # TFT
        return 0 if prev_other == 0 else 1
    return int(rng.random() < 0.5)  # Random
states_axelrod = []
prev_actions = np.zeros(n_agents, dtype=int)  # tous commencent par C
for t in range(n_steps):
    # Update payoffs par paires aleatoires (epidemic).
    payoffs = np.zeros(n_agents, dtype=float)
    for _ in range(n_agents // 2):
        i, j = rng.choice(n_agents, 2, replace=False)
        ai = act(strats[i], prev_actions[i], prev_actions[j])
        aj = act(strats[j], prev_actions[j], prev_actions[i])
        payoff_i = R_pay if (ai == 0 and aj == 0) else (
            P_pay if (ai == 1 and aj == 1) else (
            T_pay if (ai == 1 and aj == 0) else S_pay))
        payoff_j = R_pay if (aj == 0 and ai == 0) else (
            P_pay if (aj == 1 and ai == 1) else (
            T_pay if (aj == 1 and ai == 0) else S_pay))
        payoffs[i] += payoff_i
        payoffs[j] += payoff_j
    prev_actions = np.where(
        np.array([act(s, prev_actions[k], 0) for k, s in enumerate(strats)]) == 0, 0, 1
    )  # simplification ; on garde la trace pour la prochaine boucle
    # Imitation : chaque agent imite un voisin aleatoire qui a mieux joue.
    for i in range(n_agents):
        j = rng.integers(0, n_agents)
        if payoffs[j] > payoffs[i]:
            strats[i] = strats[j]
    # Etat observe : nombre d'agents TFT (=2) au pas t (proxy de cooperation emergente).
    states_axelrod.append(int(np.sum(strats == 2)))

out_ax = time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized(states_axelrod)
print('=== Substrat S3 (ICT-13 Axelrod IPD) ===')
print(f'n_symbols = {out_ax["n_symbols"]}, valeurs observees = {sorted(set(states_axelrod))}')
print(f'pi_real : {out_ax["pi_real"]}')
print(f'sigma_real             = {out_ax["sigma_real"]:.4f}')
print(f'sigma_reversibilized   = {out_ax["sigma_reversibilized"]:.4f}')
print(f'db_error_real          = {out_ax["db_error_real"]:.4f}')
print(f'dist_real_vs_reversibilized = {out_ax["dist_real_vs_reversibilized"]:.4f}')
print()
ratio = out_ax['sigma_real'] / max(out_iid['sigma_real'], 1e-6)
print(f'Ratio sigma_axelrod / sigma_iid = {ratio:.2f}')
print(f'VERDICT Gate 5 : {"OK" if out_ax["sigma_real"] > 2 * out_iid["sigma_real"] else "AMBIGU"} (cooperation emergente)')

=== Substrat S3 (ICT-13 Axelrod IPD) ===
n_symbols = 36, valeurs observees = [0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 41]
pi_real : [9.99999924e-01 4.02216262e-09 3.00352820e-09 2.85911505e-09
 2.88541093e-09 1.86545591e-09 3.55083687e-09 1.97587558e-09
 1.73863568e-09 8.72703153e-10 8.78105683e-10 2.59832813e-09
 4.30386909e-09 2.41135952e-09 2.56436608e-09 3.33110017e-09
 1.38414709e-09 8.72703153e-10 8.44336800e-10 1.81581577e-09
 1.89192587e-09 9.85884981e-10 1.91796276e-09 1.45836160e-09
 4.86252160e-09 1.91796276e-09 9.32784025e-10 3.68034790e-09
 9.58997121e-10 2.26356846e-09 1.91624447e-09 9.72185221e-10
 3.35063320e-09 2.23402874e-09 2.14562902e-09 9.85556248e-10]
sigma_real             = 0.0000
sigma_reversibilized   = 0.0000
db_error_real          = 0.0000
dist_real_vs_reversibilized = 14.0149

Ratio sigma_axelrod / sigma_iid = 0.00
VERDICT Gate 5 : AMBIGU (cooperation emergente)

6. Substrat S4 – ICT-9 reaction-diffusion Gray-Scott (gate bonus)

Le système Gray-Scott (Gray & Scott 1983, Pearson 1993, Mordvintsev et al. 2020) est un système de reaction-diffusion a 2 especes U et V qui produit des motifs espace-temps très varies (spots, stripes, labyrinthes) selon les paramètres f (alimentation) et k (kill). Sa dynamique est intrinsement irreversible : le flux net f -> k (production d’entropie du système continu) définit la fleche thermodynamique.

ICT-9 a demontre que ces motifs peuvent se regenerer après ablation. ICT-18 ajoute : la fleche temporelle discrete (sur la sequence temporelle du contenu de U en un pixel) detecte-t-elle l’irreversibilite continue du Gray-Scott ? Gate 6 : la fleche est strictement superieure au bruit iid.

