SocialChoice 01b - Choix Social Formel en Lean 4

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Kernel : Python 3

Introduction

Ce notebook explore la théorie du choix social, et plus particulierement les celebres theoremes d’impossibilite d’Arrow (1951), de Sen (1970), et le theoreme de l’electeur median (Black 1948, Downs 1957).

Ces theoremes demontrent des limitations fondamentales des systèmes de vote et de decision collective. Leur formalisation en Lean permet de verifier rigoureusement les preuves et d’explorer les hypotheses.

Contexte historique

Annee	Résultat	Auteur	Impact
1785	Paradoxe de Condorcet	Condorcet	Cycles dans les préférences collectives
1948	Theoreme de l’electeur median	Black	Convergence vers le centre
1951	Theoreme d’impossibilite	Arrow	Prix Nobel 1972
1970	Paradoxe liberal	Sen	Conflit liberte/efficacite

Objectifs d’apprentissage

Formaliser les préférences et ordres sociaux
Définir et prouver le theoreme d’Arrow
Explorer le theoreme de Sen
Comprendre le theoreme de l’electeur median

Duree estimee : 80 minutes

1. Definitions de Base

1.1 Préférences

Une préférence est une relation binaire sur un ensemble d’alternatives qui est : - Complete : pour tout \(x, y\), soit \(x \succeq y\) soit \(y \succeq x\) - Transitive : si \(x \succeq y\) et \(y \succeq z\), alors \(x \succeq z\)

-- Definitions de base pour la theorie du choix social

-- Relation de preference faible : x R y signifie "x est au moins aussi bon que y"
structure Preference (A : Type) where
  R : A → A → Prop
  complete : ∀ x y, R x y ∨ R y x
  trans : ∀ x y z, R x y → R y z → R x z

-- Preference stricte derivee : x P y ssi x R y et non(y R x)
def Preference.strict {A : Type} (p : Preference A) (x y : A) : Prop :=
  p.R x y ∧ ¬ p.R y x

-- Indifference : x I y ssi x R y et y R x
def Preference.indiff {A : Type} (p : Preference A) (x y : A) : Prop :=
  p.R x y ∧ p.R y x

#check Preference
#check @Preference.strict
#check @Preference.indiff

-- Definitions de base pour la theorie du choix social

-- Relation de preference faible : x R y signifie "x est au moins aussi bon que y"

structure Preference (A : Type) where

  R : A → A → Prop

  complete : ∀ x y, R x y ∨ R y x

  trans : ∀ x y z, R x y → R y z → R x z

-- Preference stricte derivee : x P y ssi x R y et non(y R x)

def Preference.strict {A : Type} (p : Preference A) (x y : A) : Prop :=

  p.R x y ∧ ¬ p.R y x

-- Indifference : x I y ssi x R y et y R x

def Preference.indiff {A : Type} (p : Preference A) (x y : A) : Prop :=

  p.R x y ∧ p.R y x

#check Preference Preference (A : Type) : Type

#check @Preference.strict @Preference.strict : {A : Type} → Preference A → A → A → Prop

#check @Preference.indiff @Preference.indiff : {A : Type} → Preference A → A → A → Prop

--% env 0

Raw input

{"cmd": "-- Definitions de base pour la theorie du choix social\n\n-- Relation de preference faible : x R y signifie \"x est au moins aussi bon que y\"\nstructure Preference (A : Type) where\n  R : A \u2192 A \u2192 Prop\n  complete : \u2200 x y, R x y \u2228 R y x\n  trans : \u2200 x y z, R x y \u2192 R y z \u2192 R x z\n\n-- Preference stricte derivee : x P y ssi x R y et non(y R x)\ndef Preference.strict {A : Type} (p : Preference A) (x y : A) : Prop :=\n  p.R x y \u2227 \u00ac p.R y x\n\n-- Indifference : x I y ssi x R y et y R x\ndef Preference.indiff {A : Type} (p : Preference A) (x y : A) : Prop :=\n  p.R x y \u2227 p.R y x\n\n#check Preference\n#check @Preference.strict\n#check @Preference.indiff"}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 17, "column": 0},
   "endPos": {"line": 17, "column": 6},
   "data": "Preference (A : Type) : Type"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 18, "column": 0},
   "endPos": {"line": 18, "column": 6},
   "data": "@Preference.strict : {A : Type} → Preference A → A → A → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 19, "column": 0},
   "endPos": {"line": 19, "column": 6},
   "data": "@Preference.indiff : {A : Type} → Preference A → A → A → Prop"}],
 "env": 0}

Pourquoi la préférence faible comme primitive. Le structure Preference encode une préférence faible (R : « au moins aussi bon que ») avec exactement deux champs : complétude (toute paire est comparable) et transitivité. La préférence stricte P est dérivée (R ∧ ¬R symétrique), pas axiomatisée séparément — un choix de fondation classique : la version faible est celle qui se compose bien (la clôture transitive d’un ordre strict est un ordre strict, mais l’indifférence n’est pas transitive en général — le paradoxe de la tasse de sucre). En Lean, ce choix a un corollaire pratique : tous les théorèmes d’existence (Arrow, Sen) quantifient sur des Preference A et héritent gratuitement la comparabilité totale. Noter aussi la décision d’ingénierie : un structure plutôt qu’un def à clauses — les champs nommés (complete, trans) deviennent des projections utilisables comme lemmes, chaque axiome de la structure étant transporté par la construction.

1.2 Profil de préférences

Un profil est une fonction qui associe a chaque individu sa préférence.

-- Profil de preferences : chaque individu a une preference sur les alternatives
def Profile (I A : Type) := I → Preference A

-- Fonction de bien-etre social (SWF)
-- Agregue les preferences individuelles en une preference sociale
structure SocialWelfareFunction (I A : Type) where
  f : Profile I A → Preference A

#check @Profile
#check @SocialWelfareFunction

-- Profil de preferences : chaque individu a une preference sur les alternatives

def Profile (I A : Type) := I → Preference A

-- Fonction de bien-etre social (SWF)

-- Agregue les preferences individuelles en une preference sociale

structure SocialWelfareFunction (I A : Type) where

  f : Profile I A → Preference A

#check @Profile Profile : Type → Type → Type

#check @SocialWelfareFunction SocialWelfareFunction : Type → Type → Type

--% env 1

Raw input

{"cmd": "-- Profil de preferences : chaque individu a une preference sur les alternatives\ndef Profile (I A : Type) := I \u2192 Preference A\n\n-- Fonction de bien-etre social (SWF)\n-- Agregue les preferences individuelles en une preference sociale\nstructure SocialWelfareFunction (I A : Type) where\n  f : Profile I A \u2192 Preference A\n\n#check @Profile\n#check @SocialWelfareFunction", "env": 0}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 9, "column": 0},
   "endPos": {"line": 9, "column": 6},
   "data": "Profile : Type → Type → Type"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 10, "column": 0},
   "endPos": {"line": 10, "column": 6},
   "data": "SocialWelfareFunction : Type → Type → Type"}],
 "env": 1}

Un profil est une fonction, pas une liste. Profile I A := I → Preference A : la société est encodée au niveau des types comme une fonction de l’ensemble des individus vers les préférences. Ce choix silencieux fait tout le travail dans les preuves qui suivent : modifier le profil d’UN individu (construire Function.update prefs i p') est l’opération primitive des arguments de pivot — la preuve d’Arrow fait glisser un électeur à travers toutes ses positions possibles en comparant des profils qui ne diffèrent que sur lui. Si le profil était une liste, chaque théorème devrait gérer l’ordre et les doublons ; comme fonction, l’individualisme méthodologique (chaque agent porte sa préférence, la société les agrège) est littéralement la signature du type.

1.3 Helpers pour manipuler les préférences

Ces fonctions permettent de construire des profils spécifiques pour les preuves.

-- Mettre une alternative en tete (preferee a toutes les autres)
def makeTop {A : Type} [DecidableEq A] (p : Preference A) (a : A) : Preference A := {
  R := fun x y => if x = a then True else if y = a then False else p.R x y
  complete := by
    intro x y
    by_cases hx : x = a
    · simp [hx]
    · by_cases hy : y = a
      · simp [hx, hy]
      · simp [hx, hy]; exact p.complete x y
  trans := by
    intro x y z hxy hyz
    by_cases hx : x = a
    · simp [hx]
    · by_cases hy : y = a
      · simp [hx, hy] at hxy
      · by_cases hz : z = a
        · simp [hx, hy, hz] at hyz
        · simp [hx, hy, hz] at *
          exact p.trans x y z hxy hyz
}

-- Mettre une alternative en bas (moins preferee que toutes les autres)
def makeBot {A : Type} [DecidableEq A] (p : Preference A) (a : A) : Preference A := {
  R := fun x y => if y = a then True else if x = a then False else p.R x y
  complete := by
    intro x y
    by_cases hy : y = a
    · simp [hy]
    · by_cases hx : x = a
      · simp [hx, hy]
      · simp [hx, hy]; exact p.complete x y
  trans := by
    intro x y z hxy hyz
    by_cases hz : z = a
    · simp [hz]
    · by_cases hy : y = a
      · simp [hy, hz] at hyz
      · by_cases hx : x = a
        · simp [hx, hy, hz] at hxy
        · simp [hx, hy, hz] at *
          exact p.trans x y z hxy hyz
}

#check @makeTop
#check @makeBot

-- Mettre une alternative en tete (preferee a toutes les autres)

def makeTop {A : Type} [DecidableEq A] (p : Preference A) (a : A) : Preference A := {

  R := fun x y => if x = a then True else if y = a then False else p.R x y

  complete := by

    intro x y

    by_cases hx : x = a

    · simp [hx]

    · by_cases hy : y = a

      · simp [hx, hy]

      · simp [hx, hy]; exact p.complete x y

  trans := by

    intro x y z hxy hyz

    by_cases hx : x = a

    · simp [hx]

    · by_cases hy : y = a

      · simp [hx, hy] at hxy

      · by_cases hz : z = a

        · simp [hx, hy, hz] at hyz🟨 This simp argument is unused:
  hx

Hint: Omit it from the simp argument list.
  [apply] simp [hy, hz] at hyz

Note: This linter can be disabled with `set_option linter.unusedSimpArgs false`

        · simp [hx, hy, hz] at *

          exact p.trans x y z hxy hyz

-- Mettre une alternative en bas (moins preferee que toutes les autres)

def makeBot {A : Type} [DecidableEq A] (p : Preference A) (a : A) : Preference A := {

  R := fun x y => if y = a then True else if x = a then False else p.R x y

  complete := by

    intro x y

    by_cases hy : y = a

    · simp [hy]

    · by_cases hx : x = a

      · simp [hx, hy]

      · simp [hx, hy]; exact p.complete x y

  trans := by

    intro x y z hxy hyz

    by_cases hz : z = a

    · simp [hz]

    · by_cases hy : y = a

      · simp [hy, hz] at hyz

      · by_cases hx : x = a

        · simp [hx, hy, hz] at hxy🟨 This simp argument is unused:
  hz

Hint: Omit it from the simp argument list.
  [apply] simp [hx, hy] at hxy

Note: This linter can be disabled with `set_option linter.unusedSimpArgs false`

        · simp [hx, hy, hz] at *

          exact p.trans x y z hxy hyz

#check @makeTop @makeTop : {A : Type} → [DecidableEq A] → Preference A → A → Preference A

#check @makeBot @makeBot : {A : Type} → [DecidableEq A] → Preference A → A → Preference A

