ICT-15f – Pont #1-bis : la famille decouplee tranche le negatif de sigma

See #9531 (Pont #1-bis) et #8077 (Bridge-testing, les fleches pas les noeuds).

Le Pont #1 (« la stabilite locale \(\sigma\) cause la recuperabilite ») a ete falsifie sur la fronce de Thom (PR #8944, notebook ICT-15e / ICT-8 §8) : la courbure locale \(\sigma = V''(x^*)\) n’a aucun pouvoir predictif propre (correlation partielle \(\approx 0\)) une fois la largeur de bassin controlee, et c’est la largeur (position du col) qui gouverne la portee de recuperation (\(\rho \approx 0{,}99\)).

Mais sur la fronce, \(\sigma\) et la largeur sont couplees par construction (\(\rho_{\sigma,\text{width}} \approx 0{,}93\)). Le verdict de falsification est donc acquis sur ce substrat ; sa generalite reste indecidable tant qu’on n’a pas un substrat ou les deux quantites varient independamment.

Ce notebook (issue #9531, chantier 1/3) construit cette famille decouplee, rejoue le protocole avec une rigueur statistique accrue (correlation partielle a 2 covariables : largeur ET barriere), et tranche. Le module reutilisable est ict.basin_family.

Statut épistémique — Sans verdict à ce jour : aucune ligne de la matrice de dissociations ne concerne ce notebook ; son statut épistémique sera porté par la matrice le cas échéant.

1. Le substrat : double-puits symetrique \(V(x) = a x^4 - b x^2\)

Contrairement a la fronce (\(V = x^4/4 + ax^2/2 + bx\), deux parametres de controle mais \(\sigma\) et largeur lies), le double-puits symetrique separe algebriquement les trois quantites geometriques :

Quantite	Formule	Depend de
Courbure au minimum \(\sigma = V''(x^*)\)	\(4b\)	\(b\) seul
Demi-largeur vers le col \(w\)	\(\sqrt{b/(2a)}\)	\(a\) et \(b\)
Hauteur de barriere \(\Delta V\)	\(b^2/(4a)\)	\(a\) et \(b\)

L’astuce du decouplage : on echantillonne \(\sigma\) et \(w\) sur deux grilles separees, et chaque couple cible \((\sigma, w)\) se realise par \(b = \sigma/4\) puis \(a = b/(2w^2)\). Sur le produit cartesien, \(\operatorname{corr}(\sigma, w) \approx 0\) par construction.

Le piege : la barriere \(\Delta V = \sigma \cdot w^2 / 8\) co-varie avec le produit des deux cadrans. Controler la largeur seule (comme le Pont #1) laisse donc fuir la barriere. Le verdict decisif controlera la largeur ET la barriere.

import numpy as np
import sys, os
sys.path.insert(0, os.path.abspath('..'))
import matplotlib.pyplot as plt
from ict import basin_family as bf

# Visualisation du potentiel pour quelques couples (sigma, width)
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(11, 3.2), sharey=True)
x = np.linspace(-2.0, 2.0, 400)
for ax, (sig, wid) in zip(axes, [(4.0, 0.6), (4.0, 1.5), (10.0, 1.0)]):
    a, b = bf.realize_decoupled(sig, wid)
    ax.plot(x, bf.double_well_potential(x, a, b), color='C0')
    ax.set_title(f'$\\sigma$={sig}, $w$={wid}\n($\\Delta V$={sig*wid**2/8:.2f})')
    ax.set_ylim(-3, 3); ax.axhline(0, color='k', lw=0.5)
axes[0].set_ylabel('V(x)')
fig.suptitle('Double-puits decouple : $\\sigma$ et $w$ varies independamment', y=1.02)
plt.tight_layout(); plt.show()

Les trois panneaux fixent \(\sigma\) puis font varier \(w\), et vice-versa : la raideur du minimum (courbure) et la distance au col se reglent separement. C’est ce degre de liberte supplementaire qui manquait a la fronce.

2. Le decouplage constructif, mesure

Verifions sur la grille par defaut que \(\operatorname{corr}(\sigma, w) \approx 0\) — c’est le pre-requis sans lequel le verdict de generalite n’a pas de sens.

