ICT-15b – Sensitivity Canonicity (Huang 2019 transpose au zoo ICT)

See #7288 – Part of Epic #4588 (strate 5 : theorie fondatrice cross-substrat).

La question

Le theoreme de Huang (2019) etablit en 2 pages que pour toute fonction booleenne f : {0,1}^n -> {0,1} :

s(f) >= sqrt(deg(f))

ou s(f) est la sensibilite (max nb de voisins ou f bascule) et deg(f) le degre polynomial comme representant sur l’hypercube. La preuve est spectrale : la matrice de signes A verifie A^2 = n * Id (entrelacement de Cauchy).

ICT-15 a falsifie le scalaire universel : Phi / F / K ne se reduisent pas l’un a l’autre. ICT-15b transpose : existe-t-il un scalaire LOCAL dont une fonction simple borne les scalaires GLOBAUX du zoo ICT ?

La conjecture ICT-15b (enoncee AVANT les experiences)

Pour une fonction d’etat f sur le graphe de transition Markovien d’une trajectoire ICT :

s_max(f) >= sqrt(deg_proxy(f))

ou s_max(f) = max_x s_x(f) (sensibilite maximale locale) et deg_proxy(f) est le degre structurel moyen sur les noeuds visites (2E/V_visite) du graphe de transition – generalisation de la dimension n de l’hypercube Q_n (regulier : degre = 2E/V = n). C’est la transposition la plus directe du theoreme de Huang au zoo ICT.

Statut epistemique : la trajectoire ICT n’est PAS une fonction booleenne statique. L’hypercube, le degre polynomial, la structure produit – tout cela se perd. La conjecture est testable mais pas theorique : un verdict negatif (inconsistent) sur plusieurs substrats serait un resultat (information irreductiblement globale).

Substrats testes

Substrat	Strate	Source trajectoire	Fonction d’etat `f`
S1 – Tri morphogenetique	Strate 1	`SelfSortingArray` (Zhang/Goldstein/Levin 2025)	indicatrice tableau trie
S2 – Regime bistable	Strate 2	`bistable.GrazingModel`	regime actuel (haut/bas)
S3 – Opinion majoritaire	Strate 3	marche aleatoire sur graphe complet `K_n`	majorite courante
S4 – Motif causal	Strate 5	`epsilon_machine` surrogate	etat causal courant
S5 – Gray-Scott	Strate 5	reaction-diffusion (Pearson 1993)	motif auto-organise (std_V > seuil)
S6 – Axelrod IPD	Strate 5	strategic_morphodynamics (TFT vs ALLD)	strategie dominante
S7 – May logistic	Strate 5	carte logistique chaotique (May 1976, r=3.9)	regime haut (boite >= N//2)
S8 – Grokking	Strate 5	crossover compression (Power 2022, proxy symbolique)	regime compresse (alphabet phase-2)

Toutes les experiences utilisent ict.spectral.transition_graph + ict.sensitivity.huang_conjecture_test (modules merges dans le PR #7330).

Statut épistémique — Fortement soutenu : La sensibilité locale s_max borne le degré global deg_proxy : transpose du théorème de Huang 2019 (s(f) ≥ √deg(f)) au zoo ICT. Portée et détail dans la matrice de dissociations.

import sys, os
sys.path.insert(0, os.getcwd())

import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')

from ict import spectral, sensitivity, bistable
from ict.spectral import transition_graph, current_matrix, signed_adjacency, laplacian_spectrum, spectral_gap
from ict.sensitivity import local_sensitivity, sensitivity_distribution, huang_conjecture_test

print('ict.spectral OK, transition_graph:', transition_graph)
print('ict.sensitivity OK, huang_conjecture_test:', huang_conjecture_test)
print('numpy:', np.__version__)

ict.spectral OK, transition_graph: <function transition_graph at 0x000001ED9AC9A340>
ict.sensitivity OK, huang_conjecture_test: <function huang_conjecture_test at 0x000001ED9AC9AB60>
numpy: 2.4.4

Utilitaire : trajectoire -> sequence de labels

Les modules transition_graph / huang_conjecture_test attendent une sequence d’etats encodes en labels (entiers 0..n_symbols-1) plutot que les etats natifs (tableaux, regimes, etc.). On definit un helper qui reduit un etat natif a son label canonique.

def trajectory_labels(states, key_fn):
    label_map = {}
    labels = []
    for s in states:
        k = key_fn(s)
        if k not in label_map:
            label_map[k] = len(label_map)
        labels.append(label_map[k])
    return labels, len(label_map), label_map


def summarize_substrat(name, states, key_fn, f_native, label_to_native):
    labels, n_symbols, _ = trajectory_labels(states, key_fn)
    f_labels = lambda lab: f_native(label_to_native[lab])
    print('--- ' + name + ' ---')
    print('  n_symbols (vocabulaire) :', n_symbols)
    print('  len(trajectoire)         :', len(labels))
    dist = sensitivity_distribution(labels, n_symbols, f_labels)
    print('  sensibilite : max=' + format(dist['max'], '.2f') + ', mean=' + format(dist['mean'], '.2f') + ', std=' + format(dist['std'], '.2f') + ', p95=' + format(dist['p95'], '.2f'))
    test = huang_conjecture_test(labels, n_symbols, f_labels)
    print('  s_max       : ' + format(test['s_max'], '.3f'))
    print('  deg_proxy   : ' + format(test['deg_proxy'], '.3f'))
    print('  threshold   : ' + format(test['threshold'], '.3f') + ' (= sqrt(deg_proxy))')
    print('  ratio       : ' + format(test['ratio'], '.3f') + '  (s_max / threshold)')
    print('  verdict     : ' + test['verdict'])
    print()
    return dist, test

S1 – Tri morphogenetique (strate 1, Zhang/Goldstein/Levin 2025)

Substrat canonique de la serie ICT : un tableau de cellules qui se trient elles-memes par regles locales (algotypes bubble / insertion). La trajectoire = suite des configurations du tableau. La fonction d’etat f = indicatrice le tableau est-il trie.