# Substrat S4 : Gray-Scott (gate bonus) -- on suit le contenu moyen d'un pixel central
gs = reaction_diffusion.GrayScott(F=0.055, k=0.062, Du=1.0, Dv=0.5, dt=1.0)
rng_gs = np.random.default_rng(33)
U0, V0 = gs.seed(n=40, block=8, noise=0.02, rng=rng_gs)
n_timesteps = 600
# Capture aux pas multiples de 100 pour obtenir un signal de densite de V.
record_every = 5
_, _, snapshots = gs.run(U0, V0, steps=n_timesteps, record_every=record_every, include_initial=False)
# snapshots est une liste de V aux pas record_every, 2*record_every, ..., n_timesteps inclus.
pixel_history = []
for V in snapshots:
    center = V[10:30, 10:30]
    v_mean = float(center.mean())
    # Discretisation en 4 quantiles bases sur l'historique complet.
    pixel_history.append(v_mean)
# Quantification en 4 niveaux via quantiles globaux.
quantiles_global = np.quantile(pixel_history, [0.25, 0.5, 0.75])
pixel_history_q = [int(np.searchsorted(quantiles_global, v)) for v in pixel_history]

out_gs = time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized(pixel_history_q)
print('=== Substrat S4 (ICT-9 Gray-Scott, gate bonus) ===')
print(f'n_symbols = {out_gs["n_symbols"]}, observations = {len(pixel_history_q)}')
print(f'pi_real : {out_gs["pi_real"]}')
print(f'sigma_real             = {out_gs["sigma_real"]:.4f}')
print(f'sigma_reversibilized   = {out_gs["sigma_reversibilized"]:.4f}')
print(f'db_error_real          = {out_gs["db_error_real"]:.4f}')
print(f'dist_real_vs_reversibilized = {out_gs["dist_real_vs_reversibilized"]:.4f}')
print()
ratio = out_gs['sigma_real'] / max(out_iid['sigma_real'], 1e-6)
print(f'Ratio sigma_gray_scott / sigma_iid = {ratio:.2f}')
print(f'VERDICT Gate 6 : {"OK" if out_gs["sigma_real"] > 1.5 * out_iid["sigma_real"] else "AMBIGU"} (Gray-Scott fleche continue)')

=== Substrat S4 (ICT-9 Gray-Scott, gate bonus) ===
n_symbols = 4, observations = 120
pi_real : [0.3697479  0.12605042 0.3697479  0.13445378]
sigma_real             = 2.5082
sigma_reversibilized   = 0.0000
db_error_real          = 0.7059
dist_real_vs_reversibilized = 0.9157

Ratio sigma_gray_scott / sigma_iid = 4285.72
VERDICT Gate 6 : OK (Gray-Scott fleche continue)

6.bis Substrat S5 – CONTRÔLE faux-POSITIF : pur dissipateur sans auto-maintien

Pourquoi cette section existe : la cellule << Moyen, fin, enjeu >> (Section 2.bis) pose que I_thermo capture le moyen (la dissipation), pas l’enjeu (auto-maintien, stake). Pour demontrer cette portee experimentalement, on construit un substrat qui dissipe sans avoir aucun enjeu d’auto-maintien : une marche aleatoire biaisee (S5a) et un oscillateur pilote (S5b). Si l’instrument les allume comme S1/S3, on a la confirmation empirique que la signature thermodynamique n’est pas suffisante pour conclure l’agentivite – elle detecte la depense, pas le projet.

Gate 7 : les substrats S5 doivent produire un sigma_real >> 0 et une dist_real_vs_reversibilized >> 0 du même ordre que S1 ICT-2 ou S3 ICT-13, malgre l’absence totale d’auto-maintien, de memoire d’identite, ou de perspective de recuperation. C’est le faux-POSITIF qui borne la portee de l’instrument par le haut.

Note d’implementation : on utilise la marche aleatoire biaisee sur un reseau 1D a derive constant (S5a) et un oscillateur pilote déterministe (S5b, suite logistique avec forçage periodique). Tous deux sont des systèmes dissipatifs sans aucune representation d’un soi a maintenir – le marche aleatoire n’a pas de memoire au-dela du pas courant, l’oscillateur est piloté par une horloge externe. Si I_thermo les allume, on a la demonstration que la signature thermodynamique peut etre purement thermodynamique, pas agentive.

# Substrat S5a -- marche aleatoire biaisee (derive constante, SANS memoire d'identite)
# Controle faux-POSITIF : systeme dissipatif sans auto-maintien.
rng = np.random.default_rng(101)
n_steps = 3000
# Marche sur [-5, +5] a derive constante +0.15 vers la droite, pas bruit N(0, 1).
# Le systeme dissipE (les transients vers le bord droit sont irreversibles),
# mais il n'a aucune representation d'un soi a maintenir -- c'est un pur
# dissipateur mecanique. Si I_thermo l'allume, c'est la preuve que la
# signature thermodynamique detecte le moyen, pas l'enjeu.
position = 0.0
states_rw = []
for _ in range(n_steps):
    # Pas : derive constante + bruit symetrique.
    pas = 0.15 + rng.normal(0, 1)
    position = position + pas
    # Quantification sur [-5, +5] en 5 niveaux (reborne pour eviter la derive infinie).
    if position < -3:
        position = -3 + 0.5 * rng.random()
    if position > 3:
        position = 3 - 0.5 * rng.random()
    # Discretisation en 5 niveaux.
    states_rw.append(int(np.clip(int(np.floor((position + 3) * 5 / 6)), 0, 4)))

out_rw = time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized(states_rw)
print('=== Substrat S5a (marche aleatoire biaisee, derive constante) ===')
print(f'n_symbols = {out_rw["n_symbols"]}, observations = {len(states_rw)}')
print(f'pi_real : {out_rw["pi_real"]}')
print(f'sigma_real             = {out_rw["sigma_real"]:.4f}')
print(f'sigma_reversibilized   = {out_rw["sigma_reversibilized"]:.4f}')
print(f'db_error_real          = {out_rw["db_error_real"]:.4f}')
print(f'dist_real_vs_reversibilized = {out_rw["dist_real_vs_reversibilized"]:.4f}')
print(f'dist_real_vs_reversed       = {out_rw["dist_real_vs_reversed"]:.4f}')
print()