--% env 2

Raw input

{"cmd": "-- Mettre une alternative en tete (preferee a toutes les autres)\ndef makeTop {A : Type} [DecidableEq A] (p : Preference A) (a : A) : Preference A := {\n  R := fun x y => if x = a then True else if y = a then False else p.R x y\n  complete := by\n    intro x y\n    by_cases hx : x = a\n    \u00b7 simp [hx]\n    \u00b7 by_cases hy : y = a\n      \u00b7 simp [hx, hy]\n      \u00b7 simp [hx, hy]; exact p.complete x y\n  trans := by\n    intro x y z hxy hyz\n    by_cases hx : x = a\n    \u00b7 simp [hx]\n    \u00b7 by_cases hy : y = a\n      \u00b7 simp [hx, hy] at hxy\n      \u00b7 by_cases hz : z = a\n        \u00b7 simp [hx, hy, hz] at hyz\n        \u00b7 simp [hx, hy, hz] at *\n          exact p.trans x y z hxy hyz\n}\n\n-- Mettre une alternative en bas (moins preferee que toutes les autres)\ndef makeBot {A : Type} [DecidableEq A] (p : Preference A) (a : A) : Preference A := {\n  R := fun x y => if y = a then True else if x = a then False else p.R x y\n  complete := by\n    intro x y\n    by_cases hy : y = a\n    \u00b7 simp [hy]\n    \u00b7 by_cases hx : x = a\n      \u00b7 simp [hx, hy]\n      \u00b7 simp [hx, hy]; exact p.complete x y\n  trans := by\n    intro x y z hxy hyz\n    by_cases hz : z = a\n    \u00b7 simp [hz]\n    \u00b7 by_cases hy : y = a\n      \u00b7 simp [hy, hz] at hyz\n      \u00b7 by_cases hx : x = a\n        \u00b7 simp [hx, hy, hz] at hxy\n        \u00b7 simp [hx, hy, hz] at *\n          exact p.trans x y z hxy hyz\n}\n\n#check @makeTop\n#check @makeBot", "env": 1}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "warning",
   "pos": {"line": 18, "column": 16},
   "endPos": {"line": 18, "column": 18},
   "data":
   "This simp argument is unused:\n  hx\n\nHint: Omit it from the simp argument list.\n  [apply] simp [hy, hz] at hyz\n\nNote: This linter can be disabled with `set_option linter.unusedSimpArgs false`"},
  {"severity": "warning",
   "pos": {"line": 40, "column": 24},
   "endPos": {"line": 40, "column": 26},
   "data":
   "This simp argument is unused:\n  hz\n\nHint: Omit it from the simp argument list.\n  [apply] simp [hx, hy] at hxy\n\nNote: This linter can be disabled with `set_option linter.unusedSimpArgs false`"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 45, "column": 0},
   "endPos": {"line": 45, "column": 6},
   "data":
   "@makeTop : {A : Type} → [DecidableEq A] → Preference A → A → Preference A"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 46, "column": 0},
   "endPos": {"line": 46, "column": 6},
   "data":
   "@makeBot : {A : Type} → [DecidableEq A] → Preference A → A → Preference A"}],
 "env": 2}

makeTop : la chirurgie de profil, vérifiée. L’helper reconstruit une préférence où l’alternative a est mise en tête, en préservant l’ordre relatif des autres (les deux if imbriqués : x = a gagne toujours, y = a perd toujours, sinon on consulte l’ancienne relation). La subtilité est dans les preuves de clôture : complete et trans ne sont PAS gratuits — le by_cases imbriqué de la sortie montre la preuve de complétude cas par cas. Ce helper est la brique des preuves d’impossibilité : Sen construit son cycle social en faisant de deux individus des dictateurs locaux via des makeTop ciblés, et l’Extremal Lemma d’Arrow raisonne sur des profils où une alternative passe du bas vers le haut de tous les classements simultanément — le même helper, itéré. Lire cette cellule comme l’outillage : le théorème viendra, mais il vivra dans ce machinery.

2. Axiomes d’Arrow

Le theoreme d’Arrow repose sur trois axiomes qu’on pourrait considerer comme “raisonnables” pour un système de vote.

2.1 Pareto faible (P)

Si TOUS les individus preferent strictement x a y, alors la societe prefere strictement x a y.

-- Axiome de Pareto faible
def WeakPareto {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=
  ∀ (prefs : Profile I A) (x y : A),
    (∀ i : I, (prefs i).strict x y) →
    (swf.f prefs).strict x y

#check @WeakPareto

-- Axiome de Pareto faible

def WeakPareto {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=

  ∀ (prefs : Profile I A) (x y : A),

    (∀ i : I, (prefs i).strict x y) →

    (swf.f prefs).strict x y

#check @WeakPareto @WeakPareto : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → Prop

--% env 3

Raw input

{"cmd": "-- Axiome de Pareto faible\ndef WeakPareto {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=\n  \u2200 (prefs : Profile I A) (x y : A),\n    (\u2200 i : I, (prefs i).strict x y) \u2192\n    (swf.f prefs).strict x y\n\n#check @WeakPareto", "env": 2}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 7, "column": 0},
   "endPos": {"line": 7, "column": 6},
   "data": "@WeakPareto : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → Prop"}],
 "env": 3}

Pareto faible : pourquoi la version minimale suffit. WeakPareto ne demande l’unanimité stricte que pour l’ordre strict social : si tous préfèrent strictement x à y, la société aussi. C’est plus faible que le Pareto fort (qui conclut aussi depuis des préférences faibles unanimes) — et c’est un choix stratégique de formalisation : plus l’axiome est faible, plus le théorème d’impossibilité est fort. Arrow avec Pareto faible interdit plus de fonctions sociales qu’Arrow avec Pareto fort. Le #check confirme le typage : WeakPareto est une Prop sur une SocialWelfareFunction — une propriété de l’agrégateur, à ne pas confondre avec une propriété d’un profil particulier (l’exercice 4 fera vérifier Pareto sur UN profil, une instanciation).

2.2 Indépendance des alternatives non pertinentes (IIA)

La préférence sociale entre x et y ne depend QUE des préférences individuelles entre x et y.

-- Independance des Alternatives Irrelevantes (IIA)
def IIA {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=
  ∀ (prefs prefs2 : Profile I A) (x y : A),
    (∀ i : I, (prefs i).R x y ↔ (prefs2 i).R x y) →
    (∀ i : I, (prefs i).R y x ↔ (prefs2 i).R y x) →
    ((swf.f prefs).R x y ↔ (swf.f prefs2).R x y)

#check @IIA

-- Independance des Alternatives Irrelevantes (IIA)

def IIA {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=

  ∀ (prefs prefs2 : Profile I A) (x y : A),

    (∀ i : I, (prefs i).R x y ↔ (prefs2 i).R x y) →

    (∀ i : I, (prefs i).R y x ↔ (prefs2 i).R y x) →

    ((swf.f prefs).R x y ↔ (swf.f prefs2).R x y)

#check @IIA @IIA : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → Prop

--% env 4

Raw input

{"cmd": "-- Independance des Alternatives Irrelevantes (IIA)\ndef IIA {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=\n  \u2200 (prefs prefs2 : Profile I A) (x y : A),\n    (\u2200 i : I, (prefs i).R x y \u2194 (prefs2 i).R x y) \u2192\n    (\u2200 i : I, (prefs i).R y x \u2194 (prefs2 i).R y x) \u2192\n    ((swf.f prefs).R x y \u2194 (swf.f prefs2).R x y)\n\n#check @IIA", "env": 3}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 8, "column": 0},
   "endPos": {"line": 8, "column": 6},
   "data": "@IIA : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → Prop"}],
 "env": 4}

IIA, l’axiome le plus mal compris — lu dans sa quantification. La définition quantify sur deux profils prefs et prefs2 : si les préférences individuelles entre x et y sont identiques (dans les deux sens, d’où les deux ↔︎), la préférence SOCIALE entre x et y doit être identique. La formule dit ceci : le verdict social sur une paire ne peut dépendre que des verdicts individuels sur cette paire — jamais des positions d’alternatives tierces z, jamais de l’intensité des préférences. C’est ici que l’information cardinale est interdite : un agrégateur qui lirait « combien » chaque individu préfère x à y (utilités, scores) violerait IIA en changeant son verdict quand les UTILITÉS entre x et y changent alors que l’ORDRE x/y est stable. La leçon de lecture Lean : les deux ↔︎ (pas des implications) capturent la cohérence bidirectionnelle — le même principe qui fera de l’ensemble des coalitions décisives une structure stable au fil de la preuve d’Arrow.

2.3 Non-dictature

Il n’existe PAS d’individu d tel que pour TOUT profil et TOUTE paire, si d prefere strictement x a y, alors la societe aussi.

-- Dictateur : un individu dont la preference stricte est toujours suivie
def IsDictator {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) (d : I) : Prop :=
  ∀ (prefs : Profile I A) (x y : A),
    (prefs d).strict x y → (swf.f prefs).strict x y

-- Non-dictature : il n'existe pas de dictateur
def NonDictatorial {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=
  ¬ ∃ d : I, IsDictator swf d

#check @IsDictator
#check @NonDictatorial

-- Dictateur : un individu dont la preference stricte est toujours suivie

def IsDictator {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) (d : I) : Prop :=

  ∀ (prefs : Profile I A) (x y : A),

    (prefs d).strict x y → (swf.f prefs).strict x y

-- Non-dictature : il n'existe pas de dictateur

def NonDictatorial {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=

  ¬ ∃ d : I, IsDictator swf d

#check @IsDictator @IsDictator : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → I → Prop

#check @NonDictatorial @NonDictatorial : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → Prop

--% env 5

Raw input

{"cmd": "-- Dictateur : un individu dont la preference stricte est toujours suivie\ndef IsDictator {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) (d : I) : Prop :=\n  \u2200 (prefs : Profile I A) (x y : A),\n    (prefs d).strict x y \u2192 (swf.f prefs).strict x y\n\n-- Non-dictature : il n'existe pas de dictateur\ndef NonDictatorial {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=\n  \u00ac \u2203 d : I, IsDictator swf d\n\n#check @IsDictator\n#check @NonDictatorial", "env": 4}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 10, "column": 0},
   "endPos": {"line": 10, "column": 6},
   "data": "@IsDictator : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → I → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 11, "column": 0},
   "endPos": {"line": 11, "column": 6},
   "data":
   "@NonDictatorial : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → Prop"}],
 "env": 5}

Non-dictature : un ∀ sur un ¬∃, proprement niché. IsDictator dit que la préférence stricte de d est TOUJOURS suivie (un ∀ sur profils et paires) ; NonDictatorship nie l’existence d’un tel d. La nidification des quantificateurs mérite une lecture lente : « pour tout d, il existe un profil et une paire où la société contredit d ». Le théorème d’Arrow affaiblira jusqu’à : Pareto + IIA ⇒ il existe un d dictateur — la conclusion n’est pas qu’un dictateur est construit, mais qu’il existe, et la preuve l’identifie comme le pivot (l’électeur dont le passage de x fait basculer le verdict social). La formalisation rend un service de précision : « dictatoriale » dans l’énoncé informel pourrait signifier « un individu a beaucoup d’influence » ; la définition Lean est binaire, maximale, et c’est elle qui rend le théorème tranchant.

3. Theoreme d’Arrow

3.1 Enonce

Theoreme d’Arrow (1951) : S’il y a au moins 3 alternatives et au moins 2 individus, alors toute fonction de bien-etre social satisfaisant Pareto faible et IIA est dictatoriale.

\[\text{Pareto} \land \text{IIA} \Rightarrow \neg\text{NonDictatorial}\]

-- Theoreme d'Arrow : toute SWF satisfaisant Pareto et IIA est dictatoriale
-- Version sketch (preuve complete: game_theory_lean/SocialChoice/Arrow.lean, theorem arrow)
-- Preuve Geanakoplos 2005: extremal_lemma -> pivot_exists -> pivot_is_dictator_except_b
--            -> partial_dictator_is_full_dictator -> arrow (0 sorry, ~950 lignes)

theorem arrow_impossibility_sketch 
    {I A : Type} 
    [DecidableEq A]
    [Inhabited I]
    [Inhabited A]
    (swf : SocialWelfareFunction I A)
    (h_pareto : WeakPareto swf)
    (h_iia : IIA swf)
    -- Hypothese de cardinalite : au moins 3 alternatives
    (h_three_alts : ∃ a b c : A, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) :
    -- Conclusion : il existe un dictateur
    ∃ d : I, IsDictator swf d := by
  sorry

#check @arrow_impossibility_sketch

-- Theoreme d'Arrow : toute SWF satisfaisant Pareto et IIA est dictatoriale

-- Version sketch (preuve complete: game_theory_lean/SocialChoice/Arrow.lean, theorem arrow)

-- Preuve Geanakoplos 2005: extremal_lemma -> pivot_exists -> pivot_is_dictator_except_b

--            -> partial_dictator_is_full_dictator -> arrow (0 sorry, ~950 lignes)

theorem arrow_impossibility_sketch 🟨 declaration uses `sorry`

    {I A : Type}

    [DecidableEq A]

    [Inhabited I]

    [Inhabited A]

    (swf : SocialWelfareFunction I A)

    (h_pareto : WeakPareto swf)

    (h_iia : IIA swf)

    -- Hypothese de cardinalite : au moins 3 alternatives

    (h_three_alts : ∃ a b c : A, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) :

    -- Conclusion : il existe un dictateur

    ∃ d : I, IsDictator swf d := by

  sorry

#check @arrow_impossibility_sketch @arrow_impossibility_sketch : ∀ {I A : Type} [DecidableEq A] [Inhabited I] [Inhabited A]
  (swf : SocialWelfareFunction I A), WeakPareto swf → IIA swf → (∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) → ∃ d, IsDictator swf d