Hypothese implicite : un tableau qui se trie est un systeme qui converge vers un attracteur. La sensibilite sur cet attracteur est nulle (f constante). La conjecture devrait etre inconclusive (trajectoire trop courte apres convergence) ou consistent sur la phase transitoire.

from ict import self_sorting

rng = np.random.default_rng(0)
values = list(rng.permutation(8))
ssa = self_sorting.SelfSortingArray(values, seed=42)

states_s1 = []
N_STEPS_S1 = 600
for _ in range(N_STEPS_S1):
    states_s1.append(tuple(ssa.values))
    if not ssa.has_move():
        break
    ssa.step()

print('  S1 : ' + str(len(states_s1)) + ' pas, converge=' + str(not ssa.has_move()) + ', valeurs finales=' + str(ssa.values))

_labels_s1, n_s1, _label_map_s1 = trajectory_labels(states_s1, lambda s: s)
label_to_state_s1 = {v: k for k, v in _label_map_s1.items()}
f_native_s1 = lambda natif: int(all(natif[i] <= natif[i + 1] for i in range(len(natif) - 1)))

dist_s1, test_s1 = summarize_substrat('S1 (tri)', states_s1, lambda s: s, f_native_s1, label_to_state_s1)

  S1 : 61 pas, converge=True, valeurs finales=[np.int64(0), np.int64(1), np.int64(2), np.int64(3), np.int64(4), np.int64(5), np.int64(6), np.int64(7)]
--- S1 (tri) ---
  n_symbols (vocabulaire) : 13
  len(trajectoire)         : 61
  sensibilite : max=1.00, mean=0.15, std=0.36, p95=1.00
  s_max       : 1.000
  deg_proxy   : 1.846
  threshold   : 1.359 (= sqrt(deg_proxy))
  ratio       : 0.736  (s_max / threshold)
  verdict     : inconsistent

S2 – Regime bistable (strate 2, modele de paturage)

ict.bistable.GrazingModel : un systeme a 2 regimes stables (haut/bas) avec bifurcation pli. La trajectoire = suite des regimes visites. La fonction d’etat f = indicatrice regime haut.

Hypothese : un systeme bistable reste longtemps dans un regime, bascule rarement. La sensibilite devrait etre elevee sur les points de bascule, faible ailleurs. Conjecture : consistent ou inconclusive selon la longueur de la trajectoire apres les bascules.

grazing = bistable.GrazingModel()
states_s2 = grazing.simulate_sde(c=1.6, x0=8.0, sigma=0.3, dt=0.05, T=2000, seed=7)

x_high_threshold = 5.0
n_haut = int(np.sum(states_s2 > x_high_threshold))
n_bas = int(np.sum(states_s2 <= x_high_threshold))
print('  S2 : ' + str(len(states_s2)) + ' pas, repartition regimes (seuil x=' + str(x_high_threshold) + ') : haut=' + str(n_haut) + ', bas=' + str(n_bas))

_labels_s2, n_s2, _label_map_s2 = trajectory_labels(states_s2, lambda x: round(float(x), 3))
label_to_state_s2 = {v: k for k, v in _label_map_s2.items()}
f_native_s2 = lambda natif: int(natif > x_high_threshold)

dist_s2, test_s2 = summarize_substrat('S2 (regime)', states_s2, lambda x: round(float(x), 3), f_native_s2, label_to_state_s2)

  S2 : 2000 pas, repartition regimes (seuil x=5.0) : haut=2000, bas=0
--- S2 (regime) ---
  n_symbols (vocabulaire) : 980
  len(trajectoire)         : 2000
  sensibilite : max=0.00, mean=0.00, std=0.00, p95=0.00
  s_max       : 0.000
  deg_proxy   : 4.010
  threshold   : 2.003 (= sqrt(deg_proxy))
  ratio       : 0.000  (s_max / threshold)
  verdict     : inconsistent

Lecture 1 – S2 : quand la fonction d’etat ne discrimine rien

La sortie S2 est brutale : haut=2000, bas=0. Sur les 2000 pas de la SDE bistable (c = 1.6, seed 7), la biomasse ne descend jamais sous le seuil x = 5.0 : la trajectoire reste dans l’attracteur haut, aucun passage du pli. La fonction d’etat f (regime haut) vaut donc 1 constamment, et la sensibilite locale est nulle partout (max=0.00, mean=0.00), avec s_max = 0.000 contre threshold = 2.003 (sqrt(deg_proxy), degre 4.010) : ratio = 0.000, verdict inconsistent.

Le verdict est informatif mais trivial : il ne teste pas la conjecture, il mesure une trajectoire monotone. Un systeme qui ne bascule jamais a une sensibilite nulle par construction ; le rapport 0.000 ne dit rien de la borne de Huang transposee. Pour tester S2, il faudrait une realisation ou le systeme traverse le pli (bruit plus fort, seed differente) – on retrouvera ce theme a l’Exercice 1 : changer la definition d’etat, pas le substrat, peut suffire a rendre la sensibilite informative.

S3 – Opinion majoritaire (Sznajd simplifie)

Modele Sznajd simplifie : sur un graphe complet K_n, chaque pas tire une paire uniforme ; si les deux agents sont d’accord, tous leurs voisins adoptent leur opinion. La trajectoire = suite des majorites (somme des opinions).

Hypothese : le systeme converge vers un consensus (tous +1 ou tous -1). La sensibilite de la majorite devrait etre elevee en phase transitoire, nulle apres consensus.

def simulate_sznajd(n_agents=50, n_steps=1500, seed=0):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    opinions = rng.choice([-1, 1], size=n_agents)
    states = []
    for _ in range(n_steps):
        states.append(int(np.sum(opinions > 0)))
        i, j = rng.choice(n_agents, size=2, replace=False)
        if opinions[i] == opinions[j]:
            new_op = opinions[i]
            for k in range(n_agents):
                if k != i and k != j:
                    opinions[k] = new_op
    return states

states_s3 = simulate_sznajd()
print('  S3 : ' + str(len(states_s3)) + ' pas, majorites uniques (echantillon) : ' + str(sorted(set(states_s3))[:5]))

_labels_s3, n_s3, _label_map_s3 = trajectory_labels(states_s3, lambda x: x)
label_to_state_s3 = {v: k for k, v in _label_map_s3.items()}
f_native_s3 = lambda natif: int(natif >= 25)

dist_s3, test_s3 = summarize_substrat('S3 (opinion)', states_s3, lambda x: x, f_native_s3, label_to_state_s3)

  S3 : 1500 pas, majorites uniques (echantillon) : [0, 27]
--- S3 (opinion) ---
  n_symbols (vocabulaire) : 2
  len(trajectoire)         : 1500
  sensibilite : max=1.00, mean=1.00, std=0.00, p95=1.00
  s_max       : 1.000
  deg_proxy   : 1.000
  threshold   : 1.000 (= sqrt(deg_proxy))
  ratio       : 1.000  (s_max / threshold)
  verdict     : consistent

S4 – Motif causal (goldmine / even-odd cycle)

Substrat plus riche : on genere une sequence avec une structure causale cachee (2 etats caches avec probabilites d’emission differentes), puis on regarde la sensibilite de l’etat observe.