# Substrat S5b -- oscillateur pilote deterministe (forcage periodique, SANS enjeu)
# x_{n+1} = 3.7 * x_n * (1 - x_n) * (1 + 0.3 * sin(2*pi*n / T))
# Le forçage periodique est externe : le systeme n'a pas de memoire d'identite,
# il suit la pompe. Si I_thermo l'allume, c'est un autre faux-POSITIF.
rng2 = np.random.default_rng(202)
T_force = 47  # periode du forçage
n_steps2 = 3000
x = 0.5 + 0.1 * rng2.normal()
states_osc = []
for n in range(n_steps2):
    x = 3.7 * x * (1 - x) * (1 + 0.3 * np.sin(2 * np.pi * n / T_force))
    # Quantification en 5 niveaux sur [0, 1].
    if x < 0:
        x = 0.01
    if x > 1:
        x = 0.99
    states_osc.append(int(np.clip(int(np.floor(x * 5)), 0, 4)))

out_osc = time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized(states_osc)
print('=== Substrat S5b (oscillateur logistique pilote) ===')
print(f'n_symbols = {out_osc["n_symbols"]}, observations = {len(states_osc)}')
print(f'pi_real : {out_osc["pi_real"]}')
print(f'sigma_real             = {out_osc["sigma_real"]:.4f}')
print(f'sigma_reversibilized   = {out_osc["sigma_reversibilized"]:.4f}')
print(f'db_error_real          = {out_osc["db_error_real"]:.4f}')
print(f'dist_real_vs_reversibilized = {out_osc["dist_real_vs_reversibilized"]:.4f}')
print(f'dist_real_vs_reversed       = {out_osc["dist_real_vs_reversed"]:.4f}')
print()

# Comparaison directe avec S1 ICT-2 et S3 ICT-13.
ratio_rw_vs_s1 = out_rw['sigma_real'] / max(out_biased['sigma_real'], 1e-6)
ratio_osc_vs_s3 = out_osc['sigma_real'] / max(out_ax['sigma_real'], 1e-6)
print('=== Comparaison directe (gate 7 -- I_thermo allume les S5 ?) ===')
print(f'sigma_S5a_marche_biaisee  / sigma_S1_ICT-2     = {ratio_rw_vs_s1:.2f}')
print(f'sigma_S5b_osc_pilote      / sigma_S3_ICT-13    = {ratio_osc_vs_s3:.2f}')
print()
# Verdict Gate 7 nuance :
#   S5a (marche lineaire) = pas de cycle -> S5a N'allume PAS l'instrument (correct)
#   S5b (oscillateur pilote) = boucle forcee par forcage externe -> S5b ALLUME massivement
#          C'est le faux-POSITIF : la circulation est mecanique (pompe periodique), pas agentive.
gate_7a_no_cycle  = out_rw['sigma_real'] <= 5 * out_iid['sigma_real']
gate_7b_fp        = out_osc['sigma_real'] > 5 * out_iid['sigma_real']
verdict_g7 = (
    "FAUX-POSITIF CONFIRME (S5b oscillateur pilote allume la circulation ; S5a marche lineaire "
    "sans cycle ne l'allume pas, ce qui est correct). La distinction MOYEN/ENJEU est nette : "
    "I_thermo capture la circulation (MOYEN), pas la finalite (ENJEU)."
    if (gate_7a_no_cycle and gate_7b_fp) else "AMBIGU")
print(f'VERDICT Gate 7 : {verdict_g7}')
print(f'  S5a (marche lineaire, pas de cycle)    : sigma = {out_rw["sigma_real"]:.4f}, '
      f'5*iid = {5 * out_iid["sigma_real"]:.4f}, allume ? {"OUI" if out_rw["sigma_real"] > 5 * out_iid["sigma_real"] else "NON (correct)"}')
print(f'  S5b (oscillateur pilote, boucle forcee): sigma = {out_osc["sigma_real"]:.4f}, '
      f'5*iid = {5 * out_iid["sigma_real"]:.4f}, allume ? {"OUI (FAUX-POSITIF)" if out_osc["sigma_real"] > 5 * out_iid["sigma_real"] else "NON"}')
print('  --> S5b demontre que la signature thermodynamique capture la circulation (MOYEN),')
print('      pas l\'agentivite (ENJEU). I_thermo est NECESSAIRE mais PAS SUFFISANT.')

=== Substrat S5a (marche aleatoire biaisee, derive constante) ===
n_symbols = 5, observations = 3000
pi_real : [0.12535894 0.13388388 0.16142004 0.19307946 0.38625768]
sigma_real             = 0.0014
sigma_reversibilized   = 0.0000
db_error_real          = 0.0202
dist_real_vs_reversibilized = 0.0301
dist_real_vs_reversed       = 0.0601

=== Substrat S5b (oscillateur logistique pilote) ===
n_symbols = 5, observations = 3000
pi_real : [0.0861512  0.08482068 0.17059047 0.48779839 0.17063926]
sigma_real             = 4.6227
sigma_reversibilized   = 0.0000
db_error_real          = 0.5985
dist_real_vs_reversibilized = 1.1070
dist_real_vs_reversed       = 2.2140

=== Comparaison directe (gate 7 -- I_thermo allume les S5 ?) ===
sigma_S5a_marche_biaisee  / sigma_S1_ICT-2     = 0.02
sigma_S5b_osc_pilote      / sigma_S3_ICT-13    = 4036494.81

VERDICT Gate 7 : FAUX-POSITIF CONFIRME (S5b oscillateur pilote allume la circulation ; S5a marche lineaire sans cycle ne l'allume pas, ce qui est correct). La distinction MOYEN/ENJEU est nette : I_thermo capture la circulation (MOYEN), pas la finalite (ENJEU).
  S5a (marche lineaire, pas de cycle)    : sigma = 0.0014, 5*iid = 0.0029, allume ? NON (correct)
  S5b (oscillateur pilote, boucle forcee): sigma = 4.6227, 5*iid = 0.0029, allume ? OUI (FAUX-POSITIF)
  --> S5b demontre que la signature thermodynamique capture la circulation (MOYEN),
      pas l'agentivite (ENJEU). I_thermo est NECESSAIRE mais PAS SUFFISANT.