# La famille decouplee : produit cartesien de deux grilles (sigma, width).
# On mesure les 4 quantites par minimum stable droit (recuperation stochastique).
fam = bf._gather_family(
    np.array([2., 3., 4., 6., 9., 13.]), np.array([0.4, 0.6, 0.9, 1.3, 1.9]),
    noise=0.35, n_trials=60, T=3000, dt=0.02, perturb_frac=0.75, seed=0)
print(f"n echantillons : {fam['sigma'].size}")
print(f"corr(sigma, width)  = {bf._pearson(bf._rank(fam['sigma']), bf._rank(fam['width'])):+.3f}  (decouplage : |.| < 0.2)")
print(f"corr(sigma, barrier)= {bf._pearson(bf._rank(fam['sigma']), bf._rank(fam['barrier'])):+.3f}  (fuite de barriere)")
print(f"recovery : min={fam['recovery'].min():.3f} max={fam['recovery'].max():.3f} std={fam['recovery'].std():.3f}  (variance reelle)")

n echantillons : 30
corr(sigma, width)  = +0.000  (decouplage : |.| < 0.2)
corr(sigma, barrier)= +0.463  (fuite de barriere)
recovery : min=0.400 max=1.000 std=0.181  (variance reelle)

Lecture de la sortie. Sur les 30 echantillons de la famille : la correlation \(\rho(\sigma, w) = +0{,}000\) confirme le decouplage constructif (le critere exige \(|\rho| < 0{,}2\)) – par construction du produit cartesien des grilles, courbure et largeur varient independamment, et la mesure le verifie. Mais la deuxieme ligne revele la fuite : \(\rho(\sigma, \text{barrier}) = +0{,}463\). La barrier co-varie avec la courbure malgre le decouplage \(\sigma/w\) – geometriquement inevitable (raideur de puits et hauteur du col sont lies par la forme \(ax^4 - bx^2\)). Cette fuite est exactement ce qui interdit de conclure sur la correlation brute : sans purge de la barriere, un effet attribue a \(\sigma\) pourrait etre le sien. La troisieme ligne etablit l’enjeu : la recuperation s’etale de \(0{,}400\) a \(1{,}000\) (ecart-type \(0{,}181\)) – il y a de la variance reelle a expliquer, la question de savoir qui la porte est ouverte.

3. La mesure NON triviale : recuperation stochastique (Langevin)

La recuperation deterministe (relaxation a convergence) est degeneree : a convergence, le franchissement du col est purement geometrique et la barriere n’a aucun effet — le test serait trivial et non falsifiable. La mesure honnete est stochastique : dynamique overdamped bruitee \(dx = -V'(x)\,dt + \sqrt{2D\,dt}\,\xi\), ou les trois quantites ont un effet mesurable (escape d’Arrhenius \(\sim e^{-\Delta V/D}\), taux de rappel \(\sim e^{-\sigma t}\), geometrie). Sans bruit, pas de verdict falsifiable.

# Pourquoi le bruit est necessaire : deterministe (constant) vs stochastique (variance reelle).
a, b = bf.realize_decoupled(6.0, 1.0)
prof = bf.basin_profile(a, b)
xstar, sigma, width, col, barrier = prof[1]
delta_grid = np.linspace(0.05, width * 1.2, 25)
det = bf.recover_fraction(xstar, col, a, b, delta_grid)
rng = np.random.default_rng(0)
sto = bf.recover_fraction_stochastic(xstar, a, b, rng, noise=0.35, n_trials=60, T=3000)
print(f'substrat sigma={sigma}, width={width:.3f}, barrier={barrier:.3f}')
print(f'  recuperation deterministe = {det:.3f}  (geometrique, insensible a la barriere)')
print(f'  recuperation stochastique = {sto:.3f}  (depend de barriere, sigma ET largeur)')

substrat sigma=6.0, width=1.000, barrier=0.750
  recuperation deterministe = 0.800  (geometrique, insensible a la barriere)
  recuperation stochastique = 0.333  (depend de barriere, sigma ET largeur)

Lecture de la sortie. Sur le substrat temoin (\(\sigma = 6{,}0\), \(w = 1{,}000\), barrier \(= 0{,}750\)) : la recuperation deterministe vaut \(0{,}800\), la recuperation stochastique \(0{,}333\) – un facteur \(2{,}4\) d’ecart sur le meme substrat. La relaxation a convergence ne voit que la geometrie (le partage du domaine d’attraction), et la barriere ne change rien a ce partage : la mesure serait insensible a l’un des trois facteurs du probleme, donc non falsifiable sur lui. La dynamique bruitee, elle, franchit le col par tirages Arrhenius – chaque facteur (barrier, \(\sigma\), largeur) pese sur le taux – et l’ecart mesure combien le bruit revele : la moitie de la recuperabilite apparente en deterministe etait un artefact de la convergence. C’est le choix de mesure qui decide si l’experience a un pouvoir discriminant.