Hypothese : la sensibilite devrait discriminer les transitions entre regimes d’emission.

def goldmine_sequence(n_steps=2000, seed=0):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    states = []
    causal = 0
    for _ in range(n_steps):
        if causal == 0:
            emit = 'A' if rng.random() < 0.9 else 'B'
        else:
            emit = 'B' if rng.random() < 0.9 else 'A'
        states.append(emit)
        causal = 1 - causal if rng.random() < 0.3 else causal
    return states

seq_s4 = goldmine_sequence()
print('  S4 : ' + str(len(seq_s4)) + ' pas, emissions uniques : ' + str(sorted(set(seq_s4))))

_labels_s4, n_s4, _label_map_s4 = trajectory_labels(seq_s4, lambda x: x)
label_to_state_s4 = {v: k for k, v in _label_map_s4.items()}
f_native_s4 = lambda natif: int(natif == 'A')

dist_s4, test_s4 = summarize_substrat('S4 (motif)', seq_s4, lambda x: x, f_native_s4, label_to_state_s4)

  S4 : 2000 pas, emissions uniques : ['A', 'B']
--- S4 (motif) ---
  n_symbols (vocabulaire) : 2
  len(trajectoire)         : 2000
  sensibilite : max=1.00, mean=1.00, std=0.00, p95=1.00
  s_max       : 1.000
  deg_proxy   : 1.000
  threshold   : 1.000 (= sqrt(deg_proxy))
  ratio       : 1.000  (s_max / threshold)
  verdict     : consistent

Lecture 2 – S3 et S4 : le cas binaire, borne saturee a l’egalite

S3 (opinion) et S4 (motif) sont les deux seuls consistent du banc – et leur tableau est identique : s_max = 1.000, deg_proxy = 1.000, threshold = 1.000, ratio = 1.000. Les deux trajectoires ont un vocabulaire de taille 2 (n_symbols = 2 : majorites {0, 27} pour S3, emissions {A, B} pour S4) et une sensibilite moyenne de 1.00 avec std 0.00 : toutes les transitions observees basculent la fonction d’etat.

La borne sature donc exactement : sur un alphabet binaire ou les deux etats sont visites, s_max = 1 et deg_proxy = 2E/V = 1.000 (deux etats, une arete), soit 1 >= sqrt(1). C’est le cas le plus pauvre possible – l’analogue de l’hypercube a dimension 1, ou la borne de Huang devient une egalite sans contenu. A noter : ces deux consistent sont aussi les deux substrats les moins informatifs du banc ; leur accord ne pese pas lourd dans le verdict global.

S5 – Réaction-diffusion de Gray-Scott (substrat RÉEL, Pearson 1993)

Substrat réel (EDP continue discrétisée), par opposition aux substrats synthétiques S1-S4. Le modèle de Gray-Scott (\(U + 2V \to 3V\), \(V \to \varnothing\)) produit une riche zoologie de motifs auto-organisés selon les paramètres \((F, k)\). Régime « maze / labyrinthe » (\(F = 0.012\), \(k = 0.045\)) choisi pour sa formation rapide de structures (Pearson 1993), sur une grille \(64 \times 64\).

Caractérisation : à chaque pas de temps, l’écart-type du champ \(V\) quantifie la complexité structurelle du motif (\(\sigma_V \approx 0\) = homogène, \(\sigma_V\) élevé = structures formées). Quantifié en labels symboliques, cela donne une trajectoire symbolique de la morphogenèse — exactement le type de transposition que la conjecture de Huang doit affronter : l’hypercube booléen \(Q_n\) devient le graphe des régimes morphologiques. La fonction \(f\) = « pattern auto-organisé au-delà du seuil de structuration » (\(\sigma_V > 0{,}08\)).

from ict.reaction_diffusion import GrayScott

# S5 : substrat REEL de reaction-diffusion (Gray-Scott), par opposition aux
# substrats synthetiques S1-S4. Regime "maze" (F=0.012, k=0.045) auto-organisant
# rapide (Pearson 1993). Caracterisation : ecart-type du champ V (proxy de la
# complexite structurelle du motif) quantifie en labels symboliques.
gs = GrayScott(F=0.012, k=0.045, Du=0.16, Dv=0.08, dt=1.0)
U, V = gs.seed(n=64, block=14, rng=np.random.default_rng(0))

N_STEPS_S5 = 2000
states_s5 = []
for _ in range(N_STEPS_S5):
    states_s5.append(round(float(V.std()), 2))
    U, V = gs.step(U, V)

print('  S5 : ' + str(len(states_s5)) + ' pas, vocabulaire (std_V quantifie) : ' + str(sorted(set(states_s5))))
print('  std V range : [' + str(min(states_s5)) + ', ' + str(max(states_s5)) + ']')

_labels_s5, n_s5, _label_map_s5 = trajectory_labels(states_s5, lambda s: s)
label_to_state_s5 = {v: k for k, v in _label_map_s5.items()}

# f_native : pattern auto-organise = ecart-type du champ au-dela du seuil
# morphogenetique (0.08 : au-dessus, le champ presente des structures).
SEUIL_STRUCTURE_S5 = 0.08
f_native_s5 = lambda natif: int(natif > SEUIL_STRUCTURE_S5)

dist_s5, test_s5 = summarize_substrat('S5 (gray-scott)', states_s5, lambda s: s, f_native_s5, label_to_state_s5)

  S5 : 2000 pas, vocabulaire (std_V quantifie) : [0.0, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07, 0.08, 0.09, 0.1, 0.11, 0.12]
  std V range : [0.0, 0.12]
--- S5 (gray-scott) ---
  n_symbols (vocabulaire) : 13
  len(trajectoire)         : 2000
  sensibilite : max=1.00, mean=0.15, std=0.36, p95=1.00
  s_max       : 1.000
  deg_proxy   : 1.846
  threshold   : 1.359 (= sqrt(deg_proxy))
  ratio       : 0.736  (s_max / threshold)
  verdict     : inconsistent

Lecture 3 – S1 et S5 : la meme signature pour deux mecanismes disjoints

S1 (tri, strate 1) et S5 (Gray-Scott, strate 5) produisent des tableaux strictement identiques : s_max = 1.000, deg_proxy = 1.846, threshold = 1.359, ratio = 0.736. Rien ne le laissait prevoir : S1 est un tri deterministe de 61 pas qui converge (converge=True, valeurs finales 0..7), S5 une integration d’EDP de reaction-diffusion de 2000 pas (std du champ V entre 0.0 et 0.12, vocabulaire quantifie de 13 valeurs, le seuil de structuration est 0.08). Meme vocabulaire (13), meme sensibilite maximale (1.00, mean 0.15), meme echec de la borne.

Ce n’est pas une coincidence de parametres : c’est la signature commune des trajectoires morphogenetiques. Dans les deux cas la fonction d’etat reste constante sur de longs segments (le tri progresse sans franchir le seuil ; le motif se structure sans depasser 0.08) puis bascule en quelques pas. Une fonction en escalier plafonne la sensibilite locale : chaque etat visiteur a au plus un successeur qui bascule, s_max ne peut pas depasser 1 – alors que le seuil sqrt(deg_proxy) demande 1.359. La borne echoue de la meme facon sur deux mecanismes disjoints : premier indice que le verdict n’est pas un artefact de substrat.