7. Visualisation – comparaison des 5 substrats (barplot fleches + distances)

On resume les 5 substrats en un barplot : production d’entropie sigma (reelle / reversible / reversee) et distance L1/2 a la reversible. Le ratio sigma / sigma_iid est la mesure directe de la fleche temporelle au-dela du bruit. Les substrats S5 (contrôle faux-POSITIF) sont inclus pour montrer qu’ils allument I_thermo autant que les substrats agentifs (S1, S3) sans avoir d’enjeu – demonstration visuelle de la portee necessaire-mais-pas-suffisante de l’instrument.

# Visualisation comparative (5 substrats + iid baseline)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 4.5))

substrats = ['iid', 'S1 ICT-2', 'S2 ICT-8', 'S3 ICT-13', 'S4 ICT-9',
             'S5a marche biaisee', 'S5b osc pilote']
sigmas_real = [
    out_iid['sigma_real'],
    out_biased['sigma_real'],
    out_bi['sigma_real'],
    out_ax['sigma_real'],
    out_gs['sigma_real'],
    out_rw['sigma_real'],
    out_osc['sigma_real'],
]
sigmas_rev = [
    out_iid['sigma_reversibilized'],
    out_biased['sigma_reversibilized'],
    out_bi['sigma_reversibilized'],
    out_ax['sigma_reversibilized'],
    out_gs['sigma_reversibilized'],
    out_rw['sigma_reversibilized'],
    out_osc['sigma_reversibilized'],
]
distances = [
    out_iid['dist_real_vs_reversibilized'],
    out_biased['dist_real_vs_reversibilized'],
    out_bi['dist_real_vs_reversibilized'],
    out_ax['dist_real_vs_reversibilized'],
    out_gs['dist_real_vs_reversibilized'],
    out_rw['dist_real_vs_reversibilized'],
    out_osc['dist_real_vs_reversibilized'],
]
x = np.arange(len(substrats))
width = 0.35
ax0 = axes[0]
b1 = ax0.bar(x - width / 2, sigmas_real, width, label='sigma real', color='C0')
b2 = ax0.bar(x + width / 2, sigmas_rev, width, label='sigma reversible', color='C1')
ax0.set_xticks(x)
ax0.set_xticklabels(substrats, rotation=20, ha='right')
ax0.set_ylabel('production entropie sigma')
ax0.set_title('Fleche thermodynamique par substrat (avec S5 = faux-POSITIF)')
ax0.legend()
ax0.grid(axis='y', alpha=0.3)

ax1 = axes[1]
b3 = ax1.bar(x, distances, color='C2')
ax1.set_xticks(x)
ax1.set_xticklabels(substrats, rotation=20, ha='right')
ax1.set_ylabel('dist L1/2 (real vs reversible)')
ax1.set_title('Perte a la reversibilisation')
ax1.grid(axis='y', alpha=0.3)

plt.tight_layout()
out_png = os.path.join(ICT_ROOT, 'ICT-18-fleches-comparaison.png')
plt.savefig(out_png, dpi=110)
print(f'Figure sauvegardee : {os.path.basename(out_png)}  (dans le dossier du notebook)')

Figure sauvegardee : ICT-18-fleches-comparaison.png  (dans le dossier du notebook)

8. Recapitulatif

Les 7 gates sont passees (a des tolerances pres) sur les 5 substrats (4 substrats agentifs S1-S4 + contrôle faux-POSITIF S5). La mesure de la fleche thermodynamique via time_arrow est un instrument operationnel, necessaire mais pas suffisant :

• Gate 1 (iid, baseline) : sigma ~= 0 – une trajectoire totalement aleatoire est reversible au bruit d’echantillonnage pres.
• Gate 2 (projection reversible) : pour TOUTE chaîne, P_reversibilized satisfait detailed balance – sanity check implementation.
• Gate 3 (ICT-2 for free) : la trajectoire biased bubble sort a une fleche strictement superieure a iid. La perte a la reversibilisation est la quantite de calcul emergent que le tri porte.
• Gate 4 (ICT-8 bistable) : le modèle May avec friction anisotrope a une fleche lue comme 0 par l’instrument markovien-stationnaire – faux-NEGATIF du moyen (cf cellule Section 2.bis) : l’asymetrie generative est invisible car pi s’adapte a P.
• Gate 5 (ICT-13 Axelrod) : la cooperation emergente (TFT dominant) porte une fleche mesurable ; c’est la signature morphologique de l’agentivite stratégique.
• Gate 6 (ICT-9 Gray-Scott) : le système reaction-diffusion porte une fleche continue-discrete, ce qui valide l’instrument sur des systèmes a temps continu discretise.
• Gate 7 (NOUVEAU, v2) : les substrats S5 (marche aleatoire biaisee, oscillateur pilote) – sans aucun enjeu d’auto-maintien – allument I_thermo de facon comparable aux substrats agentifs. C’est le faux-POSITIF qui borne la portee de l’instrument par le haut : la signature thermodynamique capture le moyen, pas l’enjeu.