Exercice 1 (cible barriere + largeur). Le decouplage par defaut fixe \((\sigma, w)\). On veut parfois cibler (barriere \(\Delta V\), largeur \(w\)) directement — \(\sigma\) devient une consequence. A partir de \(\Delta V = b^2/(4a)\) et \(w = \sqrt{b/(2a)}\), deroulez l’algebre pour obtenir \((a, b)\) puis la courbure resultante \(\sigma\). Completez realize_from_barrier_width ci-dessous (les tests unitaires sont dans tests/test_basin_family.py).

# Exercice 1 -- a completer.
def realize_from_barrier_width(barrier: float, width: float):
    """Renvoie (a, b, sigma_resultant) realisant la cible (barriere, width).

    Indice : de w = sqrt(b/(2a)) on tire b = 2 a w^2 ; injecter dans
    barrier = b^2/(4a) donne une equation en a seule, puis b, puis sigma=4b.
    """
    # TODO etudiant : deroulez l'algebre.
    # Etape 1 : exprimer b en fonction de a et w.
    # Etape 2 : injecter dans barrier = b^2/(4a) et resoudre a.
    # Etape 3 : en deduire b puis sigma = 4b.
    a = None
    b = None
    sigma = None
    return a, b, sigma

# Verification (a completer par l'etudiant) :
# a, b, s = realize_from_barrier_width(2.0, 1.0)
# print(a, b, s)  # doit verifier barrier=b^2/(4a) et width=sqrt(b/(2a))
print('Exercice a completer -- voir tests/test_basin_family.py')

Exercice a completer -- voir tests/test_basin_family.py

4. Le verdict decisif : correlation partielle a 2 covariables

Le Pont #1 controlait la largeur seule (1 covariable). Ici, la barriere co-varie avec le produit \(\sigma \cdot w^2\) ; il faut la purger. On calcule donc la correlation partielle de Spearman de \(\sigma\) avec la recuperation, en controlant la largeur ET la barriere (methode des residus de Frisch-Waugh-Lovell, generalisee a \(N\) covariables). Le null est un test de permutation (brouillage de \(\sigma\), 200 tirages, seuil p95).

Le verdict ternaire (jamais « promising ») : - CONFIRMED-NEGATIVE : \(\sigma\) n’a aucun pouvoir predictif propre -> le Pont #1 est un vrai negatif general. - SUBSTRATE-ARTIFACT : \(\sigma\) regagne un pouvoir propre -> le verdict fronce etait un artefact de couplage. - INCONCLUSIVE : decouplage insuffisant ou signal inverse marque.

# Verdict principal, multi-seed (la recuperation stochastique est aleatoire :
# le seed traverse le calcul -> mesure de robustesse reelle, c.1014-L).
rows = []
for s in [0, 1, 7, 42]:
    v = bf.pont1bis_verdict(seed=s, n_shuffle=200)
    rows.append(v)
    line = (f"seed={s:2d} | decouplage rho(sw)={v['rho_sigma_width']:+.3f} "
            f"| brut rho(sr)={v['rho_sigma_recovery']:+.3f} rho(wr)={v['rho_width_recovery']:+.3f} "
            f"rho(br)={v['rho_barrier_recovery']:+.3f} "
            f"| partial 1-cov(w)={v['partial_rho_given_width']:+.3f}  "
            f"2-cov(w,b)={v['partial_rho_given_width_barrier']:+.3f} "
            f"[null p95={v['partial_2cov_null_p95']:.3f}] -> {v['verdict']}")
    print(line)
verdicts = [r['verdict'] for r in rows]
print(f"\nVerdict dominant : {max(set(verdicts), key=verdicts.count)} "
      f"({verdicts.count('CONFIRMED-NEGATIVE')}/{len(verdicts)} seeds CONFIRMED-NEGATIVE)")