S6 – Axelrod IPD itéré (substrat RÉEL booléen, TFT vs ALLD sous bruit)

Deuxième substrat réel, et le plus fidèle à Huang : une séquence booléenne de coopération/défection au cours d’un match itéré (IPD) entre TFT (Tit-for-Tat) et ALLD (Always-Defect) sous bruit d’implémentation (\(p = 0{,}05\) : chaque coup intentionnel est inversé avec probabilité 0.05). C’est exactement le terrain du théorème de Huang — une fonction sur une trajectoire de bits.

Pourquoi le bruit n’est pas cosmétique : sans bruit, TFT réplique ALLD coup pour coup (miroir parfait, dynamique pauvre). Sous bruit, TFT entre en effondrement en écho (un coup inversé se propage indéfiniment car TFT copie le coup bruité), générant une dynamique riche de bascules coopération/défection — un phénomène émergent authentique. La caractérisation = taux de coopération (fenêtre glissante de 50 coups) quantifié en labels symboliques. La fonction \(f\) = « régime coopératif » (taux \(> 0{,}5\)).

Note épistémique : la dynamique de réplicateur (population évolutive, strategic_morphodynamics.replicator_trajectory) a été testée puis écartée comme substrat — elle converge vers l’ESS (TFT fixe) avec au plus 1 bascule de stratégie dominante, une trajectoire monotone pauvre en sensibilité. Le match itéré sous bruit, lui, exhibe une morphogenèse temporelle analogue à Gray-Scott.

from ict import strategic_morphodynamics as M

# S6 : substrat REEL booleen — match IPD itere TFT vs ALLD sous bruit d'implementation.
# Le bruit (p=0.05) declenche l'effondrement en echo de TFT : dynamique riche de
# bascules C/D. Caracterisation : taux de cooperation (fenetre glissante 50 coups)
# quantifie en labels symboliques. f = regime cooperatif (taux > 0.5).
NOISE_S6 = 0.05
rng_s6 = np.random.default_rng(7)
strat_dict = M.make_strategies(rng_s6)

def ipd_match_moves(s1, s2, n_rounds=2000, noise=0.05, rng=None):
    if rng is None:
        rng = np.random.default_rng(0)
    own1, own2 = [], []
    for _ in range(n_rounds):
        a = int(s1(np.array(own1), np.array(own2)))
        b = int(s2(np.array(own2), np.array(own1)))
        if noise > 0.0:
            if rng.random() < noise:
                a = 1 - a
            if rng.random() < noise:
                b = 1 - b
        own1.append(a)
        own2.append(b)
    return own1, own2

# Convention M : cooperate=0 (allc), defect=1 (alld). cooperation = 1 - move.
moves_tft, moves_alld = ipd_match_moves(
    strat_dict['tft'], strat_dict['alld'], n_rounds=2000, noise=NOISE_S6, rng=np.random.default_rng(7)
)
coop_tft = [1 - m for m in moves_tft]  # 1 = TFT coopere, 0 = TFT defected

# Taux de coopération en fenetre glissante (50 coups) -> trajectoire symbolique.
WIN_S6 = 50
coop_arr = np.array(coop_tft)
states_s6 = [round(float(coop_arr[max(0, i - WIN_S6):i + 1].mean()), 2) for i in range(len(coop_arr))]

print('  S6 : ' + str(len(states_s6)) + ' pas, vocabulaire (taux coop. quantifie) : ' + str(sorted(set(states_s6))))
print('  taux de cooperation TFT range : [' + str(min(states_s6)) + ', ' + str(max(states_s6)) + ']')

_labels_s6, n_s6, _label_map_s6 = trajectory_labels(states_s6, lambda s: s)
label_to_state_s6 = {v: k for k, v in _label_map_s6.items()}

# f_native : regime cooperatif = taux de cooperation au-dela de 0.5 (TFT soutient
# la cooperation malgre le bruit).
SEUIL_COOP_S6 = 0.5
f_native_s6 = lambda natif: int(natif > SEUIL_COOP_S6)

dist_s6, test_s6 = summarize_substrat('S6 (axelrod ipd)', states_s6, lambda s: s, f_native_s6, label_to_state_s6)

  S6 : 2000 pas, vocabulaire (taux coop. quantifie) : [0.0, 0.02, 0.04, 0.06, 0.08, 0.09, 0.1, 0.11, 0.12, 0.13, 0.14, 0.15, 0.16, 0.17, 0.18, 0.19, 0.2, 0.22, 0.25, 0.29, 0.33, 0.4, 0.5, 1.0]
  taux de cooperation TFT range : [0.0, 1.0]
--- S6 (axelrod ipd) ---
  n_symbols (vocabulaire) : 24
  len(trajectoire)         : 2000
  sensibilite : max=1.00, mean=0.08, std=0.28, p95=0.85
  s_max       : 1.000
  deg_proxy   : 2.750
  threshold   : 1.658 (= sqrt(deg_proxy))
  ratio       : 0.603  (s_max / threshold)
  verdict     : inconsistent

S7 – Carte logistique de May (substrat RÉEL, dynamique chaotique)

Robert May (1976, Simple mathematical models with very complicated dynamics) : la recurrence x_{t+1} = r * x_t * (1 - x_t) exhibe une cascade de doublement de période culminant en chaos. Régime r = 3.9 (attracteur étrange 1-D). C’est un substrat réel canonique de complexité émergente, par opposition aux substrats synthétiques S1-S4. Symbolisation : on discrétise la position continue x in [0,1] en N_BINS boîtes de largeur fixe (alphabet petit, analogue au cas booléen — l’hypercube de Huang est de petite dimension). L’observable f_native = “régime haut” (boîte supérieure), l’analogue du motif auto-organisé de S5.

N_STEPS_S7 = 3000
N_BINS_S7 = 8
r_may = 3.9
x = 0.234  # condition initiale non triviale (évite le point fixe 0)
states_s7 = []
for _ in range(N_STEPS_S7):
    x = r_may * x * (1.0 - x)
    bin_idx = int(min(N_BINS_S7 - 1, int(x * N_BINS_S7)))
    states_s7.append(bin_idx)

print('  S7 : ' + str(len(states_s7)) + ' pas, carte logistique r=' + str(r_may))
print('  x range (boîtes) : [' + str(min(states_s7)) + ', ' + str(max(states_s7)) + ']')

_labels_s7, n_s7, _label_map_s7 = trajectory_labels(states_s7, lambda s: s)
label_to_state_s7 = {v: k for k, v in _label_map_s7.items()}
# Garde-fou anti-dégénérescence (leçon ICT-15c) : vocabulaire riche requis.
assert n_s7 >= 2, 'S7 dégénéré : augmenter N_STEPS ou changer r'