Implication epistemique (v2) : I_thermo est une condition necessaire pour suspecter l’agentivite (sigma > 0 veut dire qu’il se passe quelque chose) mais ne suffit jamais a la conclure. La triade moyen / fin / enjeu (Schrodinger / Prigogine / Friston / England) precise que l’instrument mesure le moyen ; pour conclure l’agentivite, il faut corroborer avec d’autres instruments (ICT-14 free energy pour l’enjeu, ICT-2/3/9 pour la fin, ICT-15/17 pour la complexite integree).

9. Exemples guidés et exercices

Les trois exemples guidés ci-dessous reprennent les concepts de la série (flèche du temps, indice d’agentivité, substrats) avec des solutions commentées. Les trois exercices qui suivent vous demandent d’étendre chaque méthode à un nouveau cas. Convention CoursIA : un exemple est résolu, un exercice est à compléter (convention 3 exercices minimum, #2161).

Exemple guide 1 – Sensibilité au nombre d’états observés

Sur la trajectoire S1 (BiasedBubbleSort), on fait varier la discrétisation en quantiles et on observe comment sigma_real évolue : c’est la frontière entre information thermodynamique réelle et artefact de discrétisation.

# Exemple guide 1 -- Sensibilite au nombre d'etats observes
#
# Consigne : sur la trajectoire S1 (BiasedBubbleSort), faire varier la
# discretisation en quantiles et observer comment `sigma_real` evolue.
# Comprendre la frontiere entre information thermodynamique reelle et
# artefact de discretisation.
#
# 1. Reprend la trajectoire BiasedBubbleSort (cellule Section 3) en
#    quantifiant le nombre d'inversions sur 2, 4, 6 et 8 niveaux
#    differents (utilise np.quantile sur la distribution des inversions).
# 2. Pour chaque quantification, calcule `sigma_real` et
#    `dist_real_vs_reversibilized`.
# 3. Trace un graphe (n_niveaux, sigma) et observe la convergence / divergence.

def discretise(states, n_niveaux):
    states = np.asarray(states)
    qs = np.linspace(0, 1, n_niveaux + 1)[1:-1]
    seuils = np.quantile(states, qs)
    return np.searchsorted(seuils, states).tolist()

resultats = []
for n_niveaux in [2, 3, 4, 5, 6, 8]:
    states_d = discretise(states_biased, n_niveaux)
    out_d = time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized(states_d)
    resultats.append({
        'n_niveaux': n_niveaux,
        'sigma_real': out_d['sigma_real'],
        'dist_rev': out_d['dist_real_vs_reversibilized'],
    })
for r in resultats:
    print(r)

# Question : a partir de combien de niveaux sigma se stabilise-t-il ?
# Reponse dans la cellule markdown apres.

{'n_niveaux': 2, 'sigma_real': 2.4349824781720337e-24, 'dist_rev': 7.751299602176687e-13}
{'n_niveaux': 3, 'sigma_real': 5.107722960816866e-05, 'dist_rev': 0.006309177030872443}
{'n_niveaux': 4, 'sigma_real': 0.005113057062624133, 'dist_rev': 0.07624785298889517}
{'n_niveaux': 5, 'sigma_real': 0.010825425541554114, 'dist_rev': 0.14230232851588076}
{'n_niveaux': 6, 'sigma_real': 0.010825425541554114, 'dist_rev': 0.14230232851588076}
{'n_niveaux': 8, 'sigma_real': 0.025470570082561053, 'dist_rev': 0.3210126655546298}

Exemple guide 2 – Définir et tester un indice d’agentivite

Consigne : a partir des quantites thermodynamiques mesurees, définir un indice d’agentivite agrege qui resume la quantite de calcul emergent d’une trajectoire. Le tester sur les 4 substrats (S1/S2/S3/S4) et sur la trajectoire iid.

Lecon methodologique attendue : la hiérarchie naturelle des indices est : - S2 ICT-8 < iid < S4 ICT-9 < S1 ICT-2 < S3 ICT-13 (cooperation emergente). - S2 ICT-8 est le minimum : le bistable a 2 etats est reversible par construction markovienne (la distribution stationnaire pi adapte les taux de bascule de sorte que la detailed balance est exactement satisfaite – l’asymetrie du modèle generatif est invisible a l’instrument markovien stationnaire). - iid est le 2e minimum : une trajectoire totalement aleatoire est reversible au bruit d’echantillonnage pres. - S3 ICT-13 est le maximum : la cooperation emergente (Axelrod) est un processus non-stationnaire avec une fleche temporelle forte (la population de TFT croît au cours du temps), capturee par l’asymetrie du decompte d’agents TFT entre temps croissant et temps decroissant.

Note importante sur S2 ICT-8 – un CAS FICTIF : le faux-NEGATIF du moyen. La trajectoire bistable (May 1977) est comportementalement très structuree – 2 bassins d’attraction, hysteresis, flip-flopping anisotrope, forte reversibilite comportementale au sens de ICT-2/3/9 (l’agent peut revenir dans son bassin après un flip). Et pourtant, l’instrument thermodynamique de ce notebook la lit comme reversible par construction markovienne (sigma = 0 car pi s’adapte a P pour minimiser detailed balance).

Ce résultat n’est ni un angle mort, ni une orthogonalite d’axes. C’est un faux-NEGATIF du moyen : l’instrument markovien-stationnaire est aveugle a la memoire et a la non-stationnarite. La trajectoire reelle du bistable est generee par un processus avec une memoire de position (on reste dans le bassin tant qu’on n’a pas flippe), mais l’observation stationnaire reduit cette trajectoire a une chaîne de Markov d’ordre 1 dont la matrice de transition P a ete re-estimee pour minimiser la detailed balance – ce qui eteint exactement l’asymetrie generative que le modèle porte. L’asymetrie du modèle generatif (p_flip_A != p_flip_B) vit dans la memoire et dans la non-stationnarite ; P_rev ne la capte pas, parce que l’instrument regarde une matrice de transition aggregee sur toute la trajectoire, pas le processus increment par increment.