--% env 6

--% prove 0

Raw input

{"cmd": "-- Theoreme d'Arrow : toute SWF satisfaisant Pareto et IIA est dictatoriale\n-- Version sketch (preuve complete: game_theory_lean/SocialChoice/Arrow.lean, theorem arrow)\n-- Preuve Geanakoplos 2005: extremal_lemma -> pivot_exists -> pivot_is_dictator_except_b\n--            -> partial_dictator_is_full_dictator -> arrow (0 sorry, ~950 lignes)\n\ntheorem arrow_impossibility_sketch \n    {I A : Type} \n    [DecidableEq A]\n    [Inhabited I]\n    [Inhabited A]\n    (swf : SocialWelfareFunction I A)\n    (h_pareto : WeakPareto swf)\n    (h_iia : IIA swf)\n    -- Hypothese de cardinalite : au moins 3 alternatives\n    (h_three_alts : \u2203 a b c : A, a \u2260 b \u2227 b \u2260 c \u2227 a \u2260 c) :\n    -- Conclusion : il existe un dictateur\n    \u2203 d : I, IsDictator swf d := by\n  sorry\n\n#check @arrow_impossibility_sketch", "env": 5}

Raw output

{"sorries":
 [{"proofState": 0,
   "pos": {"line": 18, "column": 2},
   "goal":
   "I A : Type\ninst✝² : DecidableEq A\ninst✝¹ : Inhabited I\ninst✝ : Inhabited A\nswf : SocialWelfareFunction I A\nh_pareto : WeakPareto swf\nh_iia : IIA swf\nh_three_alts : ∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c\n⊢ ∃ d, IsDictator swf d",
   "endPos": {"line": 18, "column": 7}}],
 "messages":
 [{"severity": "warning",
   "pos": {"line": 6, "column": 8},
   "endPos": {"line": 6, "column": 34},
   "data": "declaration uses `sorry`"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 20, "column": 0},
   "endPos": {"line": 20, "column": 6},
   "data":
   "@arrow_impossibility_sketch : ∀ {I A : Type} [DecidableEq A] [Inhabited I] [Inhabited A]\n  (swf : SocialWelfareFunction I A), WeakPareto swf → IIA swf → (∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) → ∃ d, IsDictator swf d"}],
 "env": 6}

Arrow lu comme une chaîne de lemmes, pas un bloc. La version du notebook est un sketch — et l’annonce honnêtement : la preuve complète (0 sorry, via la chaîne Geanakoplos 2005 : extremal_lemma → pivot_exists → pivot_is_dictator_except_b → partial_dictator_is_full_dictator) vit dans le lake game_theory_lean/SocialChoice/Arrow.lean, et la cellule suivante en exhibit les deux premiers maillons. L’intérêt pédagogique du sketch est la forme de la preuve : l’Extremal Lemma (une alternative extrême chez tous est extrême socialement) crée le premier coalitions-phénomène ; le pivot (l’électeur dont le renversement renverse la société) transforme l’existence locale en structure globale ; le dernier maillon convertit « dictateur sauf sur b » en dictateur complet. Chaque maillon est un théorème utilisable séparément — c’est la différence entre une preuve et une vérification monolithique, et le réflexe à emporter : dans un lake, l’énoncé importé cache une architecture.

3.2 Lemmes cles de la preuve

La preuve classique du theoreme d’Arrow procede en plusieurs étapes.

-- Lemme 1 : Extremal Lemma
-- Si tous les individus placent a en position extreme, la preference sociale aussi

def isTop {A : Type} (p : Preference A) (a : A) : Prop :=
  ∀ x : A, p.R a x

def isBot {A : Type} (p : Preference A) (a : A) : Prop :=
  ∀ x : A, p.R x a

theorem extremal_lemma 
    {I A : Type} [DecidableEq A]
    (swf : SocialWelfareFunction I A)
    (h_pareto : WeakPareto swf)
    (h_iia : IIA swf)
    (prefs : Profile I A) (a : A)
    (h_extreme : ∀ i, isTop (prefs i) a ∨ isBot (prefs i) a) :
    isTop (swf.f prefs) a ∨ isBot (swf.f prefs) a := by
  sorry

#check @extremal_lemma

-- Lemme 1 : Extremal Lemma

-- Si tous les individus placent a en position extreme, la preference sociale aussi

def isTop {A : Type} (p : Preference A) (a : A) : Prop :=

  ∀ x : A, p.R a x

def isBot {A : Type} (p : Preference A) (a : A) : Prop :=

  ∀ x : A, p.R x a

theorem extremal_lemma 🟨 declaration uses `sorry`

    {I A : Type} [DecidableEq A]

    (swf : SocialWelfareFunction I A)

    (h_pareto : WeakPareto swf)

    (h_iia : IIA swf)

    (prefs : Profile I A) (a : A)

    (h_extreme : ∀ i, isTop (prefs i) a ∨ isBot (prefs i) a) :

    isTop (swf.f prefs) a ∨ isBot (swf.f prefs) a := by

  sorry

#check @extremal_lemma @extremal_lemma : ∀ {I A : Type} [DecidableEq A] (swf : SocialWelfareFunction I A),
  WeakPareto swf →
    IIA swf →
      ∀ (prefs : Profile I A) (a : A),
        (∀ (i : I), isTop (prefs i) a ∨ isBot (prefs i) a) → isTop (swf.f prefs) a ∨ isBot (swf.f prefs) a

--% env 7

--% prove 1

Raw input

{"cmd": "-- Lemme 1 : Extremal Lemma\n-- Si tous les individus placent a en position extreme, la preference sociale aussi\n\ndef isTop {A : Type} (p : Preference A) (a : A) : Prop :=\n  \u2200 x : A, p.R a x\n\ndef isBot {A : Type} (p : Preference A) (a : A) : Prop :=\n  \u2200 x : A, p.R x a\n\ntheorem extremal_lemma \n    {I A : Type} [DecidableEq A]\n    (swf : SocialWelfareFunction I A)\n    (h_pareto : WeakPareto swf)\n    (h_iia : IIA swf)\n    (prefs : Profile I A) (a : A)\n    (h_extreme : \u2200 i, isTop (prefs i) a \u2228 isBot (prefs i) a) :\n    isTop (swf.f prefs) a \u2228 isBot (swf.f prefs) a := by\n  sorry\n\n#check @extremal_lemma", "env": 6}

Raw output

{"sorries":
 [{"proofState": 1,
   "pos": {"line": 18, "column": 2},
   "goal":
   "I A : Type\ninst✝ : DecidableEq A\nswf : SocialWelfareFunction I A\nh_pareto : WeakPareto swf\nh_iia : IIA swf\nprefs : Profile I A\na : A\nh_extreme : ∀ (i : I), isTop A (prefs i) a ∨ isBot A (prefs i) a\n⊢ isTop A (swf.f prefs) a ∨ isBot A (swf.f prefs) a",
   "endPos": {"line": 18, "column": 7}}],
 "messages":
 [{"severity": "warning",
   "pos": {"line": 10, "column": 8},
   "endPos": {"line": 10, "column": 22},
   "data": "declaration uses `sorry`"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 20, "column": 0},
   "endPos": {"line": 20, "column": 6},
   "data":
   "@extremal_lemma : ∀ {I A : Type} [DecidableEq A] (swf : SocialWelfareFunction I A),\n  WeakPareto swf →\n    IIA swf →\n      ∀ (prefs : Profile I A) (a : A),\n        (∀ (i : I), isTop (prefs i) a ∨ isBot (prefs i) a) → isTop (swf.f prefs) a ∨ isBot (swf.f prefs) a"}],
 "env": 7}

Le Lemme Extremal est la première étape de la preuve : il montre que si tous les individus placent une alternative en position extrême (première ou dernière), alors la société fait de même.

Le lemme suivant introduit la notion d’ensemble décisif : un groupe qui peut “imposer” sa préférence sur une paire d’alternatives.

-- Lemme 2 : Ensemble decisif
-- Un groupe G est decisif pour (x, y) si quand tous dans G preferent x a y,
-- la societe prefere aussi x a y

def IsDecisivePred {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) 
    (G : I → Prop) (x y : A) : Prop :=
  ∀ prefs : Profile I A,
    (∀ i : I, G i → (prefs i).strict x y) →
    (swf.f prefs).strict x y

-- Par Pareto, tous les individus ensemble sont decisifs
theorem all_decisive_pred {I A : Type} 
    (swf : SocialWelfareFunction I A)
    (h_pareto : WeakPareto swf)
    (x y : A) : 
    IsDecisivePred swf (fun _ => True) x y := by
  intro prefs h_all
  apply h_pareto
  intro i
  exact h_all i True.intro

#check @all_decisive_pred

-- Lemme 2 : Ensemble decisif

-- Un groupe G est decisif pour (x, y) si quand tous dans G preferent x a y,

-- la societe prefere aussi x a y

def IsDecisivePred {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A)

    (G : I → Prop) (x y : A) : Prop :=

  ∀ prefs : Profile I A,

    (∀ i : I, G i → (prefs i).strict x y) →

    (swf.f prefs).strict x y

-- Par Pareto, tous les individus ensemble sont decisifs

theorem all_decisive_pred {I A : Type}

    (swf : SocialWelfareFunction I A)

    (h_pareto : WeakPareto swf)

    (x y : A) :

    IsDecisivePred swf (fun _ => True) x y := by

  intro prefs h_all

  apply h_pareto

  intro i

  exact h_all i True.intro

#check @all_decisive_pred @all_decisive_pred : ∀ {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A),
  WeakPareto swf → ∀ (x y : A), IsDecisivePred swf (fun x => True) x y

--% env 8

Raw input

{"cmd": "-- Lemme 2 : Ensemble decisif\n-- Un groupe G est decisif pour (x, y) si quand tous dans G preferent x a y,\n-- la societe prefere aussi x a y\n\ndef IsDecisivePred {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) \n    (G : I \u2192 Prop) (x y : A) : Prop :=\n  \u2200 prefs : Profile I A,\n    (\u2200 i : I, G i \u2192 (prefs i).strict x y) \u2192\n    (swf.f prefs).strict x y\n\n-- Par Pareto, tous les individus ensemble sont decisifs\ntheorem all_decisive_pred {I A : Type} \n    (swf : SocialWelfareFunction I A)\n    (h_pareto : WeakPareto swf)\n    (x y : A) : \n    IsDecisivePred swf (fun _ => True) x y := by\n  intro prefs h_all\n  apply h_pareto\n  intro i\n  exact h_all i True.intro\n\n#check @all_decisive_pred", "env": 7}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 22, "column": 0},
   "endPos": {"line": 22, "column": 6},
   "data":
   "@all_decisive_pred : ∀ {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A),\n  WeakPareto swf → ∀ (x y : A), IsDecisivePred swf (fun x => True) x y"}],
 "env": 8}

Les ensembles décisifs : le moteur caché d’Arrow. IsDecisivePred définit un groupe G décisif pour (x, y) : l’unanimité stricte de G sur la paire entraîne le verdict social. Toute la preuve d’Arrow est une étude de la famille des ensembles décisifs : elle est non-vide (Pareto rend l’univers décisif), close par intersection (via IIA — c’est le théorème de field-expansion de Geanakoplos), et l’argument du pivot montre que tout ensemble décisif minimal se réduit à un singleton — le dictateur. La structure profonde (pour les curieux : la famille des ensembles décisifs d’une SWF Pareto + IIA est un ultrafiltre sur les individus ; sur un ensemble fini, tout ultrafiltre est principal — d’où le dictateur) n’est pas formalisée ici, mais la définition en est la porte : chaque lemme du lake est un fait sur cette famille.

4. Theoreme de Sen

4.1 Le paradoxe liberal

Le theoreme de Sen (1970) montre un conflit entre liberte individuelle et efficacite Pareto.

4.2 Liberte minimale

-- Liberte minimale (Minimal Liberalism) - version bidirectionnelle (Sen 1970)
-- Chaque individu est "decisif" sur au moins une paire d'alternatives,
-- dans les DEUX directions : s'il prefere x a y, la societe aussi,
-- et s'il prefere y a x, la societe aussi.
-- Cette bidirectionnalite est essentielle pour le theoreme d'impossibilite.

def MinimalLiberalism {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=
  ∀ i : I, ∃ x y : A, x ≠ y ∧
    (∀ prefs : Profile I A,
      (prefs i).strict x y → (swf.f prefs).strict x y) ∧
    (∀ prefs : Profile I A,
      (prefs i).strict y x → (swf.f prefs).strict y x)

#check @MinimalLiberalism

-- Liberte minimale (Minimal Liberalism) - version bidirectionnelle (Sen 1970)

-- Chaque individu est "decisif" sur au moins une paire d'alternatives,

-- dans les DEUX directions : s'il prefere x a y, la societe aussi,

-- et s'il prefere y a x, la societe aussi.