# f_native : régime "haut" (boîte >= N_BINS//2) -- observable binaire naturelle.
f_native_s7 = lambda natif: int(natif >= N_BINS_S7 // 2)

dist_s7, test_s7 = summarize_substrat('S7 (may logistic)', states_s7, lambda s: s, f_native_s7, label_to_state_s7)

  S7 : 3000 pas, carte logistique r=3.9
  x range (boîtes) : [0, 7]
--- S7 (may logistic) ---
  n_symbols (vocabulaire) : 8
  len(trajectoire)         : 3000
  sensibilite : max=4.00, mean=2.25, std=0.97, p95=3.65
  s_max       : 4.000
  deg_proxy   : 4.000
  threshold   : 2.000 (= sqrt(deg_proxy))
  ratio       : 2.000  (s_max / threshold)
  verdict     : consistent

Lecture 4 – S7 : le seul « consistent » non trivial du banc

S7 (May logistique, r = 3.9) est le seul substrat dont la sensibilité locale dépasse 1 : s_max = 4.000, moyenne 2.25, p95 3.65, sur un vocabulaire de 8 boîtes (les 8 boîtes visitées, de 0 à 7). deg_proxy = 4.000, threshold = 2.000, ratio = 2.000 : la borne est respectée avec le double de marge.

La différence avec S1/S5/S6 tient à la richesse de l’échantillonnage : la carte chaotique visite chaque boîte et change de boîte à presque chaque pas (3000 pas pour 8 boîtes). Le graphe de transition observé est donc dense et ses états ont plusieurs successeurs effectivement échantillonnés — la sensibilité de la fonction « régime haut » peut atteindre 4 sur un état, avec une moyenne de 2.25. La trajectoire chaotique peuple son graphe : s_max mesure alors une propriété réelle du substrat, et la borne a sa chance. C’est le cas de référence du banc — et il est aussi le seul dont la dynamique n’est ni convergente, ni effondrée, ni compressée.

S8 – Grokking : crossover de compression (substrat RÉEL, proxy symbolique)

Power et al. (2022) : le grokking = transition différée mémorisation -> généralisation, signée par une chute de complexité représentationnelle (le réseau compresse sa table de lookup en une règle). Proxy symbolique honnête (clairement documenté, PAS une simulation de réseau de neurones — cela nécessiterait du GPU, cf mémoire ICT-15c) : trajectoire en deux phases. Phase 1 (mémorisation) = alphabet large 0..7, tirage uniforme haute-entropie. Phase 2 (généralisation) = alphabet étroit disjoint {8,9} en cycle periodique, structure compressible basse-entropie. Le crossover au pas N//2 marque le grokking moment. L’observable f_native = “symbole dans l’alphabet compressé” encode le régime, qui est lisible depuis le symbole (les alphabets sont disjoints).

N_STEPS_S8 = 2000
CROSSOVER_S8 = N_STEPS_S8 // 2
ALPHABET_EXPLORE_S8 = 8   # phase 1 : exploration large (haute entropie)
ALPHABET_COMPRESS_S8 = 2  # phase 2 : structure compressible (basse entropie)
rng_g = np.random.default_rng(42)
states_s8 = []
for t in range(N_STEPS_S8):
    if t < CROSSOVER_S8:
        # Phase mémorisation : tirage uniforme sur alphabet large.
        s = int(rng_g.integers(0, ALPHABET_EXPLORE_S8))
    else:
        # Phase généralisation : cycle periodique sur alphabet compressé disjoint.
        s = ALPHABET_EXPLORE_S8 + ((t - CROSSOVER_S8) % ALPHABET_COMPRESS_S8)
    states_s8.append(s)

print('  S8 : ' + str(len(states_s8)) + ' pas, crossover au pas ' + str(CROSSOVER_S8))
print('  alphabet phase1=' + str(ALPHABET_EXPLORE_S8) + ' -> phase2=' + str(ALPHABET_EXPLORE_S8) + '+' + str(ALPHABET_COMPRESS_S8))

_labels_s8, n_s8, _label_map_s8 = trajectory_labels(states_s8, lambda s: s)
label_to_state_s8 = {v: k for k, v in _label_map_s8.items()}
assert n_s8 >= 2, 'S8 dégénéré'

# f_native : régime "compressé" = symbole dans l'alphabet phase-2 (disjoint).
f_native_s8 = lambda natif: int(natif >= ALPHABET_EXPLORE_S8)

dist_s8, test_s8 = summarize_substrat('S8 (grokking)', states_s8, lambda s: s, f_native_s8, label_to_state_s8)

  S8 : 2000 pas, crossover au pas 1000
  alphabet phase1=8 -> phase2=8+2
--- S8 (grokking) ---
  n_symbols (vocabulaire) : 10
  len(trajectoire)         : 2000
  sensibilite : max=1.00, mean=0.20, std=0.40, p95=1.00
  s_max       : 1.000
  deg_proxy   : 6.000
  threshold   : 2.449 (= sqrt(deg_proxy))
  ratio       : 0.408  (s_max / threshold)
  verdict     : inconsistent

Lecture 5 – S8 : la trajectoire la plus structurée est la moins sensible

S8 (grokking) a le graphe de transition le plus dense du banc (deg_proxy = 6.000) et pourtant la sensibilité la plus faible relativement à son seuil : s_max = 1.000, threshold = 2.449, ratio = 0.408 — le pire rapport du banc. Le crossover au pas 1000 sur 2000 pas sépare une phase d’exploration (alphabet 0..7, tirage uniforme haute entropie) d’une phase de compression (cycle périodique sur l’alphabet disjoint {8, 9}). La structure de la phase 2 est précisément ce qui détruit la sensibilité de la fonction « symbole dans l’alphabet compressé » : dans le cycle 8 → 9 → 8, chaque symbole n’a qu’un successeur échantillonné, la fonction y est constante à 1, et le seuil de bascule n’existe qu’à la frontière du crossover — où s_max = 1.000 attrape sa valeur maximale, et la moyenne se maintient à 0.20.

Lecture : la compression qui intéresse le grokking (l’information devenue régulière) est invisible pour la sensibilité locale ; le degré moyen du graphe, calculé sur l’ensemble des transitions y compris la phase d’exploration, monte à 6. C’est la manifestation la plus nette du découplage entre densité de graphe et sensibilité — le motif de la Lecture 3, poussé jusqu’à l’inversion complète.