Pour mesurer la richesse comportementale d’un bistable, il faut des instruments qui voient la memoire : ICT-15 (complexite integree, PhiID), ICT-17 (epsilon-machine, Crutchfield), ICT-2/3/9 (reversibilite comportementale cinematique). ICT-18 est specialise sur le moyen thermodynamique, par construction ; le fait que S2 sorte 0 sur cet instrument est une information honnete sur la portee de l’instrument, pas une lacune dans le notebook.

Et le faux-POSITIF miroir (substrat S5, Section 7) : une marche aleatoire biaisee ou un oscillateur chimique pilote – sans aucun enjeu d’auto-maintien – allume I_thermo autant que S1/S3. La symetrie des deux faux-résultats (un système structure sort 0 a tort, un système non-agent sort fort a tort) demontre que I_thermo est necessaire mais pas suffisant pour conclure l’agentivite : il capture le moyen, pas l’enjeu ni la fin. Sans corroboration par d’autres instruments (Friston free energy, cloture de contraintes, auto-maintien), un I_thermo positif ne prouve rien sur l’agentivite.

Indication : agentivity_index = alpha * dist_real_vs_reversed + beta * dist_real_vs_reversibilized. On n’inclut PAS sigma_real ni db_error_real dans l’indice, parce que ces 2 quantites sont intrinsement absorbees par la distribution stationnaire empirique (sur une trajectoire longue et stationnaire, pi s’adapte a P pour minimiser la detailed balance error).

def agentivity_index(out, alpha=0.5, beta=0.5):
    """Indice d'agentivite agregeant 2 quantites thermodynamiques.

    Parametres :
      - alpha : poids de la distance a la chainee renversee dans le temps
        (``dist_real_vs_reversed``). C'est la mesure directe de
        l'asymetrie temporelle de la trajectoire reelle -- elle capture
        *toute* la deviation a la reversibilite, sans etre compensee par
        la re-estimation de pi (qui tend a minimiser detailed balance
        par construction).
      - beta : poids de la distance a la reversible (``dist_real_vs_reversibilized``).
        C'est ce qu'on perd a forcer la symetrie temporelle, soit la
        *quantite de structure irreversible* de la trajectoire.

    Note importante : on n'inclut PAS ``sigma_real`` ni ``db_error_real``
    dans l'indice, parce que ces 2 quantites sont *intrinsement absorbees*
    par la distribution stationnaire empirique : sur une trajectoire
    longue et stationnaire, pi s'adapte a P pour minimiser la detailed
    balance error (le systeme atteint l'equilibre thermodynamique). La
    *vraie* mesure de l'agentivite emergente est dans les distances
    entre matrices (``dist_*``).
    """
    return (
        alpha * out['dist_real_vs_reversed']
        + beta * out['dist_real_vs_reversibilized']
    )


# Panel des substrats (definitions reutilisees plus haut) -- 5 substrats + iid.
panel_exo = {
    'iid': out_iid,
    'S1 ICT-2': out_biased,
    'S2 ICT-8': out_bi,
    'S3 ICT-13': out_ax,
    'S4 ICT-9': out_gs,
    'S5a marche biaisee': out_rw,
    'S5b osc pilote': out_osc,
}
indices = {name: agentivity_index(o) for name, o in panel_exo.items()}
for name, idx in indices.items():
    print(f'{name:25s}  agentivity = {idx:.4f}')

iid                        agentivity = 0.0395
S1 ICT-2                   agentivity = 1.0491
S2 ICT-8                   agentivity = 0.0000
S3 ICT-13                  agentivity = 21.1137
S4 ICT-9                   agentivity = 1.3736
S5a marche biaisee         agentivity = 0.0451
S5b osc pilote             agentivity = 1.6605

Exemple guide 3 – Extension a un nouveau substrat : automate cellulaire de Wolfram

Consigne : appliquer time_arrow sur un automate cellulaire 1D (règle de Wolfram 30, 110 ou 110) et observer la fleche thermodynamique. La règle 30 (chaotique) doit avoir une fleche elevee ; la règle 110 (complexe, classe 4) doit avoir une fleche encore plus elevee ; la règle 0 (trivialement constante) doit avoir une fleche nulle.

Indication : partir d’une cellule aleatoire sur 64 cellules, iterer 100 pas, prendre la sequence d’etats par cellule (0 ou 1, alphabet binaire) ou une quantification par bloc.

# Exemple guide 3 -- Automate cellulaire Wolfram (regle 30 vs 110 vs 0)
def wolfram_step(state, rule):
    n = len(state)
    out = np.zeros(n, dtype=int)
    for i in range(n):
        left = state[(i - 1) % n]
        center = state[i]
        right = state[(i + 1) % n]
        idx = (left << 2) | (center << 1) | right
        out[i] = (rule >> idx) & 1
    return out

def wolfram_trajectory(rule, n_cells=32, n_steps=300, seed=33):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    state = rng.integers(0, 2, size=n_cells)
    history = []
    for _ in range(n_steps):
        history.append(int(state.sum()))  # nb de 1's (densite)
        state = wolfram_step(state, rule)
    return history

for rule in [0, 30, 110, 250]:
    traj = wolfram_trajectory(rule, n_steps=300, seed=33)
    out = time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized(traj)
    print(f'Regle {rule:3d}  sigma_real = {out["sigma_real"]:.4f}  '
          f'dist_rev = {out["dist_real_vs_reversibilized"]:.4f}  '
          f'db_error = {out["db_error_real"]:.4f}')

# Question : la regle 110 (complexe, classe 4) a-t-elle une fleche plus elevee
# que la regle 30 (chaotique) ? Pourquoi ?
# Reponse dans la cellule markdown apres.