-- Cette bidirectionnalite est essentielle pour le theoreme d'impossibilite.

def MinimalLiberalism {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=

  ∀ i : I, ∃ x y : A, x ≠ y ∧

    (∀ prefs : Profile I A,

      (prefs i).strict x y → (swf.f prefs).strict x y) ∧

    (∀ prefs : Profile I A,

      (prefs i).strict y x → (swf.f prefs).strict y x)

#check @MinimalLiberalism @MinimalLiberalism : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → Prop

--% env 9

Raw input

{"cmd": "-- Liberte minimale (Minimal Liberalism) - version bidirectionnelle (Sen 1970)\n-- Chaque individu est \"decisif\" sur au moins une paire d'alternatives,\n-- dans les DEUX directions : s'il prefere x a y, la societe aussi,\n-- et s'il prefere y a x, la societe aussi.\n-- Cette bidirectionnalite est essentielle pour le theoreme d'impossibilite.\n\ndef MinimalLiberalism {I A : Type} (swf : SocialWelfareFunction I A) : Prop :=\n  \u2200 i : I, \u2203 x y : A, x \u2260 y \u2227\n    (\u2200 prefs : Profile I A,\n      (prefs i).strict x y \u2192 (swf.f prefs).strict x y) \u2227\n    (\u2200 prefs : Profile I A,\n      (prefs i).strict y x \u2192 (swf.f prefs).strict y x)\n\n#check @MinimalLiberalism", "env": 8}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 14, "column": 0},
   "endPos": {"line": 14, "column": 6},
   "data":
   "@MinimalLiberalism : {I A : Type} → SocialWelfareFunction I A → Prop"}],
 "env": 9}

La Liberte Minimale est une condition très faible : elle demande seulement que chaque individu ait le contrôle sur AU MOINS une paire d’alternatives (par exemple, ce qu’il lit dans sa sphere privee).

Bidirectionnalite : la definition exige que l’individu soit decisif dans les deux sens — s’il prefere x a y, la societe prefere x a y, ET s’il prefere y a x, la societe prefere y a x. C’est la formulation originale de Sen (1970), et elle est essentielle pour construire le cycle dans la preuve du theoreme d’impossibilite.

Le theoreme de Sen montre que même cette condition minimale entre en conflit avec l’efficacite Pareto.

Preuve complete : la formalisation complete du theoreme de Sen avec 0 sorry se trouve dans le projet Lake game_theory_lean/SocialChoice/ (fichiers Sen.lean et Arrow.lean).

-- Theoreme de Sen : impossibilite de satisfaire simultanement Pareto et Liberte
-- Pareto + Liberalisme minimal sont contradictoires
-- Preuve complete: game_theory_lean/SocialChoice/Sen.lean, theorem sen_impossibility
-- (0 sorry, ~300 lignes, construction de profil avec cycle social)

theorem sen_impossibility_sketch
    {I A : Type}
    [DecidableEq A]
    [Inhabited I] [Inhabited A]
    (swf : SocialWelfareFunction I A)
    (h_pareto : WeakPareto swf)
    (h_liberal : MinimalLiberalism swf)
    -- Hypotheses de cardinalite necessaires pour le theoreme
    (h_two_voters : ∃ i j : I, i ≠ j)
    (h_three_alts : ∃ a b c : A, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) :
    -- Pareto et Liberalisme sont incompatibles
    False := by
  sorry

#check @sen_impossibility_sketch

-- Theoreme de Sen : impossibilite de satisfaire simultanement Pareto et Liberte

-- Pareto + Liberalisme minimal sont contradictoires

-- Preuve complete: game_theory_lean/SocialChoice/Sen.lean, theorem sen_impossibility

-- (0 sorry, ~300 lignes, construction de profil avec cycle social)

theorem sen_impossibility_sketch🟨 declaration uses `sorry`

    {I A : Type}

    [DecidableEq A]

    [Inhabited I] [Inhabited A]

    (swf : SocialWelfareFunction I A)

    (h_pareto : WeakPareto swf)

    (h_liberal : MinimalLiberalism swf)

    -- Hypotheses de cardinalite necessaires pour le theoreme

    (h_two_voters : ∃ i j : I, i ≠ j)

    (h_three_alts : ∃ a b c : A, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) :

    -- Pareto et Liberalisme sont incompatibles

    False := by

  sorry

#check @sen_impossibility_sketch @sen_impossibility_sketch : ∀ {I A : Type} [DecidableEq A] [Inhabited I] [Inhabited A]
  (swf : SocialWelfareFunction I A),
  WeakPareto swf → MinimalLiberalism swf → (∃ i j, i ≠ j) → (∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) → False

--% env 10

--% prove 2

Raw input

{"cmd": "-- Theoreme de Sen : impossibilite de satisfaire simultanement Pareto et Liberte\n-- Pareto + Liberalisme minimal sont contradictoires\n-- Preuve complete: game_theory_lean/SocialChoice/Sen.lean, theorem sen_impossibility\n-- (0 sorry, ~300 lignes, construction de profil avec cycle social)\n\ntheorem sen_impossibility_sketch\n    {I A : Type}\n    [DecidableEq A]\n    [Inhabited I] [Inhabited A]\n    (swf : SocialWelfareFunction I A)\n    (h_pareto : WeakPareto swf)\n    (h_liberal : MinimalLiberalism swf)\n    -- Hypotheses de cardinalite necessaires pour le theoreme\n    (h_two_voters : \u2203 i j : I, i \u2260 j)\n    (h_three_alts : \u2203 a b c : A, a \u2260 b \u2227 b \u2260 c \u2227 a \u2260 c) :\n    -- Pareto et Liberalisme sont incompatibles\n    False := by\n  sorry\n\n#check @sen_impossibility_sketch", "env": 9}

Raw output

{"sorries":
 [{"proofState": 2,
   "pos": {"line": 18, "column": 2},
   "goal":
   "I A : Type\ninst✝² : DecidableEq A\ninst✝¹ : Inhabited I\ninst✝ : Inhabited A\nswf : SocialWelfareFunction I A\nh_pareto : WeakPareto swf\nh_liberal : MinimalLiberalism swf\nh_two_voters : ∃ i j, i ≠ j\nh_three_alts : ∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c\n⊢ False",
   "endPos": {"line": 18, "column": 7}}],
 "messages":
 [{"severity": "warning",
   "pos": {"line": 6, "column": 8},
   "endPos": {"line": 6, "column": 32},
   "data": "declaration uses `sorry`"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 20, "column": 0},
   "endPos": {"line": 20, "column": 6},
   "data":
   "@sen_impossibility_sketch : ∀ {I A : Type} [DecidableEq A] [Inhabited I] [Inhabited A]\n  (swf : SocialWelfareFunction I A),\n  WeakPareto swf → MinimalLiberalism swf → (∃ i j, i ≠ j) → (∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) → False"}],
 "env": 10}

L’exemple de Lady Chatterley est illustre dans le notebook Python compagnon 03-Voting-Methods.ipynb.

5. Theoreme de l’Electeur Median

5.1 Préférences unimodales (Single-peaked)

Le theoreme d’Arrow montre qu’aucune règle de vote parfaite n’existe en general. Cependant, si on restreint le domaine a des préférences unimodales, des résultats positifs emergent.

-- Preferences unimodales (single-peaked)
-- L'espace des alternatives est ordonne (ex: gauche-droite sur [0, 1])

def SinglePeaked {A : Type} (le : A → A → Prop) (p : Preference A) (peak : A) : Prop :=
  -- A gauche du pic : plus on approche du pic, mieux c'est
  (∀ x y : A, le x y → le y peak ∨ y = peak → p.R y x) ∧
  -- A droite du pic : plus on s'eloigne du pic, moins bon c'est
  (∀ x y : A, le peak x ∨ peak = x → le x y → p.R x y)

#check @SinglePeaked

-- Un profil est unimodal si tous les electeurs ont des preferences unimodales
-- Note: On utilise un ordre explicite (le) au lieu de [LinearOrder A] pour eviter Mathlib
def SinglePeakedProfile {I A : Type} (le : A → A → Prop) (prefs : Profile I A) : Prop :=
  ∀ i : I, ∃ peak : A, SinglePeaked le (prefs i) peak

#check @SinglePeakedProfile

-- Preferences unimodales (single-peaked)

-- L'espace des alternatives est ordonne (ex: gauche-droite sur [0, 1])

def SinglePeaked {A : Type} (le : A → A → Prop) (p : Preference A) (peak : A) : Prop :=

  -- A gauche du pic : plus on approche du pic, mieux c'est

  (∀ x y : A, le x y → le y peak ∨ y = peak → p.R y x) ∧

  -- A droite du pic : plus on s'eloigne du pic, moins bon c'est

  (∀ x y : A, le peak x ∨ peak = x → le x y → p.R x y)

#check @SinglePeaked @SinglePeaked : {A : Type} → (A → A → Prop) → Preference A → A → Prop

-- Un profil est unimodal si tous les electeurs ont des preferences unimodales

-- Note: On utilise un ordre explicite (le) au lieu de [LinearOrder A] pour eviter Mathlib

def SinglePeakedProfile {I A : Type} (le : A → A → Prop) (prefs : Profile I A) : Prop :=

  ∀ i : I, ∃ peak : A, SinglePeaked le (prefs i) peak

#check @SinglePeakedProfile @SinglePeakedProfile : {I A : Type} → (A → A → Prop) → Profile I A → Prop

--% env 11

Raw input

{"cmd": "-- Preferences unimodales (single-peaked)\n-- L'espace des alternatives est ordonne (ex: gauche-droite sur [0, 1])\n\ndef SinglePeaked {A : Type} (le : A \u2192 A \u2192 Prop) (p : Preference A) (peak : A) : Prop :=\n  -- A gauche du pic : plus on approche du pic, mieux c'est\n  (\u2200 x y : A, le x y \u2192 le y peak \u2228 y = peak \u2192 p.R y x) \u2227\n  -- A droite du pic : plus on s'eloigne du pic, moins bon c'est\n  (\u2200 x y : A, le peak x \u2228 peak = x \u2192 le x y \u2192 p.R x y)\n\n#check @SinglePeaked\n\n-- Un profil est unimodal si tous les electeurs ont des preferences unimodales\n-- Note: On utilise un ordre explicite (le) au lieu de [LinearOrder A] pour eviter Mathlib\ndef SinglePeakedProfile {I A : Type} (le : A \u2192 A \u2192 Prop) (prefs : Profile I A) : Prop :=\n  \u2200 i : I, \u2203 peak : A, SinglePeaked le (prefs i) peak\n\n#check @SinglePeakedProfile", "env": 10}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 10, "column": 0},
   "endPos": {"line": 10, "column": 6},
   "data":
   "@SinglePeaked : {A : Type} → (A → A → Prop) → Preference A → A → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 17, "column": 0},
   "endPos": {"line": 17, "column": 6},
   "data":
   "@SinglePeakedProfile : {I A : Type} → (A → A → Prop) → Profile I A → Prop"}],
 "env": 11}

Unimodalité : la restriction de domaine comme issue de secours. SinglePeaked demande un ordre sous-jacent le sur les alternatives et un pic peak : s’éloigner du pic dans un sens ou l’autre ne fait jamais monter la préférence. Ce que la définition EXCLUT est plus instructif que ce qu’elle impose : les préférences à double creux (aimer les deux extrêmes, détester le centre — le profil du conflit gauche-droite sans centre) sont non-unimodales, et c’est exactement le matériau des cycles de Condorcet. La leçon de design théorique : les théorèmes d’impossibilité d’Arrow et de Sen sont des énoncés pour tout domaine ; restreindre le domaine (une hypothèse de plus, mais une hypothèse sur les profils admis, pas sur l’agrégateur) peut rouvrir l’existence — c’est le théorème de Black qui suit, et c’est la stratégie générale de toute la théorie du choix social post-Arrow : voter n’est pathologique que sur les domaines pathologiques.

5.2 Theoreme de l’electeur median

Theoreme (Black 1948) : Si tous les electeurs ont des préférences unimodales sur un espace unidimensionnel, alors sous vote majoritaire, l’alternative preferee de l’electeur median est le vainqueur de Condorcet.

-- Theoreme de l'electeur median : sous preferences unimodales,
-- il existe un gagnant de Condorcet
-- Note: La preuve complete necessite Fintype + LinearOrder + cardinalite impaire.
-- Le projet game_theory_lean/SocialChoice/ ne contient pas encore cette preuve (a venir).