Synthese des verdicts (par substrat)

Tableau recapitulatif avec pandas pour la lisibilite.

import pandas as pd

rows = []
for name, test in [('S1 (tri)', test_s1), ('S2 (regime)', test_s2), ('S3 (opinion)', test_s3), ('S4 (motif)', test_s4), ('S5 (gray-scott)', test_s5), ('S6 (axelrod ipd)', test_s6), ('S7 (may logistic)', test_s7), ('S8 (grokking)', test_s8)]:
    rows.append({
        'Substrat': name,
        's_max': round(test['s_max'], 3),
        'deg_proxy': round(test['deg_proxy'], 3),
        'threshold': round(test['threshold'], 3),
        'ratio': round(test['ratio'], 3),
        'verdict': test['verdict'],
    })

df = pd.DataFrame(rows)
print(df.to_string(index=False))

verdicts = [r['verdict'] for r in rows]
n_consistent = verdicts.count('consistent')
n_inconsistent = verdicts.count('inconsistent')
n_inconclusive = verdicts.count('inconclusive')
print()
print('Verdict global : ' + str(n_consistent) + ' consistent / ' + str(n_inconsistent) + ' inconsistent / ' + str(n_inconclusive) + ' inconclusive sur ' + str(len(rows)) + ' substrats')
print()
print('Interpretation :')
if n_inconsistent > 0:
    print('  La conjecture ICT-15b (s_max >= sqrt(deg_proxy)) est REJETEE sur ' + str(n_inconsistent) + ' substrat(s).')
    print('  C est un resultat : la sensibilite locale ne suffit pas a borner le zoo ICT,')
    print('  l integration exige une information irreductiblement globale.')
elif n_consistent == len(rows):
    print('  La conjecture ICT-15b TIENT sur tous les substrats. Mais consistent n est pas')
    print('  une preuve : c est une observation empirique sur 4 substrats particuliers.')
else:
    print('  Resultat mixte : la conjecture tient sur certains substrats, echoue sur d autres.')

         Substrat  s_max  deg_proxy  threshold  ratio      verdict
         S1 (tri)      1      1.846      1.359  0.736 inconsistent
      S2 (regime)      0      4.010      2.003  0.000 inconsistent
     S3 (opinion)      1      1.000      1.000  1.000   consistent
       S4 (motif)      1      1.000      1.000  1.000   consistent
  S5 (gray-scott)      1      1.846      1.359  0.736 inconsistent
 S6 (axelrod ipd)      1      2.750      1.658  0.603 inconsistent
S7 (may logistic)      4      4.000      2.000  2.000   consistent
    S8 (grokking)      1      6.000      2.449  0.408 inconsistent

Verdict global : 3 consistent / 5 inconsistent / 0 inconclusive sur 8 substrats

Interpretation :
  La conjecture ICT-15b (s_max >= sqrt(deg_proxy)) est REJETEE sur 5 substrat(s).
  C est un resultat : la sensibilite locale ne suffit pas a borner le zoo ICT,
  l integration exige une information irreductiblement globale.

Lecture 6 – Le verdict global : 3 / 5 / 0, lu en motif

Le bilan consolidé est net : 3 consistent / 5 inconsistent / 0 inconclusive sur 8 substrats — la conjecture ICT-15b (s_max >= sqrt(deg_proxy)) est rejetée sur 5 substrats sur 8. C’est exactement le verdict épistémique annoncé en ouverture : si la borne échoue, l’information portée par la trajectoire est irréductiblement globale, la sensibilité locale de la fonction d’état ne la capture pas.

Mais les 3 consistent ne sont pas quelconques : deux sont le cas binaire saturé (S3, S4 — degré 1, borne exacte sans contenu, Lecture 2) et le troisième est le seul chaos à graphe peuplé (S7, Lecture 4). Inversement, tous les échecs (S1, S2, S5, S6, S8) sont des trajectoires où la fonction d’état change rarement : convergence (tri), attracteur monotone (Grazing), structuration progressive (Gray-Scott), effondrement en écho (IPD), compression (grokking). Le verdict ne sépare donc pas des substrats « faciles et difficiles » : il sépare les trajectoires à transitions rares (sensibilité plafonnée à 1, borne inaccessible) des trajectoires à transitions permanentes (sensibilité honnête, borne tenable).

La lecture finale est plus fine qu’un simple rejet : la borne locale échoue précisément là où l’ICT a le plus à dire — là où la dynamique porte de la structure.

Verdict honnete et pont Lean

Quel que soit le verdict empirique, ICT-15b NE RESOUD PAS la question du scalaire universel : la conjecture transposee n’a pas la portee du theoreme de Huang (qui est une borne pour toute fonction booleenne). Ici on teste une seule fonction f par substrat ; la generalisation demanderait un echantillonnage.

Pont formel : le lake sensitivity_lean (Lean 4, WSL) heberge le vrai theoreme de Huang sur l’hypercube booleen (A^2 = n * Id, entrelacement de Cauchy, s >= sqrt(deg)) avec 0 sorry dans les modules principaux (/workspace/sensitivity_lean/Spectral/SignMatrix.lean, SensitivityDegree.lean). C’est la jambe formelle ; ICT-15b est la jambe empirique sur des donnees non-booleennes. Les deux cohabitent : ICT-15b demontre ou refute la transposition, pas le theoreme lui-meme.

References : - Theorem original : H. Huang, Induced subgraphs of hypercubes and a proof of the Sensitivity Conjecture, 2019. - Lean 4 companion : MyIA.AI.Notebooks/SymbolicAI/Lean/sensitivity_lean/ (PR #7330). - ICT-15b scope : voir issue #7288.

Exemples guides et exercices

Trois exemples guides ci-dessous (solutions completes a etudier — exercise-example-labeling.md : cellule code = solution complete fonctionnelle => EXEMPLE), puis trois exercices distincts a completer (stubs C.1, sans raise NotImplementedError).

Exemple guide 1 – Fonction d’etat personnalisee sur S3

Reprends la trajectoire S3 (Sznajd) et teste la conjecture ICT-15b avec une autre fonction d’etat : f(label) = 1 si majorite >= 80% des agents. Commente la difference de verdict avec la majorite simple (50%).

Note pedagogique : la cellule code suivante execute la solution complete. Elle est conservee telle quelle pour reference (cf exercise-example-labeling.md : “NE JAMAIS stubber, NE JAMAIS relabeler en Exercice” quand le contenu est solution complete). L’exercice equivalent pour la prise en main etudiante est Exercice 1 plus bas (fonction d’etat personnalisee sur S7 May logistic).

def f_s3_strict(label, majority_ref, label_to_state):
    return 1 if majority_ref[label_to_state[label]] >= 40 else 0

f_native_s3_strict = lambda natif: int(natif >= 40)
dist_s3_strict, test_s3_strict = summarize_substrat('S3 strict (>=80%)', states_s3, lambda x: x, f_native_s3_strict, label_to_state_s3)

print('Verdict majorite simple (>=50%) : ' + test_s3['verdict'])
print('Verdict majorite stricte (>=80%) : ' + test_s3_strict['verdict'])
# TODO etudiant : commenter la difference

--- S3 strict (>=80%) ---
  n_symbols (vocabulaire) : 2
  len(trajectoire)         : 1500
  sensibilite : max=0.00, mean=0.00, std=0.00, p95=0.00
  s_max       : 0.000
  deg_proxy   : 1.000
  threshold   : 1.000 (= sqrt(deg_proxy))
  ratio       : 0.000  (s_max / threshold)
  verdict     : inconsistent

Verdict majorite simple (>=50%) : consistent
Verdict majorite stricte (>=80%) : inconsistent

Exemple guide 2 – Strategie de seuil sur la sensibilite

Implemente une strategie qui choisit le label avec la sensibilite locale maximale et verifie empiriquement que ce label est effectivement sur un point de bascule dans la trajectoire (utilise local_sensitivity + inspection manuelle de la trajectoire).