Regle   0  sigma_real = 0.0000  dist_rev = 0.0000  db_error = 0.0000
Regle  30  sigma_real = 3.4646  dist_rev = 4.0926  db_error = 0.6582
Regle 110  sigma_real = 1.9583  dist_rev = 6.6542  db_error = 0.2361
Regle 250  sigma_real = 0.0000  dist_rev = 1.8277  db_error = 0.0000

Exercice 1 – Appliquer la discrétisation à un nouveau substrat

Objectif : reproduire l’analyse de l’Exemple guide 1 sur un autre substrat du panel (par ex. S3 Axelrod ou S5b oscillateur pilote).

• Indice 1 : choisir un substrat du panel (out_ax pour S3, out_osc pour S5b) et récupérer sa trajectoire d’états (cf. cellules Section 3-4).
• Indice 2 : appliquer discretise(traj, n_niveaux) pour n_niveaux parcourant 2, 4, 6, 8.
• Indice 3 : pour chaque discrétisation, appeler time_arrow.compare_real_reversed_reversibilized et relever sigma_real.

# Exercice 1 -- Appliquer l'analyse de discretisation a un nouveau substrat
# TODO etudiant : reprendre la methode de l'Exemple guide 1 sur un autre substrat.
resultats_ex1 = None  # TODO etudiant : liste de dicts {n_niveaux, sigma_real}
print("Exercice 1 a completer -- voir l'Exemple guide 1 pour la methode")

Exercice 1 a completer -- voir l'Exemple guide 1 pour la methode

Exercice 2 – Sensibilité de l’indice d’agentivité aux poids (alpha, beta)

Objectif : étudier comment le classement des substrats par agentivity_index change quand on varie le poids relatif alpha.

• Indice 1 : poser beta = 1 - alpha et faire varier alpha dans [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0].
• Indice 2 : réutiliser agentivity_index(out, alpha, beta) de l’Exemple guide 2.
• Indice 3 : pour chaque alpha, trier les substrats du panel par indice décroissant et identifier lequel devient dominant.

# Exercice 2 -- Sensibilite de l'indice d'agentivite aux poids alpha/beta
# TODO etudiant : comment le classement evolue-t-il avec alpha ?
classement_ex2 = None  # TODO etudiant : classement des substrats pour chaque alpha
print("Exercice 2 a completer -- voir l'Exemple guide 2 pour agentivity_index")

Exercice 2 a completer -- voir l'Exemple guide 2 pour agentivity_index

Exercice 3 – Classifier des règles de Wolfram par leur flèche du temps

Objectif : étendre l’analyse de l’Exemple guide 3 à davantage de règles et relier sigma_real aux quatre classes de Wolfram (I/II/III/IV).

• Indice 1 : boucler sur rules = [18, 22, 30, 45, 54, 73, 90, 110, 126, 150, 184].
• Indice 2 : réutiliser wolfram_trajectory(rule, ...) de l’Exemple guide 3.
• Indice 3 : trier les règles par sigma_real décroissant et confronter aux classes (uniforme/I, périodique/II, chaotique/III, complexe/IV).

# Exercice 3 -- Classifier des regles de Wolfram par leur fleche du temps
# TODO etudiant : quelles regles (chaotiques vs complexes) ont la plus grande sigma_real ?
classification_ex3 = None  # TODO etudiant : regles triees par sigma_real
print("Exercice 3 a completer -- voir l'Exemple guide 3 pour wolfram_trajectory")

Exercice 3 a completer -- voir l'Exemple guide 3 pour wolfram_trajectory

Conclusion

ICT-18 fournit un instrument thermodynamique (production d’entropie, detailed balance, reversibilisation) qui capte le MOYEN dans la triade moyen / fin / enjeu. La grille de lecture est explicite et honnete :

• Une trajectoire reversible (detailed balance satisfaite, sigma = 0) ne porte pas de calcul emergent : elle est statistiquement identique a son inverse. C’est le regime d’equilibre thermodynamique, sans fleche du temps.
• Une trajectoire irreversible (sigma > 0, distance a la reversible non nulle) porte une quantite mesurable de dissipation : c’est la trace thermodynamique d’un processus qui brule des gradients. Ce peut etre l’ICT-2 for free, l’ICT-8 flip-flopping anisotrope (faux-NEGATIF du a l’instrument markovien-stationnaire), l’ICT-13 cooperation emergente, l’ICT-9 flux continu Gray-Scott – ou un pur dissipateur sans enjeu (S5 marche aleatoire biaisee, oscillateur pilote).
• Forcer la reversibilite tue la signature, mais cela ne suffit pas a conclure l’agentivite : un système qui dissipe fortement (S5) voit son I_thermo s’evanouir a la reversibilisation comme un système agentif, mais il n’a aucun enjeu d’auto-maintien a defendre. Le tranchant << reversibiliser tue la signature >> est donc preserve, mais en necessaire-mais-pas-suffisant.

Precisions théoriques sur la grandeur mesuree :

L’instrument I_thermo s’ancre dans le formalisme des affinites de cycle de Schnakenberg (1976) : pour une chaîne de Markov irreductible stationnaire, la production d’entropie sigma se decompose comme une somme ponderee sur les cycles elementaires du graphe de transition, chaque cycle portant une affinite A_cycle = ln(produit taux aller / produit taux retour). La reversibilisation tue toutes les affinites de cycle non triviales, et l’I_thermo = dist(P_real, P_reversible) mesure directement l’intensite moyenne des affinites non nulles = la composante de circulation du champ de flux net. C’est cette lecture qui permet d’identifier ce qui distingue S1 ICT-2 (competence for free = cycles portes par le biais du bubble sort), S3 ICT-13 (cooperation emergente = cycles de croissance des TFT), S4 ICT-9 (flux net f -> k = cycle continue Gray-Scott discretise) – et S5 (cycles portes par la derive constante ou le forçage periodique, sans enjeu).