-- Un gagnant de Condorcet : alternative que tout electeur prefere
-- aux alternatives situees du cote oppose de son pic
-- C'est la propriete structurelle qui rend le gagnant de Condorcet possible
def CondorcetWinner {I A : Type}
    (winner : A) (le : A → A → Prop) (prefs : Profile I A) : Prop :=
  ∀ i : I, ∀ peak alt : A,
    SinglePeaked le (prefs i) peak → alt ≠ winner →
      -- Si le pic est a gauche (ou egal) et alt a droite, l'electeur prefere winner
      ((le peak winner ∨ peak = winner) → le winner alt →
        (prefs i).R winner alt) ∧
      -- Si le pic est a droite (ou egal) et alt a gauche, l'electeur prefere winner
      ((le winner peak ∨ winner = peak) → le alt winner →
        (prefs i).R winner alt)

theorem median_voter_theorem_sketch
    {I A : Type} [Inhabited I]
    (le : A → A → Prop)
    (prefs : Profile I A)
    (h_single_peaked : SinglePeakedProfile le prefs) :
    -- Il existe un gagnant de Condorcet
    -- La preuve complete (construction du median) necessite Fintype
    ∃ winner : A, CondorcetWinner winner le prefs := by
  sorry

#check @median_voter_theorem_sketch

-- Theoreme de l'electeur median : sous preferences unimodales,

-- il existe un gagnant de Condorcet

-- Note: La preuve complete necessite Fintype + LinearOrder + cardinalite impaire.

-- Le projet game_theory_lean/SocialChoice/ ne contient pas encore cette preuve (a venir).

-- Un gagnant de Condorcet : alternative que tout electeur prefere

-- aux alternatives situees du cote oppose de son pic

-- C'est la propriete structurelle qui rend le gagnant de Condorcet possible

def CondorcetWinner {I A : Type}

    (winner : A) (le : A → A → Prop) (prefs : Profile I A) : Prop :=

  ∀ i : I, ∀ peak alt : A,

    SinglePeaked le (prefs i) peak → alt ≠ winner →

      -- Si le pic est a gauche (ou egal) et alt a droite, l'electeur prefere winner

      ((le peak winner ∨ peak = winner) → le winner alt →

        (prefs i).R winner alt) ∧

      -- Si le pic est a droite (ou egal) et alt a gauche, l'electeur prefere winner

      ((le winner peak ∨ winner = peak) → le alt winner →

        (prefs i).R winner alt)

theorem median_voter_theorem_sketch🟨 declaration uses `sorry`

    {I A : Type} [Inhabited I]

    (le : A → A → Prop)

    (prefs : Profile I A)

    (h_single_peaked : SinglePeakedProfile le prefs) :

    -- Il existe un gagnant de Condorcet

    -- La preuve complete (construction du median) necessite Fintype

    ∃ winner : A, CondorcetWinner winner le prefs := by

  sorry

#check @median_voter_theorem_sketch @median_voter_theorem_sketch : ∀ {I A : Type} [Inhabited I] (le : A → A → Prop) (prefs : Profile I A),
  SinglePeakedProfile le prefs → ∃ winner, CondorcetWinner winner le prefs

--% env 12

--% prove 3

Raw input

{"cmd": "-- Theoreme de l'electeur median : sous preferences unimodales,\n-- il existe un gagnant de Condorcet\n-- Note: La preuve complete necessite Fintype + LinearOrder + cardinalite impaire.\n-- Le projet game_theory_lean/SocialChoice/ ne contient pas encore cette preuve (a venir).\n\n-- Un gagnant de Condorcet : alternative que tout electeur prefere\n-- aux alternatives situees du cote oppose de son pic\n-- C'est la propriete structurelle qui rend le gagnant de Condorcet possible\ndef CondorcetWinner {I A : Type}\n    (winner : A) (le : A \u2192 A \u2192 Prop) (prefs : Profile I A) : Prop :=\n  \u2200 i : I, \u2200 peak alt : A,\n    SinglePeaked le (prefs i) peak \u2192 alt \u2260 winner \u2192\n      -- Si le pic est a gauche (ou egal) et alt a droite, l'electeur prefere winner\n      ((le peak winner \u2228 peak = winner) \u2192 le winner alt \u2192\n        (prefs i).R winner alt) \u2227\n      -- Si le pic est a droite (ou egal) et alt a gauche, l'electeur prefere winner\n      ((le winner peak \u2228 winner = peak) \u2192 le alt winner \u2192\n        (prefs i).R winner alt)\n\ntheorem median_voter_theorem_sketch\n    {I A : Type} [Inhabited I]\n    (le : A \u2192 A \u2192 Prop)\n    (prefs : Profile I A)\n    (h_single_peaked : SinglePeakedProfile le prefs) :\n    -- Il existe un gagnant de Condorcet\n    -- La preuve complete (construction du median) necessite Fintype\n    \u2203 winner : A, CondorcetWinner winner le prefs := by\n  sorry\n\n#check @median_voter_theorem_sketch", "env": 11}

Raw output

{"sorries":
 [{"proofState": 3,
   "pos": {"line": 28, "column": 2},
   "goal":
   "I A : Type\ninst✝ : Inhabited I\nle : A → A → Prop\nprefs : Profile I A\nh_single_peaked : SinglePeakedProfile le prefs\n⊢ ∃ winner, CondorcetWinner I A winner le prefs",
   "endPos": {"line": 28, "column": 7}}],
 "messages":
 [{"severity": "warning",
   "pos": {"line": 20, "column": 8},
   "endPos": {"line": 20, "column": 35},
   "data": "declaration uses `sorry`"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 30, "column": 0},
   "endPos": {"line": 30, "column": 6},
   "data":
   "@median_voter_theorem_sketch : ∀ {I A : Type} [Inhabited I] (le : A → A → Prop) (prefs : Profile I A),\n  SinglePeakedProfile le prefs → ∃ winner, CondorcetWinner winner le prefs"}],
 "env": 12}

Le théorème médian, annoncé avec sa dette. La cellule est honnête : la preuve complète n’est pas encore dans le lake (il manque Fintype, LinearOrder, et la cardinalité impaire du nombre d’électeurs), et l’énoncé est donné comme aspiration. C’est une situation normale dans un compagnon natif : le notebook documente l’écart entre le théorème mathématique (Black 1948 : sous unimodalité et cardinalité impaire, le pic de l’électeur médian bat toute alternative en duel) et l’état de la formalisation. L’exercice 6 fait vérifier l’énoncé sur une instance concrète à trois électeurs (pics fixés dans son énoncé) — une vérification d’instance n’est pas une preuve du théorème, mais elle ancre l’intuition : l’électeur médian gagne parce qu’un côté du pic contient au plus la moitié des électeurs, chacun préférant s’approcher du centre. La dette formalisation vs théorème est tracée, pas maquillée.

6. Exemples guides

Exemple guide 1 : Dictature et axiomes

Montrez qu’une dictature (ou un individu copie les préférences d’un electeur designe) satisfait les axoimes de Pareto faible et IIA. Construisez la dictature en Lean et prouvez ces deux proprietes.

Indice : Definissez comme une SWF qui retourne les préférences d’un individu fixe . Pour Pareto, utilisez le fait que si tout le monde prefere a , alors aussi. Pour IIA, montrez que la restriction a une paire ne change pas la préférence du dictateur.

-- TODO etudiant : Definir dictatorship (SWF qui copie les preferences de d)
-- def dictatorship {I A : Type} (d : I) : SocialWelfareFunction I A := ...

-- TODO etudiant : Prouver qu'une dictature satisfait Pareto faible
-- theorem dictatorship_pareto {I A : Type} (d : I) :
--     WeakPareto (dictatorship d (I := I) (A := A)) := by ...

-- TODO etudiant : Prouver qu'une dictature satisfait IIA
-- theorem dictatorship_iia {I A : Type} (d : I) :
--     IIA (dictatorship d (I := I) (A := A)) := by ...

-- Indice: pour dictatorship, le champ f de la SWF est fun prefs => prefs d
-- Indice: pour Pareto, h_all d donne la preference du dictateur
-- Indice: pour IIA, simp only [dictatorship] puis utiliser h_xy d

-- pass  -- placeholder etudiant (Lean 4 n'a pas de mot-cle pass ; sera complete par l'etudiant)
example : True := trivial  -- no-op de stub : une cellule uniquement en commentaires est une erreur de parse Lean

-- TODO etudiant : Definir dictatorship (SWF qui copie les preferences de d)

-- def dictatorship {I A : Type} (d : I) : SocialWelfareFunction I A := ...

-- TODO etudiant : Prouver qu'une dictature satisfait Pareto faible

-- theorem dictatorship_pareto {I A : Type} (d : I) :

--     WeakPareto (dictatorship d (I := I) (A := A)) := by ...

-- TODO etudiant : Prouver qu'une dictature satisfait IIA

-- theorem dictatorship_iia {I A : Type} (d : I) :

--     IIA (dictatorship d (I := I) (A := A)) := by ...

-- Indice: pour dictatorship, le champ f de la SWF est fun prefs => prefs d

-- Indice: pour Pareto, h_all d donne la preference du dictateur

-- Indice: pour IIA, simp only [dictatorship] puis utiliser h_xy d

-- pass  -- placeholder etudiant (Lean 4 n'a pas de mot-cle pass ; sera complete par l'etudiant)

example : True := trivial  -- no-op de stub : une cellule uniquement en commentaires est une erreur de parse Lean

--% env 13

Raw input

{"cmd": "-- TODO etudiant : Definir dictatorship (SWF qui copie les preferences de d)\n-- def dictatorship {I A : Type} (d : I) : SocialWelfareFunction I A := ...\n\n-- TODO etudiant : Prouver qu'une dictature satisfait Pareto faible\n-- theorem dictatorship_pareto {I A : Type} (d : I) :\n--     WeakPareto (dictatorship d (I := I) (A := A)) := by ...\n\n-- TODO etudiant : Prouver qu'une dictature satisfait IIA\n-- theorem dictatorship_iia {I A : Type} (d : I) :\n--     IIA (dictatorship d (I := I) (A := A)) := by ...\n\n-- Indice: pour dictatorship, le champ f de la SWF est fun prefs => prefs d\n-- Indice: pour Pareto, h_all d donne la preference du dictateur\n-- Indice: pour IIA, simp only [dictatorship] puis utiliser h_xy d\n\n-- pass  -- placeholder etudiant (Lean 4 n'a pas de mot-cle pass ; sera complete par l'etudiant)\nexample : True := trivial  -- no-op de stub : une cellule uniquement en commentaires est une erreur de parse Lean", "env": 12}

Raw output

{"env": 13}

Exemple guide 2 : Deux alternatives

Expliquez pourquoi, avec exactement 2 alternatives, la règle majoritaire satisfait Pareto, IIA et Non-dictature. Quel hypothesis du theoreme d’Arrow est relaxee ?

Indice : La condition |A| >= 3 est essentielle. Avec 2 alternatives, la règle majoritaire est une SWF valide qui satisfait les trois axiomes. Voir 03-Voting-Methods.ipynb pour l’illustration.

7. Exercices supplementaires

Les trois exercices ci-dessous s’appuient sur les definitions formalisees en sections 1-5. Ils sont independants et les stubs compilent tel quel (C.1).

-- EXERCICE 4 : Verifier que le Pareto est respecte sur un profil concret
-- ================================================================
-- Soit 2 individus (Alice : Fin 2 = 0, Bob : Fin 2 = 1) et 3 alternatives (a, b, c).
-- Tous deux preferent strictement a > b (meme preference stricte).
-- La SWF doit respecter le Pareto : si tous preferent x a y, la societe aussi.

-- TODO etudiant : calculer si la SWF `dictatorship Alice` respecte Pareto
-- quand Alice et Bob preferent tous les deux a > b.
-- Indice : dans une dictature d'Alice, le resultat social = preference d'Alice.
-- Si Alice prefere a > b strictement, la societe prefere a > b strictement.
-- Donc la dictature d'Alice SATISFAIT le Pareto pour ce profil.

-- Reponse attendue : OUI, dictatorship satisfait WeakPareto (cf Exemple guide 1)

#eval "Exercice 4 : verifier Pareto sur un profil concret"

-- EXERCICE 4 : Verifier que le Pareto est respecte sur un profil concret

-- ================================================================

-- Soit 2 individus (Alice : Fin 2 = 0, Bob : Fin 2 = 1) et 3 alternatives (a, b, c).

-- Tous deux preferent strictement a > b (meme preference stricte).

-- La SWF doit respecter le Pareto : si tous preferent x a y, la societe aussi.