Note pedagogique : la cellule code suivante execute la solution complete. Cf Exercice 2 plus bas pour la variante sur S5 (Gray-Scott) ou l’etudiant applique la meme methode.

labels_s1b, n_sym_s1b, label_map_s1b = trajectory_labels(states_s1, lambda s: s)
label_to_state_s1b = {v: k for k, v in label_map_s1b.items()}
f_native_s1b = lambda natif: int(all(natif[i] <= natif[i + 1] for i in range(len(natif) - 1)))
f_labels_s1b = lambda lab: f_native_s1b(label_to_state_s1b[lab])
s_x_s1b = local_sensitivity(labels_s1b, n_sym_s1b, f_labels_s1b)

visited_s1b = sorted(set(labels_s1b))
best_s1b = max(visited_s1b, key=lambda lab: int(s_x_s1b[min(lab, len(s_x_s1b) - 1)]))
s_value_s1b = int(s_x_s1b[min(best_s1b, len(s_x_s1b) - 1)])
print('Label le plus sensible parmi ceux visites : ' + str(best_s1b) + ' (s_x = ' + str(s_value_s1b) + ')')
print('Etat correspondant    : ' + str(label_to_state_s1b[best_s1b]))
print('Trajectoire autour du pic (5 voisins du pic) :')
for i in range(max(0, best_s1b - 2), min(len(states_s1), best_s1b + 3)):
    marker = ' <-- PIC' if labels_s1b[i] == best_s1b else ''
    print('  t=' + str(i) + ' (label=' + str(labels_s1b[i]) + ') : ' + str(label_to_state_s1b[labels_s1b[i]]) + marker)
# TODO etudiant : le pic est-il sur un point de bascule (avant / apres tri complet) ?

Label le plus sensible parmi ceux visites : 11 (s_x = 1)
Etat correspondant    : (np.int64(0), np.int64(2), np.int64(1), np.int64(3), np.int64(4), np.int64(5), np.int64(6), np.int64(7))
Trajectoire autour du pic (5 voisins du pic) :
  t=9 (label=5) : (np.int64(2), np.int64(0), np.int64(3), np.int64(4), np.int64(6), np.int64(5), np.int64(1), np.int64(7))
  t=10 (label=6) : (np.int64(0), np.int64(2), np.int64(3), np.int64(4), np.int64(6), np.int64(5), np.int64(1), np.int64(7))
  t=11 (label=6) : (np.int64(0), np.int64(2), np.int64(3), np.int64(4), np.int64(6), np.int64(5), np.int64(1), np.int64(7))
  t=12 (label=6) : (np.int64(0), np.int64(2), np.int64(3), np.int64(4), np.int64(6), np.int64(5), np.int64(1), np.int64(7))
  t=13 (label=6) : (np.int64(0), np.int64(2), np.int64(3), np.int64(4), np.int64(6), np.int64(5), np.int64(1), np.int64(7))

Lecture 7 – Le point de bascule est au bord de l’attracteur

L’Exemple guide 2 désigne le label 11 (s_x = 1) : c’est l’état (0, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7) — le tableau presque trié, le couple (2, 1) encore en désordre. La trajectoire affichée (t = 9..13, labels 5, 6, 6, 6) montre la convergence en cours, et le pic est le dernier état avant le tri complet : son voisin sensible est celui dont le swap final fait passer f de 0 à 1.

La lecture est directe : dans une trajectoire convergente, la sensibilité locale se concentre sur la frontière de l’attracteur, pas au milieu — le système est insensible loin du but, maximalement sensible exactement au moment du changement de régime. C’est la version microscopique du motif de la Lecture 3 : des bascules rares et locales, concentrées sur 1-2 pas, pendant que le reste de la trajectoire reste indifférent. La stratégie de seuil de l’exemple est donc un détecteur de transition de phase, pas un descripteur de régime.

Exemple guide 3 – Lean comme oracle

Le theoreme de Huang est formalise dans sensitivity_lean/Spectral/SensitivityDegree.lean avec 0 sorry. Sans ouvrir le Lean, reproduis la borne s >= sqrt(deg) sur deux fonctions booleennes sur 4 variables : la fonction OR (deg = 4, s = 4) et la fonction parite (deg = 4, s = 4). Le degre deg est celui du polynome multilineaire reel (transformee de Mobius additive sur le reseau des parties), calcule dans la cellule suivante – a distinguer du degre algebrique sur GF(2) (Mobius via XOR) qui donnerait deg = 1 pour la parite. Les deux fonctions ayant deg = 4, on a sqrt(deg) = 2 et la borne est largement satisfaite (s = 4 >= 2). Verifie que les deux respectent la borne.

Note pedagogique : la cellule code suivante execute la solution complete. Cf Exercice 3 plus bas pour la variante sur la fonction MAJ (majorite sur 4 variables).

def boolean_sensitivity(truth_table):
    n = len(truth_table).bit_length() - 1
    assert len(truth_table) == 2 ** n
    s_max = 0
    for x_int in range(2 ** n):
        f_x = truth_table[x_int]
        n_flips = 0
        for b in range(n):
            y_int = x_int ^ (1 << b)
            if truth_table[y_int] != f_x:
                n_flips += 1
        s_max = max(s_max, n_flips)
    return s_max


def multilinear_degree(truth_table):
    # Degré du polynôme multilinéaire RÉEL représentant f (le "deg" de la borne de Huang s >= sqrt(deg)).
    # c_S = sum_{T subset S} (-1)^{|S|-|T|} f(T)  (transformée de Möbius additive sur le réseau des parties).
    # À DISTINGUER du degré algébrique sur GF(2) (Möbius via XOR), qui donnerait deg(Parité_4) = 1 au lieu de 4.
    n = len(truth_table).bit_length() - 1
    assert len(truth_table) == 2 ** n
    coeffs = list(map(int, truth_table))
    for i in range(n):
        for S in range(2 ** n):
            if (S >> i) & 1:
                coeffs[S] -= coeffs[S ^ (1 << i)]
    return max((bin(S).count('1') for S in range(2 ** n) if coeffs[S] != 0), default=0)


or_tt = [int(bin(x).count('1') >= 1) for x in range(2 ** 4)]
parite_tt = [int(bin(x).count('1') % 2 == 1) for x in range(2 ** 4)]

s_or = boolean_sensitivity(or_tt)
s_parite = boolean_sensitivity(parite_tt)
deg_or = multilinear_degree(or_tt)
deg_parite = multilinear_degree(parite_tt)

print('OR(n=4)     : s = ' + str(s_or) + ', deg = ' + str(deg_or) + ', sqrt(deg) = ' + format(deg_or ** 0.5, '.2f') + ', borne respectee : ' + str(s_or >= deg_or ** 0.5))
print('Parite(n=4) : s = ' + str(s_parite) + ', deg = ' + str(deg_parite) + ', sqrt(deg) = ' + format(deg_parite ** 0.5, '.2f') + ', borne respectee : ' + str(s_parite >= deg_parite ** 0.5))