seed= 0 | decouplage rho(sw)=+0.000 | brut rho(sr)=+0.112 rho(wr)=+0.548 rho(br)=+0.519 | partial 1-cov(w)=+0.134  2-cov(w,b)=+0.173 [null p95=0.324] -> CONFIRMED-NEGATIVE
seed= 1 | decouplage rho(sw)=+0.000 | brut rho(sr)=+0.312 rho(wr)=+0.659 rho(br)=+0.718 | partial 1-cov(w)=+0.415  2-cov(w,b)=+0.170 [null p95=0.385] -> CONFIRMED-NEGATIVE
seed= 7 | decouplage rho(sw)=+0.000 | brut rho(sr)=+0.331 rho(wr)=+0.396 rho(br)=+0.497 | partial 1-cov(w)=+0.360  2-cov(w,b)=+0.128 [null p95=0.360] -> CONFIRMED-NEGATIVE
seed=42 | decouplage rho(sw)=+0.000 | brut rho(sr)=+0.295 rho(wr)=+0.575 rho(br)=+0.637 | partial 1-cov(w)=+0.360  2-cov(w,b)=+0.136 [null p95=0.372] -> CONFIRMED-NEGATIVE

Verdict dominant : CONFIRMED-NEGATIVE (4/4 seeds CONFIRMED-NEGATIVE)

Interpretation

Sur les 4 graines, la correlation partielle a 2 covariables partial_rho_given_width_barrier reste proche de zero et sous le null p95 : meme apres avoir decouple \(\sigma\) de la largeur et purge la barriere co-variante, \(\sigma\) n’apporte aucun pouvoir predictif propre sur la recuperabilite. Le verdict est CONFIRMED-NEGATIVE.

Conclusion : la falsification du Pont #1 sur la fronce n’etait pas un artefact de couplage. C’est un vrai negatif general — la courbure locale \(\sigma\) est un proxy correle de la geometrie du bassin (largeur/barriere), non la cause de la recuperabilite. C’est le point methodologique de #8077 : un pont falsifie est aussi informatif qu’un pont confirme.

Note honnete : la 1-covariable (largeur seule) laisse fuir de la barriere et donne une partielle legerement positive — c’est precisement le piege que la 2-covariables resout. Comparer les deux colonnes dans le tableau ci-dessus.

Exercice 2 (domaine de bruit). Le verdict depend-il du regime de bruit ? Pour noise dans [0.15, 0.3, 0.5, 0.7], executez pont1bis_verdict et tracez partial_rho_given_width_barrier contre noise. Documentez le domaine ou le verdict reste CONFIRMED-NEGATIVE et celui ou il devient INCONCLUSIVE (bruit trop faible = recuperation saturee a 1, variance nulle).

# Exercice 2 -- a completer.
def phase_diagram_noise(noises):
    """Renvoie la liste des (noise, partial_2cov, verdict) pour chaque regime.
    Indice : pour bruit faible, recovery sature (variance nulle -> partielle 0
    par defaut _pearson). Identifier le domaine falsifiable (variance reelle).
    """
    results = []
    # TODO etudiant : boucler sur noises, appeler pont1bis_verdict, collecter.
    return results

# noises = [0.15, 0.3, 0.5, 0.7]
# res = phase_diagram_noise(noises)
# for noise, partial, verdict in res:
#     print(f'noise={noise}: partial={partial:+.3f} -> {verdict}')
print('Exercice a completer')

Exercice a completer

5. Controle nul : la sous-famille re-couplee reproduit la fronce

Discipline du null model (#9531) : si le protocole est sain, une sous-famille ou \(\sigma\) et \(w\) re-derivent ensemble (\(a\) fixe, \(b\) varie) doit reproduire le motif fronce — couplage eleve ET partielle a 1 covariable \(\approx 0\). Si ce controle echouait, le decouplage de la famille principale serait suspect.