-- TODO etudiant : calculer si la SWF `dictatorship Alice` respecte Pareto

-- quand Alice et Bob preferent tous les deux a > b.

-- Indice : dans une dictature d'Alice, le resultat social = preference d'Alice.

-- Si Alice prefere a > b strictement, la societe prefere a > b strictement.

-- Donc la dictature d'Alice SATISFAIT le Pareto pour ce profil.

-- Reponse attendue : OUI, dictatorship satisfait WeakPareto (cf Exemple guide 1)

#eval "Exercice 4 : verifier Pareto sur un profil concret" "Exercice 4 : verifier Pareto sur un profil concret"

--% env 14

Raw input

{"cmd": "-- EXERCICE 4 : Verifier que le Pareto est respecte sur un profil concret\n-- ================================================================\n-- Soit 2 individus (Alice : Fin 2 = 0, Bob : Fin 2 = 1) et 3 alternatives (a, b, c).\n-- Tous deux preferent strictement a > b (meme preference stricte).\n-- La SWF doit respecter le Pareto : si tous preferent x a y, la societe aussi.\n\n-- TODO etudiant : calculer si la SWF `dictatorship Alice` respecte Pareto\n-- quand Alice et Bob preferent tous les deux a > b.\n-- Indice : dans une dictature d'Alice, le resultat social = preference d'Alice.\n-- Si Alice prefere a > b strictement, la societe prefere a > b strictement.\n-- Donc la dictature d'Alice SATISFAIT le Pareto pour ce profil.\n\n-- Reponse attendue : OUI, dictatorship satisfait WeakPareto (cf Exemple guide 1)\n\n#eval \"Exercice 4 : verifier Pareto sur un profil concret\"", "env": 13}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 15, "column": 0},
   "endPos": {"line": 15, "column": 5},
   "data": "\"Exercice 4 : verifier Pareto sur un profil concret\""}],
 "env": 14}

-- EXERCICE 5 : Cycle de Condorcet sur 3 alternatives
-- ===================================================
-- 3 electeurs et 3 alternatives (a, b, c).
-- Preferences :
--   Electeur 0 : a > b > c
--   Electeur 1 : b > c > a
--   Electeur 2 : c > a > b
-- Question : y a-t-il un vainqueur de Condorcet ?

-- TODO etudiant : calculer les marges pair-a-pair
--   a vs b : electeurs 0 et 2 preferent a (2 voix) -> a bat b
--   b vs c : electeurs 0 et 1 preferent b (2 voix) -> b bat c
--   c vs a : electeurs 1 et 2 preferent c (2 voix) -> c bat a
-- Resultat : cycle parfait (a>b>c>a), PAS de vainqueur de Condorcet.

-- TODO etudiant : confirmer que chaque marge = 2
def margin_a_vs_b : Nat := 2  -- TODO etudiant : verifier le calcul
def margin_b_vs_c : Nat := 2  -- TODO etudiant : verifier le calcul
def margin_c_vs_a : Nat := 2  -- TODO etudiant : verifier le calcul

#eval (margin_a_vs_b, margin_b_vs_c, margin_c_vs_a)
-- Resultat attendu : (2, 2, 2) => cycle, pas de Condorcet

-- EXERCICE 5 : Cycle de Condorcet sur 3 alternatives

-- ===================================================

-- 3 electeurs et 3 alternatives (a, b, c).

-- Preferences :

--   Electeur 0 : a > b > c

--   Electeur 1 : b > c > a

--   Electeur 2 : c > a > b

-- Question : y a-t-il un vainqueur de Condorcet ?

-- TODO etudiant : calculer les marges pair-a-pair

--   a vs b : electeurs 0 et 2 preferent a (2 voix) -> a bat b

--   b vs c : electeurs 0 et 1 preferent b (2 voix) -> b bat c

--   c vs a : electeurs 1 et 2 preferent c (2 voix) -> c bat a

-- Resultat : cycle parfait (a>b>c>a), PAS de vainqueur de Condorcet.

-- TODO etudiant : confirmer que chaque marge = 2

def margin_a_vs_b : Nat := 2  -- TODO etudiant : verifier le calcul

def margin_b_vs_c : Nat := 2  -- TODO etudiant : verifier le calcul

def margin_c_vs_a : Nat := 2  -- TODO etudiant : verifier le calcul

#eval (margin_a_vs_b, margin_b_vs_c, margin_c_vs_a) (2, 2, 2)

-- Resultat attendu : (2, 2, 2) => cycle, pas de Condorcet

--% env 15

Raw input

{"cmd": "-- EXERCICE 5 : Cycle de Condorcet sur 3 alternatives\n-- ===================================================\n-- 3 electeurs et 3 alternatives (a, b, c).\n-- Preferences :\n--   Electeur 0 : a > b > c\n--   Electeur 1 : b > c > a\n--   Electeur 2 : c > a > b\n-- Question : y a-t-il un vainqueur de Condorcet ?\n\n-- TODO etudiant : calculer les marges pair-a-pair\n--   a vs b : electeurs 0 et 2 preferent a (2 voix) -> a bat b\n--   b vs c : electeurs 0 et 1 preferent b (2 voix) -> b bat c\n--   c vs a : electeurs 1 et 2 preferent c (2 voix) -> c bat a\n-- Resultat : cycle parfait (a>b>c>a), PAS de vainqueur de Condorcet.\n\n-- TODO etudiant : confirmer que chaque marge = 2\ndef margin_a_vs_b : Nat := 2  -- TODO etudiant : verifier le calcul\ndef margin_b_vs_c : Nat := 2  -- TODO etudiant : verifier le calcul\ndef margin_c_vs_a : Nat := 2  -- TODO etudiant : verifier le calcul\n\n#eval (margin_a_vs_b, margin_b_vs_c, margin_c_vs_a)\n-- Resultat attendu : (2, 2, 2) => cycle, pas de Condorcet", "env": 14}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 21, "column": 0},
   "endPos": {"line": 21, "column": 5},
   "data": "(2, 2, 2)"}],
 "env": 15}

-- EXERCICE 6 : Preferences unimodales et electeur median
-- ======================================================
-- Theoreme (Black 1948) : sous preferences unimodales, l'electeur median
-- est un vainqueur de Condorcet.

-- 3 electeurs sur un axe [0, 1] : pics 0.2, 0.5, 0.8
-- 3 alternatives : A=0.0, M=0.5, D=1.0

-- TODO etudiant : verifier que M bat A et M bat D
--   Electeur pic=0.2 : |0.2-0.0|=0.2 < |0.2-0.5|=0.3 => A > M > D
--   Electeur pic=0.5 : |0.5-0.5|=0.0 < |0.5-0.0|=0.5 => M > A=D
--   Electeur pic=0.8 : |0.8-1.0|=0.2 < |0.8-0.5|=0.3 => D > M > A
-- M vs A : 2/3 preferent M (0.5, 0.8) => M bat A
-- M vs D : 2/3 preferent M (0.2, 0.5) => M bat D
-- Conclusion : M = median = vainqueur de Condorcet

def margin_M_vs_A : Nat := 2  -- TODO etudiant : confirmer
def margin_M_vs_D : Nat := 2  -- TODO etudiant : confirmer

#eval (margin_M_vs_A, margin_M_vs_D)
-- Resultat attendu : (2, 2) => M bat tous => Condorcet

-- EXERCICE 6 : Preferences unimodales et electeur median

-- ======================================================

-- Theoreme (Black 1948) : sous preferences unimodales, l'electeur median

-- est un vainqueur de Condorcet.

-- 3 electeurs sur un axe [0, 1] : pics 0.2, 0.5, 0.8

-- 3 alternatives : A=0.0, M=0.5, D=1.0

-- TODO etudiant : verifier que M bat A et M bat D

--   Electeur pic=0.2 : |0.2-0.0|=0.2 < |0.2-0.5|=0.3 => A > M > D

--   Electeur pic=0.5 : |0.5-0.5|=0.0 < |0.5-0.0|=0.5 => M > A=D

--   Electeur pic=0.8 : |0.8-1.0|=0.2 < |0.8-0.5|=0.3 => D > M > A

-- M vs A : 2/3 preferent M (0.5, 0.8) => M bat A

-- M vs D : 2/3 preferent M (0.2, 0.5) => M bat D

-- Conclusion : M = median = vainqueur de Condorcet

def margin_M_vs_A : Nat := 2  -- TODO etudiant : confirmer

def margin_M_vs_D : Nat := 2  -- TODO etudiant : confirmer

#eval (margin_M_vs_A, margin_M_vs_D) (2, 2)

-- Resultat attendu : (2, 2) => M bat tous => Condorcet

--% env 16

Raw input

{"cmd": "-- EXERCICE 6 : Preferences unimodales et electeur median\n-- ======================================================\n-- Theoreme (Black 1948) : sous preferences unimodales, l'electeur median\n-- est un vainqueur de Condorcet.\n\n-- 3 electeurs sur un axe [0, 1] : pics 0.2, 0.5, 0.8\n-- 3 alternatives : A=0.0, M=0.5, D=1.0\n\n-- TODO etudiant : verifier que M bat A et M bat D\n--   Electeur pic=0.2 : |0.2-0.0|=0.2 < |0.2-0.5|=0.3 => A > M > D\n--   Electeur pic=0.5 : |0.5-0.5|=0.0 < |0.5-0.0|=0.5 => M > A=D\n--   Electeur pic=0.8 : |0.8-1.0|=0.2 < |0.8-0.5|=0.3 => D > M > A\n-- M vs A : 2/3 preferent M (0.5, 0.8) => M bat A\n-- M vs D : 2/3 preferent M (0.2, 0.5) => M bat D\n-- Conclusion : M = median = vainqueur de Condorcet\n\ndef margin_M_vs_A : Nat := 2  -- TODO etudiant : confirmer\ndef margin_M_vs_D : Nat := 2  -- TODO etudiant : confirmer\n\n#eval (margin_M_vs_A, margin_M_vs_D)\n-- Resultat attendu : (2, 2) => M bat tous => Condorcet", "env": 15}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 20, "column": 0},
   "endPos": {"line": 20, "column": 5},
   "data": "(2, 2)"}],
 "env": 16}

Attendus et anti-pièges (exercices du TODO et 4 à 6)

TODO (dictature + Pareto). Attendu : dictatorship d copie la préférence de d (swf.f prefs := prefs d) ; la preuve de Pareto est alors une réécriture — l’unanimité stricte de tous contient celle de d, et le verdict social EST celui de d. Anti-piège : définir la dictature sur la préférence faible rend le théorème trivial mais la définition non-standard ; la convention du notebook (copie stricte) est celle sous laquelle Arrow est énoncé.

Exercice 4 (Pareto sur un profil concret). Attendu : un example instancié — Alice et Bob, a > b à l’unanimité stricte, conclure swf.f prefs |>.strict a b depuis WeakPareto. La démonstration est une application directe du lemme, pas une induction. Anti-piège : vérifier le Pareto en regardant seulement le profil SANS appliquer l’axiome (re-dériver la conclusion à la main) — l’exercice évalue le réflexe d’instancier un théorème, pas de refaire sa preuve.

Exercice 5 (cycle de Condorcet). Attendu : aucun vainqueur de Condorcet — a bat b (électeurs 0 et 2), b bat c (0 et 1), c bat a (1 et 2), le tournoi est un cycle. Le verdict à écrire : ¬ ∃ w, IsCondorcetWinner w (ou sa version à marges de la section 6). Anti-piège : conclure « donc la règle majoritaire est mauvaise » — l’exercice mesure une instance ; la section Peters (impossibilités de Condorcet) montrera que TOUTE règle cohérente-Condorcet résolue perd autre chose, le cycle n’est pas une pathologie de la règle mais du domaine (cf. l’unimodalité du théorème médian : ce profil n’est pas unimodal).

Exercice 6 (médian sur pics 0.2/0.5/0.8). Attendu : M (position 0.5) gagne les deux duels — contre A (pics 0.5 et 0.8 le préfèrent), contre D (pics 0.2 et 0.5). Le point pédagogique : le vainqueur est le pic MÉDIAN (0.5), pas le pic moyen (0.5 aussi ici — choisir des exemples où les deux diffèrent serait plus discriminant, un réflexe de concepteur d’exercice). Anti-piège : vérifier seulement un duel — un vainqueur de Condorcet doit battre TOUTE alternative, et sur 3 alternatives le second duel est une ligne de plus, pas une option.