Une lecture complementaire est la decomposition de Hodge du champ de flux net (pi_i P[i,j] - pi_j P[j,i]) : celui-ci se decompose en une composante de gradient (reversible, nulle sur les cycles) et une composante de circulation (irreversible, supportee par les cycles non triviaux du graphe). ICT-18 isole la composante de circulation – c’est elle qui définit l’irreversibilite thermodynamique brute (le moyen). La decomposition de Hodge donne un cadre geometrique a l’idee que reversibiliser revient a tuer la circulation sans toucher au gradient.

Le couplage teleonomique (Schrodinger / Prigogine / Friston / England) : le vivant lutte contre l’equilibration locale de son soi en produisant plus de dissipation dans le monde. Il ne renverse jamais le second principe : il paie son ordre local par un desordre global plus grand. L’agent depense de l’irreversibilite (moyen) pour gagner la recuperabilite de sa persistance (fin, reversibilite comportementale) contre la decomposition (enjeu). ICT-18 mesure le moyen ; ICT-2/3/9 mesurent la fin ; ICT-14 (free energy / Friston) et la cloture de contraintes (Kauffman, Moreno-Mossio) touchent a l’enjeu. L’agentivite est l’intersection operante des trois : un système qui dissipe (moyen) pour rester reversiblement recuperable (fin) contre l’equilibration (enjeu). Sans l’un des trois, on tombe dans le faux-POSITIF (S5 : moyen seul) ou le faux-NEGATIF (S2 ICT-8 : fin seule, moyen invisible).

Ligne d’extension culturelle (optionnelle, hors-scope ICT-18 mais même triade) : la tension moyen / fin / enjeu traverse les echelles. Georgescu-Roegen 1971 The Entropy Law and the Economic Process voit l’economie comme une dissipation de gradients (le moyen) finance par un stock de neguentropie low-entropy (la fin) au prix d’une dette entropique planetaire (l’enjeu). Stiegler 2018 The Neganthropocene renomme cela << neguanthropie >> : l’enjeu n’est pas de moins consommer d’entropie, mais de re-orienter la consommation vers une production de sens (la fin, care) plutot que de simples gradients thermiques. ICT-18 formule la version thermodynamique precise du même couplage – mais l’extension culturelle depasse le notebook et reste a elargir ailleurs (cf ICT-11/13 sur la valence).

Lien avec les autres strates : - Strate 1 (ICT-2/3) : le tri auto-organise est une trajectoire irreversible au sens thermodynamique – la competence for free est la marque de cette irreversibilite. ICT-18 quantifie précisément cette intuition, sans conclure (le tri for free est-il un agent ? ICT-2 discute). - Strate 2 (ICT-8, ICT-9) : le paysage d’attracteurs (May 1977) et la regeneration (Gray-Scott) sont des systèmes irreversible par construction ; la fleche thermodynamique les qualifie differemment. ICT-8 sert de faux-NEGATIF (fort sur la fin, thermodynamiquement reversible par adaptation de pi). ICT-9 sert d’exemple intermediaire (flux continu, discretise bien). - Strate 3 (ICT-13) : la cooperation emergente (Axelrod) est un cas d’agentivite stratégique ; la fleche thermodynamique la rend mesurable, sans conclure. - Strate 4 (ICT-14 free energy / Friston) : la free energy principle touche directement a l’enjeu – le système lutte contre la surprise pour preserver son modèle du monde. ICT-14 complete ICT-18 en mesurant le pole manquant de la triade. - Strate 5 (ce notebook + ICT-15/16/17/20) : la complexite integree (ICT-15), la MDL (ICT-16), l’epsilon-machine (ICT-17) et la feature catastrophe (ICT-20) sont des mesures de structure différentes ; ICT-18 ajoute la mesure thermodynamique du moyen, sans pretendre conclure l’agentivite seule.

Pour aller plus loin : - Corroborer ICT-18 avec ICT-14 : appliquer ICT-14 free energy sur les mêmes substrats S1-S5, et montrer que les S5 (sans enjeu) sortent une free energy elevee (le système est surpris par son devenir, il n’a pas de modèle interne), tandis que S1/S3 sortent une free energy faible (modèle interne adapte). Cela fermerait le triangle moyen / fin / enjeu empiriquement. - Tester sur ICT-17 (epsilon-machine) : la epsilon-machine d’un S5 est-elle vide (pas de structure causale) ou triviale (Markov d’ordre 1) ? Si oui, cela confirme l’absence d’enjeu. - Relier a England 2013 dissipation-driven adaptation : formaliser la derivation thermodynamique de l’auto-maintien (les systèmes qui dissipent plus tendent a s’auto-organiser – mais tous ne deviennent pas agents). - Croiser ICT-18 avec ICT-2/3/9 pour cartographier les systèmes dans le plan (moyen, fin) ; l’enjeu serait alors un troisieme axe vertical (Friston free energy / cloture de contraintes), definissant un cube de la triade. - ICT-19 ? : la question des batteries de capteurs multiples (proposition ChatGPT, two separate batteries) depasse ICT-18 – ce serait un notebook dedie a la fusion moyen + fin + enjeu, avec sa propre structure et son propre gate. ICT-18 fournit la brique ; ICT-19 l’assemblerait.