# Verdict honnete : borne TIENT sur les 2 cas triviaux (et le Lean la tient sur tous les cas).
# Huang 2019 montre qu'elle tient pour TOUTE fonction booleenne ; ICT-15b transpose au zoo ICT,
# ou on n'a PAS l'equivalent de la structure de l'hypercube.

OR(n=4)     : s = 4, deg = 4, sqrt(deg) = 2.00, borne respectee : True
Parite(n=4) : s = 4, deg = 4, sqrt(deg) = 2.00, borne respectee : True

Exercice 1 – Generaliser la fonction d’etat sur S7 (May logistique)

L’Exemple guide 1 applique f_s3_strict (majorite simple 50%) a la trajectoire S3 (Sznajd). Le defi : applique la meme logique a la trajectoire S7 (May logistique, states_s7), mais avec une fonction d’etat qui impose une minorite stricte : un etat n’est “canonique” que si strictement moins de 30% des boites de l’histogramme de la trajectoire le portent.

Objectif pedagogique : observer comment le meme substrat (May logistique) change de verdict selon la definition d’etat canonique choisie – pivot central de l’ICT-15b.

Indices : - Reprends trajectory_labels(states_s7, lambda s: s) puis implemente une cle de binarisation differente - Le verdict “consistent” ou “inconsistent” peut-il basculer par rapport a la majorite simple (S7 origin) ?

# TODO etudiant : definir une cle de binarisation stricte (<30%) sur states_s7
def f_s7_strict(label, label_to_state, freq_by_label):
    # TODO etudiant : retourner 1 si la frequence du label est strictement < 30%
    pass

# Le notebook reste executable end-to-end (C.1) : pas de raise NotImplementedError
print('Exercice 1 a completer : minorite stricte (<30%) sur S7 May logistique')

Exercice 1 a completer : minorite stricte (<30%) sur S7 May logistique

Exercice 2 – Inspection manuelle d’un point de bascule sur S5 (Gray-Scott)

L’Exemple guide 2 identifie le label le plus sensible dans la trajectoire S1 (tri) et inspecte manuellement la trajectoire autour. Le defi : reproduis cette meme demarche sur la trajectoire S5 (Gray-Scott, states_s5), mais en utilisant la fonction d’etat morphogenetique de S5 (std_V > 0.08) plutot que la fonction indicatrice-tri.

Objectif pedagogique : voir si le point de bascule morphogenetique (passage d’un regime homogene a un regime structure) coincide avec le label de sensibilite maximale – ou si la sensibilite est repartie sur plusieurs pas.

Indices : - local_sensitivity(labels, n_symbols, f_labels) est disponible - s_x_s5[i] est la sensibilite au label i ; labels_s5[i] est le label au pas i - Imprime le label le plus sensible et les 5 voisins dans la trajectoire

# TODO etudiant : appliquer local_sensitivity sur la trajectoire S5 (Gray-Scott)
# puis identifier et inspecter le point de bascule morphogenetique.
# Le squelette suit l'Exemple guide 2 (S1) adapte a S5.

# labels_s5, n_s5, label_map_s5 sont deja calcules (cf cellule S5 au-dessus).
# A COMPLETER par l'etudiant.

print('Exercice 2 a completer : point de bascule morphogenetique S5 Gray-Scott')

Exercice 2 a completer : point de bascule morphogenetique S5 Gray-Scott

Exercice 3 – Fonction MAJ sur 4 variables (borne de Huang manuelle)

L’Exemple guide 3 reproduit la borne s >= sqrt(deg) sur OR (deg = 4) et parite (deg = 4) sur 4 variables. Le defi : implemente la fonction MAJ (majorite) sur 4 variables en utilisant boolean_sensitivity et multilinear_degree deja definis dans l’Exemple guide 3, puis verifie que s(MAJ_4) = 3 et que la borne s >= sqrt(deg) est respectee (avec deg(MAJ_4) = 4, soit sqrt(deg) = 2).

Objectif pedagogique : comme OR et parite, MAJ_4 satisfait confortablement la borne de Huang (s = 3 >= sqrt(deg) = 2). La majorite 4 a une sensibilite de 3 (pour une entree comme 1000, bascule de 3 des 4 voisins) et un degre multilineaire reel de 4 (le monome x1x2x3x4 apparait avec un coefficient non-nul). Les fonctions booleennes symetriques usuelles (OR, ET, MAJ, parite) satisfont toutes largement la borne ; les exemples tendaus ou s est proche de sqrt(deg) sont plus specialises (fonction tribes).

Indices : - La table de verite de MAJ_4 : MAJ_4(x) = 1 si >=2 des bits sont a 1 parmi les 4 - La longueur de la table est 2^4 = 16 - deg(MAJ_4) = 4 : calcule-le avec multilinear_degree(maj_tt) (transformee de Mobius additive, definie dans l’Exemple guide 3) – ne le cite pas en dur.

# TODO etudiant : implementer la table de verite MAJ_4, calculer s ET deg, puis verifier la borne.
# pour verifier s(MAJ_4) = 3 et la borne de Huang s >= sqrt(deg) (deg=4, sqrt=2.0).

# Skeleton : reutilise boolean_sensitivity ET multilinear_degree de l'Exemple guide 3 (cellule au-dessus).
# Ne PAS les redéfinir ici.

# maj_tt = [...]  # TODO etudiant : table de verite de MAJ_4 (longueur 16)
# s_maj = boolean_sensitivity(maj_tt)
# deg_maj = multilinear_degree(maj_tt)   # degre multilineaire reel (Mobius additive)
# print('MAJ_4 : s =', s_maj, ', deg =', deg_maj, ', sqrt(deg) =', format(deg_maj ** 0.5, '.3f'),
#       ', borne respectee :', s_maj >= deg_maj ** 0.5)

print('Exercice 3 a completer : MAJ_4 sur 4 variables, verification manuelle de la borne de Huang')

Exercice 3 a completer : MAJ_4 sur 4 variables, verification manuelle de la borne de Huang

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