La série d’exercices comme arc. Les quatre questions se répondent en écho : le TODO (une dictature EST une SWF légitime au sens des axiomes individuels) montre que Pareto seul n’exclut rien ; l’exercice 4 instancie l’axiome sur un profil ; l’exercice 5 exhibe le domaine qui tue l’existence d’un gagnant ; l’exercice 6 exhibe le domaine qui la restaure. Ensemble, ils balayent la thèse du notebook : les théorèmes d’impossibilité ne disent pas « la démocratie est impossible », ils mesurent le prix exact — trois axiomes incompatibles, et la marge de manœuvre se joue sur le domaine des profils admis.

Synthese

Ce notebook a formalise en Lean 4 les definitions et axiomes du choix social, esquisse les deux theoremes fondateurs (Arrow, Sen) et illustre le theoreme de l’electeur median. Les exercices supplementaires ont permis de manipuler concretement :

La verification du Pareto sur un profil concret (section 6, Exemple guide 1)
Un cycle de Condorcet sur un profil 3x3 (pas de vainqueur)
Le rôle cle des préférences unimodales pour garantir un vainqueur de Condorcet

Concept	Definition Lean	Cas d’usage
Préférence	`Préférence A`	relation binaire faible + complete + transitive
Profil	`Profile I A = I -> Préférence A`	préférences de chaque individu
SWF	`SocialWelfareFunction I A`	agrege profiles en préférence sociale
Pareto	`WeakPareto swf`	unanimite respectee
IIA	`IIA swf`	indépendance options non pertinentes
Dictateur	`IsDictator swf d`	d impose ses préférences

Theoreme d’Arrow (1951) : avec 3+ alternatives et 2+ individus, toute SWF satisfaisant Pareto + IIA est dictatoriale. Prouve dans MyIA.AI.Notebooks/GameTheory/game_theory_lean/SocialChoice/Arrow.lean.

Theoreme de Sen (1970) : Pareto + liberalisme minimal sont incompatibles. Prouve dans Sen.lean. Le paradoxe de Lady Chatterley illustre ce résultat dans le notebook Python compagnon 03-Voting-Methods.ipynb.

Annexe : Tour de SocialChoiceLean (Dominik Peters)

Cette section presente la librairie SocialChoiceLean de Dominik Peters, qui formalise en Lean 4 (avec Mathlib) de nombreuses règles de vote et theoremes d’impossibilite. Elle complete les preuves du port etendues dans ce notebook.

1. Cadre Formel

DominikPeters utilise un cadre base sur les préférences strictes (ordres lineaires stricts), ou chaque electeur a un classement sans ex aequo. Ce choix simplifie les definitions des marges et des axiomes par rapport aux préférences faibles.

-- Simplified framework inspired by DominikPeters/SocialChoiceLean
-- Full formalization (with Mathlib): social_choice_lean_peters/PetersTour.lean

-- Strict preference: total strict order
-- Replaces Mathlib's LinearOrder for kernel compatibility
structure StrictPref (A : Type) where
  lt : A → A → Prop
  irrefl : ∀ x, ¬ lt x x
  trans : ∀ x y z, lt x y → lt y z → lt x z
  conn : ∀ x y, x ≠ y → lt x y ∨ lt y x

-- Voting profile: each voter has a strict preference
def VotingProfile (V A : Type) := V → StrictPref A

-- Voting rule: maps profile to a set of winners (as predicate)
def VotingRule (V A : Type) := VotingProfile V A → (A → Prop)

-- A rule is resolute if it always selects exactly one winner
def IsResolute {V A : Type} (f : VotingRule V A) : Prop :=
  ∀ P, ∃ c : A, f P c ∧ ∀ d, f P d → d = c

#check @StrictPref
#check @VotingProfile
#check @VotingRule
#check @IsResolute

-- Simplified framework inspired by DominikPeters/SocialChoiceLean

-- Full formalization (with Mathlib): social_choice_lean_peters/PetersTour.lean

-- Strict preference: total strict order

-- Replaces Mathlib's LinearOrder for kernel compatibility

structure StrictPref (A : Type) where

  lt : A → A → Prop

  irrefl : ∀ x, ¬ lt x x

  trans : ∀ x y z, lt x y → lt y z → lt x z

  conn : ∀ x y, x ≠ y → lt x y ∨ lt y x

-- Voting profile: each voter has a strict preference

def VotingProfile (V A : Type) := V → StrictPref A

-- Voting rule: maps profile to a set of winners (as predicate)

def VotingRule (V A : Type) := VotingProfile V A → (A → Prop)

-- A rule is resolute if it always selects exactly one winner

def IsResolute {V A : Type} (f : VotingRule V A) : Prop :=

  ∀ P, ∃ c : A, f P c ∧ ∀ d, f P d → d = c

#check @StrictPref StrictPref : Type → Type

#check @VotingProfile VotingProfile : Type → Type → Type

#check @VotingRule VotingRule : Type → Type → Type

#check @IsResolute @IsResolute : {V A : Type} → VotingRule V A → Prop

--% env 17

Raw input

{"cmd": "-- Simplified framework inspired by DominikPeters/SocialChoiceLean\n-- Full formalization (with Mathlib): social_choice_lean_peters/PetersTour.lean\n\n-- Strict preference: total strict order\n-- Replaces Mathlib's LinearOrder for kernel compatibility\nstructure StrictPref (A : Type) where\n  lt : A \u2192 A \u2192 Prop\n  irrefl : \u2200 x, \u00ac lt x x\n  trans : \u2200 x y z, lt x y \u2192 lt y z \u2192 lt x z\n  conn : \u2200 x y, x \u2260 y \u2192 lt x y \u2228 lt y x\n\n-- Voting profile: each voter has a strict preference\ndef VotingProfile (V A : Type) := V \u2192 StrictPref A\n\n-- Voting rule: maps profile to a set of winners (as predicate)\ndef VotingRule (V A : Type) := VotingProfile V A \u2192 (A \u2192 Prop)\n\n-- A rule is resolute if it always selects exactly one winner\ndef IsResolute {V A : Type} (f : VotingRule V A) : Prop :=\n  \u2200 P, \u2203 c : A, f P c \u2227 \u2200 d, f P d \u2192 d = c\n\n#check @StrictPref\n#check @VotingProfile\n#check @VotingRule\n#check @IsResolute", "env": 16}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 22, "column": 0},
   "endPos": {"line": 22, "column": 6},
   "data": "StrictPref : Type → Type"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 23, "column": 0},
   "endPos": {"line": 23, "column": 6},
   "data": "VotingProfile : Type → Type → Type"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 24, "column": 0},
   "endPos": {"line": 24, "column": 6},
   "data": "VotingRule : Type → Type → Type"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 25, "column": 0},
   "endPos": {"line": 25, "column": 6},
   "data": "@IsResolute : {V A : Type} → VotingRule V A → Prop"}],
 "env": 17}

Interpretation

Concept	Peters (Mathlib)	Ce notebook (simplifie)
Préférence stricte	`LinearOrder A` (classe)	`StrictPref A` (structure)
Profil	`Profile V A [Fintype V]`	`VotingProfile V A = V -> StrictPref A`
Règle	`VotingRule` (polymorphe Fintype)	`VotingRule V A = Profile -> (A -> Prop)`
Resolutude	`Resolute f`	`IsResolute f`

Dans Peters, LinearOrder fournit lt automatiquement. Ici, on le définit explicitement avec irrefl, trans, et conn (totalite pour les éléments distincts).

2. Marges et Vainqueur de Condorcet

La marge d’un candidat sur un autre mesure l’ecart de votes : combien d’electeurs preferent a a b, moins combien preferent b a a. Un vainqueur de Condorcet bat tous les autres par marge positive.

-- Margin function: pairwise difference
-- In Peters: (Finset.univ.filter (fun v => Prefers P v a b)).card
--   minus the reverse. Here: abstract signature.
abbrev MarginFun (A : Type) := A → A → Int

-- Condorcet winner: beats every other by positive margin
def IsCondorcetWinner {A : Type} (m : MarginFun A) (c : A) : Prop :=
  ∀ d, d ≠ c → m c d > 0

-- Condorcet consistency: the rule selects the Condorcet winner uniquely
def CondorcetConsistent {V A : Type} (f : VotingRule V A)
    (margin : VotingProfile V A → MarginFun A) : Prop :=
  ∀ P c, IsCondorcetWinner (margin P) c →
    f P c ∧ ∀ d, d ≠ c → ¬ f P d

#check @MarginFun
#check @IsCondorcetWinner
#check @CondorcetConsistent

-- Margin function: pairwise difference

-- In Peters: (Finset.univ.filter (fun v => Prefers P v a b)).card

--   minus the reverse. Here: abstract signature.

abbrev MarginFun (A : Type) := A → A → Int

-- Condorcet winner: beats every other by positive margin

def IsCondorcetWinner {A : Type} (m : MarginFun A) (c : A) : Prop :=

  ∀ d, d ≠ c → m c d > 0

-- Condorcet consistency: the rule selects the Condorcet winner uniquely

def CondorcetConsistent {V A : Type} (f : VotingRule V A)

    (margin : VotingProfile V A → MarginFun A) : Prop :=

  ∀ P c, IsCondorcetWinner (margin P) c →

    f P c ∧ ∀ d, d ≠ c → ¬ f P d

#check @MarginFun MarginFun : Type → Type

#check @IsCondorcetWinner @IsCondorcetWinner : {A : Type} → MarginFun A → A → Prop

#check @CondorcetConsistent @CondorcetConsistent : {V A : Type} → VotingRule V A → (VotingProfile V A → MarginFun A) → Prop

--% env 18

Raw input

{"cmd": "-- Margin function: pairwise difference\n-- In Peters: (Finset.univ.filter (fun v => Prefers P v a b)).card\n--   minus the reverse. Here: abstract signature.\nabbrev MarginFun (A : Type) := A \u2192 A \u2192 Int\n\n-- Condorcet winner: beats every other by positive margin\ndef IsCondorcetWinner {A : Type} (m : MarginFun A) (c : A) : Prop :=\n  \u2200 d, d \u2260 c \u2192 m c d > 0\n\n-- Condorcet consistency: the rule selects the Condorcet winner uniquely\ndef CondorcetConsistent {V A : Type} (f : VotingRule V A)\n    (margin : VotingProfile V A \u2192 MarginFun A) : Prop :=\n  \u2200 P c, IsCondorcetWinner (margin P) c \u2192\n    f P c \u2227 \u2200 d, d \u2260 c \u2192 \u00ac f P d\n\n#check @MarginFun\n#check @IsCondorcetWinner\n#check @CondorcetConsistent", "env": 17}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 16, "column": 0},
   "endPos": {"line": 16, "column": 6},
   "data": "MarginFun : Type → Type"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 17, "column": 0},
   "endPos": {"line": 17, "column": 6},
   "data": "@IsCondorcetWinner : {A : Type} → MarginFun A → A → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 18, "column": 0},
   "endPos": {"line": 18, "column": 6},
   "data":
   "@CondorcetConsistent : {V A : Type} → VotingRule V A → (VotingProfile V A → MarginFun A) → Prop"}],
 "env": 18}

Interpretation

La marge est l’outil central du framework de Peters. Elle permet de définir :

Condorcet winner : candidat avec marge positive sur tous les autres
Condorcet consistency : la règle Selectionne toujours le Condorcet winner

Le concept de marge est intuitif : si 7 electeurs preferent A a B et 3 preferent B a A, la marge de A sur B est +4. Un Condorcet winner a une marge positive contre chaque adversaire.

Note technique : dans la formalisation complete, la marge utilise Finset.card (nombre d’electeurs preferant a a b). Notre version simplifiee prend la marge comme fonction abstraite.

3. Axiomes de Vote

DominikPeters définit et utilise 15+ axiomes pour classifier les règles de vote. Chaque axiome exprime une propriete desirable : equite, robustesse, non-manipulabilite.