n_null = bf.recoupled_null(seed=0, n_shuffle=200)
print("Controle nul re-couple (a fixe, b varie) :")
print(f"  rho(sigma, width)        = {n_null['rho_sigma_width']:+.3f}  (re-couple : > 0.6)")
print(f"  rho(width, recovery)    = {n_null['rho_width_recovery']:+.3f}")
print(f"  partial(sigma | width)  = {n_null['partial_rho_given_width']:+.3f}  (fronce : |.| < 0.3)")
print(f"  reproduit motif fronce  = {n_null['reproduces_fronce_pattern']}")
v_main = bf.pont1bis_verdict(seed=0, n_shuffle=200)
print(f"\nContraste famille decouplee : rho(sigma,width) = {v_main['rho_sigma_width']:+.3f} (decouple)")

Controle nul re-couple (a fixe, b varie) :
  rho(sigma, width)        = +1.000  (re-couple : > 0.6)
  rho(width, recovery)    = +0.714
  partial(sigma | width)  = +0.000  (fronce : |.| < 0.3)
  reproduit motif fronce  = True

Contraste famille decouplee : rho(sigma,width) = +0.000 (decouple)

Lecture du controle nul, chiffre par chiffre. Dans la sous-famille re-couplee (\(a\) fixe, \(b\) varie) : \(\rho(\sigma, w) = +1{,}000\) – le re-couplage est total (la fronce originelle liait courbure et largeur, on la reconstruit a dessein) ; \(\rho(w, r) = +0{,}714\) – la largeur seule explique les deux tiers de la variance de recuperation ; et \(\rho(\sigma \mid w) = +0{,}000\) : une fois la largeur purgee, la courbure n’apporte rien, et le detecteur de motif confirme la reproduction de la fronce (True). Mis en regard de la ligne de contraste ci-dessus (famille decouplee : \(\rho(\sigma, w) = +0{,}000\)), le tableau est complet : en regime couple, le pouvoir propre de \(\sigma\) est exactement nul (\(+0{,}000\)) ; en regime decouple, la correlation partielle a 2 covariables de la section 4 reste sous le null p95 sur les 4 graines (\(0{,}128\) a \(0{,}173\) contre \(0{,}324\) a \(0{,}385\)) – deux regimes de couplage opposes, meme absence de pouvoir propre. La falsification du Pont #1 ne depend pas du couplage : c’est bien un negatif general.

Exercice 3 (suffisance du controle a 2 covariables). Le verdict controle (largeur, barriere). Une 3e quantite geometrique — la profondeur du puits \(|V(x^*)|\) normalisee — pourrait-elle restaurer un pouvoir propre a \(\sigma\) ? Ajoutez-la comme 3e covariable dans partial_spearman (qui accepte un nombre quelconque de covariables via FWL) et executez. Que conclure sur la suffisance du controle a 2 covariables ?

# Exercice 3 -- a completer.
# Indice : la profondeur du puits vaut |V(x*)| = b^2/(4a) = barrier (meme formule !).
# Question : profondeur et barriere sont-elles ici la MEME quantite ? Si oui,
# ajouter la profondeur comme 3e covariable change-t-elle quelque chose ?
# Ecrire un court raisonnement (en commentaire) puis une verification numerique.
print('Exercice a completer -- reflexion sur la redondance des covariables')

Exercice a completer -- reflexion sur la redondance des covariables

Conclusion

Le Pont #1-bis tranche : sur une famille de substrats ou la courbure \(\sigma\) et la largeur de bassin varient independamment par construction, et apres purge de la barriere co-variante, \(\sigma\) n’a aucun pouvoir predictif propre sur la recuperabilite. La falsification du Pont #1 acquise sur la fronce est donc un vrai negatif general, non un artefact de couplage.

Leçon methodologique (Epic #8077) : 1. Un substrat unique ne tranche pas la generalite : la fronce couplait \(\sigma\) et largeur ; il fallait une famille decouplee pour decider. 2. La rigueur statistique doit suivre la geometrie : la barriere co-varie avec le produit des cadrans, donc controler la largeur seul laisse fuir un confondant. La correlation partielle a 2 covariables (FWL) est l’outil decisif. 3. Une mesure doit etre non triviale : la recuperation deterministe est degeneree (geometrique) ; le verdict falsifiable exige la dynamique stochastique.

Suite (chantiers 2/3 et 3/3 de #9531) : generaliser a d’autres formes de substrats (puits asymetriques, paysages 2D) pour eprouver encore la generalite du negatif.

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