-- Pareto Efficiency: if all prefer c to d, d cannot win
def SatisfiesPareto {V A : Type} (f : VotingRule V A) : Prop :=
  ∀ P c d, (∀ v, (P v).lt c d) → ¬ f P d

-- Unanimity: if all rank c first, c must win
def SatisfiesUnanimity {V A : Type} (f : VotingRule V A) : Prop :=
  ∀ P c, (∀ v d, d ≠ c → (P v).lt c d) → f P c

-- Strategyproof (resolute): no voter can improve outcome by misreporting
-- The voter's true preferences are P v, but they report 'fake' instead
def IsStrategyproof {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] (f : VotingRule V A) : Prop :=
  ∀ (P : VotingProfile V A) (v : V) (fake : StrictPref A),
    let P' := fun w : V => if w = v then fake else P w
    ¬ ∃ cr cf : A,
      f P cr ∧ f P' cf ∧ (P v).lt cf cr

#check @SatisfiesPareto
#check @SatisfiesUnanimity
#check @IsStrategyproof

-- Pareto Efficiency: if all prefer c to d, d cannot win

def SatisfiesPareto {V A : Type} (f : VotingRule V A) : Prop :=

  ∀ P c d, (∀ v, (P v).lt c d) → ¬ f P d

-- Unanimity: if all rank c first, c must win

def SatisfiesUnanimity {V A : Type} (f : VotingRule V A) : Prop :=

  ∀ P c, (∀ v d, d ≠ c → (P v).lt c d) → f P c

-- Strategyproof (resolute): no voter can improve outcome by misreporting

-- The voter's true preferences are P v, but they report 'fake' instead

def IsStrategyproof {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] (f : VotingRule V A) : Prop :=

  ∀ (P : VotingProfile V A) (v : V) (fake : StrictPref A),

    let P' := fun w : V => if w = v then fake else P w

    ¬ ∃ cr cf : A,

      f P cr ∧ f P' cf ∧ (P v).lt cf cr

#check @SatisfiesPareto @SatisfiesPareto : {V A : Type} → VotingRule V A → Prop

#check @SatisfiesUnanimity @SatisfiesUnanimity : {V A : Type} → VotingRule V A → Prop

#check @IsStrategyproof @IsStrategyproof : {V A : Type} → [DecidableEq V] → [DecidableEq A] → VotingRule V A → Prop

--% env 19

Raw input

{"cmd": "-- Pareto Efficiency: if all prefer c to d, d cannot win\ndef SatisfiesPareto {V A : Type} (f : VotingRule V A) : Prop :=\n  \u2200 P c d, (\u2200 v, (P v).lt c d) \u2192 \u00ac f P d\n\n-- Unanimity: if all rank c first, c must win\ndef SatisfiesUnanimity {V A : Type} (f : VotingRule V A) : Prop :=\n  \u2200 P c, (\u2200 v d, d \u2260 c \u2192 (P v).lt c d) \u2192 f P c\n\n-- Strategyproof (resolute): no voter can improve outcome by misreporting\n-- The voter's true preferences are P v, but they report 'fake' instead\ndef IsStrategyproof {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] (f : VotingRule V A) : Prop :=\n  \u2200 (P : VotingProfile V A) (v : V) (fake : StrictPref A),\n    let P' := fun w : V => if w = v then fake else P w\n    \u00ac \u2203 cr cf : A,\n      f P cr \u2227 f P' cf \u2227 (P v).lt cf cr\n\n#check @SatisfiesPareto\n#check @SatisfiesUnanimity\n#check @IsStrategyproof", "env": 18}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 17, "column": 0},
   "endPos": {"line": 17, "column": 6},
   "data": "@SatisfiesPareto : {V A : Type} → VotingRule V A → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 18, "column": 0},
   "endPos": {"line": 18, "column": 6},
   "data": "@SatisfiesUnanimity : {V A : Type} → VotingRule V A → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 19, "column": 0},
   "endPos": {"line": 19, "column": 6},
   "data":
   "@IsStrategyproof : {V A : Type} → [DecidableEq V] → [DecidableEq A] → VotingRule V A → Prop"}],
 "env": 19}

Interpretation des axiomes

Axiome	Intuition	Exigence
Pareto	Unanimite : si tous preferent c a d, d est exclu	Minimal pour toute règle raisonnable
Unanimite	Si tous classent c premier, c doit gagner	Plus fort que Pareto
Non-manipulabilite	Aucun electeur ne peut ameliorer le résultat en mentant	Equilibre stratégique

Ces trois axiomes semblent naturels et faibles. Pourtant, le theoreme de Gibbard-Satterthwaite montre qu’ils sont incompatibles avec la non-dictature pour >= 3 candidats.

4. Theoreme de Gibbard-Satterthwaite

Renvoi explicite : la présentation canonique détaillée du théorème — énoncé, témoins de manipulation, exercices sur profils concrets — vit dans le notebook dédié 05-Gibbard-Satterthwaite.ipynb. Rappel du résultat : toute règle resolutive, unanime et non-manipulable (pour >= 3 candidats) doit être une dictature — autrement dit, toute élection non dictatoriale est manipulable.

Ce tour n’en conserve pas d’esquisse locale : la preuve formelle complète (induction forte sur le nombre d’électeurs) vit dans le lake dédié social_choice_lean_peters, qui importe SocialChoice.Impossibilities.GibbardSatterthwaite.Main.

5. Impossibilites de Condorcet

DominikPeters formalise 4 theoremes d’impossibilite lies a Condorcet. Chacun montre que la coherence de Condorcet entre en conflit avec un autre axiome naturel :

Condorcet + Participation => Impossible (Moulin 1988)
Condorcet + Renforcement => Impossible (Young 1975)
Condorcet + Non-manipulabilite => Impossible
Anonymat + Neutralite + Resolutude => Impossible (nombre pair)

-- Condorcet impossibilities: Condorcet consistency + natural axiom => contradiction
-- All formalized in SocialChoice.Impossibilities.* (Peters project)

-- Key result: if a rule is Condorcet consistent, resolute and strategyproof,
-- it cannot exist (for >= 3 alternatives)
theorem condorcet_strategyproof_impossible_sketch
    {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A]
    (f : VotingRule V A)
    (margin : VotingProfile V A → MarginFun A)
    (hf_res : IsResolute f)
    (hf_cc : CondorcetConsistent f margin)
    (hf_sp : IsStrategyproof f)
    (h_three : ∃ a b c : A, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) :
    False := by
  sorry

-- No-show paradox: adding voters who rank c first can make c lose
-- Formalized in SocialChoice.Impossibilities.CondorcetParticipation
-- (Moulin 1988)

-- Reinforcement: if disjoint electorates agree, the union should agree
-- Incompatible with Condorcet consistency
-- Formalized in SocialChoice.Impossibilities.CondorcetReinforcement
-- (Young 1975)

#check @condorcet_strategyproof_impossible_sketch

-- Condorcet impossibilities: Condorcet consistency + natural axiom => contradiction

-- All formalized in SocialChoice.Impossibilities.* (Peters project)

-- Key result: if a rule is Condorcet consistent, resolute and strategyproof,

-- it cannot exist (for >= 3 alternatives)

theorem condorcet_strategyproof_impossible_sketch🟨 declaration uses `sorry`

    {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A]

    (f : VotingRule V A)

    (margin : VotingProfile V A → MarginFun A)

    (hf_res : IsResolute f)

    (hf_cc : CondorcetConsistent f margin)

    (hf_sp : IsStrategyproof f)

    (h_three : ∃ a b c : A, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) :

    False := by

  sorry

-- No-show paradox: adding voters who rank c first can make c lose

-- Formalized in SocialChoice.Impossibilities.CondorcetParticipation

-- (Moulin 1988)

-- Reinforcement: if disjoint electorates agree, the union should agree

-- Incompatible with Condorcet consistency

-- Formalized in SocialChoice.Impossibilities.CondorcetReinforcement

-- (Young 1975)

#check @condorcet_strategyproof_impossible_sketch @condorcet_strategyproof_impossible_sketch : ∀ {V A : Type} [inst : DecidableEq V] [inst_1 : DecidableEq A]
  (f : VotingRule V A) (margin : VotingProfile V A → MarginFun A),
  IsResolute f → CondorcetConsistent f margin → IsStrategyproof f → (∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) → False

--% env 20

--% prove 4

Raw input

{"cmd": "-- Condorcet impossibilities: Condorcet consistency + natural axiom => contradiction\n-- All formalized in SocialChoice.Impossibilities.* (Peters project)\n\n-- Key result: if a rule is Condorcet consistent, resolute and strategyproof,\n-- it cannot exist (for >= 3 alternatives)\ntheorem condorcet_strategyproof_impossible_sketch\n    {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A]\n    (f : VotingRule V A)\n    (margin : VotingProfile V A \u2192 MarginFun A)\n    (hf_res : IsResolute f)\n    (hf_cc : CondorcetConsistent f margin)\n    (hf_sp : IsStrategyproof f)\n    (h_three : \u2203 a b c : A, a \u2260 b \u2227 b \u2260 c \u2227 a \u2260 c) :\n    False := by\n  sorry\n\n-- No-show paradox: adding voters who rank c first can make c lose\n-- Formalized in SocialChoice.Impossibilities.CondorcetParticipation\n-- (Moulin 1988)\n\n-- Reinforcement: if disjoint electorates agree, the union should agree\n-- Incompatible with Condorcet consistency\n-- Formalized in SocialChoice.Impossibilities.CondorcetReinforcement\n-- (Young 1975)\n\n#check @condorcet_strategyproof_impossible_sketch", "env": 19}

Raw output

{"sorries":
 [{"proofState": 4,
   "pos": {"line": 15, "column": 2},
   "goal":
   "V A : Type\ninst✝¹ : DecidableEq V\ninst✝ : DecidableEq A\nf : VotingRule V A\nmargin : VotingProfile V A → MarginFun A\nhf_res : IsResolute f\nhf_cc : CondorcetConsistent f margin\nhf_sp : IsStrategyproof f\nh_three : ∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c\n⊢ False",
   "endPos": {"line": 15, "column": 7}}],
 "messages":
 [{"severity": "warning",
   "pos": {"line": 6, "column": 8},
   "endPos": {"line": 6, "column": 49},
   "data": "declaration uses `sorry`"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 26, "column": 0},
   "endPos": {"line": 26, "column": 6},
   "data":
   "@condorcet_strategyproof_impossible_sketch : ∀ {V A : Type} [inst : DecidableEq V] [inst_1 : DecidableEq A]\n  (f : VotingRule V A) (margin : VotingProfile V A → MarginFun A),\n  IsResolute f → CondorcetConsistent f margin → IsStrategyproof f → (∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) → False"}],
 "env": 20}

Interpretation des impossibilites de Condorcet

Impossibilite	Axiomes	Résultat	Reference
Moulin 1988	Condorcet + Participation	No-show paradox	`CondorcetParticipation`
Young 1975	Condorcet + Renforcement	Incoherence inter-groupes	`CondorcetReinforcement`
General	Condorcet + Strategyproof	Manipulable	`CondorcetStrategyproofness`
ANR	Anonymat + Neutralite + Resolutude	Impossible (pair)	`AnonymousNeutralResolute`

Le no-show paradox (Moulin 1988) est particulierement frappant : ajouter des electeurs qui classent votre candidat en tete peut le faire perdre ! Cela signifie que ne pas voter peut etre une meilleure stratégie que de voter.

Ces résultats montrent que la coherence de Condorcet est une condition forte qui exclut de nombreuses proprietes desiderables.

6. Split Cycle (Holliday & Pacuit 2023)

La règle Split Cycle est un cas particulier dans la théorie du choix social : c’est la règle la plus fine qui soit coherente avec Condorcet et acyclique. Elle resout le problème des cycles de Condorcet en “affaiblissant” les marges dans les cycles.

-- Split Cycle (Holliday & Pacuit 2023)
-- The finest Condorcet-consistent, acyclic voting rule

-- Simplified: x defeats y if margin(x,y) > 0
-- and no blocking cycle exists (simplified to 3-cycles here)
-- In Peters: arbitrary-length cycles via List A

variable {A : Type}

-- Blocking cycle (simplified to 3-cycles)
-- A 3-cycle z -> x -> y -> z blocks x -> y if margins are >= margin(x,y)
def HasNoBlockingCycle (m : MarginFun A) (x y : A) : Prop :=
  ¬ ∃ z : A, m z x ≥ m x y ∧ m y z ≥ m x y ∧ z ≠ x ∧ z ≠ y

-- Split Cycle defeat: positive margin + no blocking cycle
def SCSimpleDefeat (m : MarginFun A) (x y : A) : Prop :=
  m x y > 0 ∧ HasNoBlockingCycle m x y

-- Split Cycle winners: undefeated alternatives
def SplitCycleWinners (m : MarginFun A) : A → Prop :=
  fun x => ∀ y, ¬ SCSimpleDefeat m y x

#check @HasNoBlockingCycle
#check @SCSimpleDefeat
#check @SplitCycleWinners

-- Split Cycle (Holliday & Pacuit 2023)

-- The finest Condorcet-consistent, acyclic voting rule

-- Simplified: x defeats y if margin(x,y) > 0

-- and no blocking cycle exists (simplified to 3-cycles here)

-- In Peters: arbitrary-length cycles via List A

variable {A : Type}

-- Blocking cycle (simplified to 3-cycles)

-- A 3-cycle z -> x -> y -> z blocks x -> y if margins are >= margin(x,y)

def HasNoBlockingCycle (m : MarginFun A) (x y : A) : Prop :=

  ¬ ∃ z : A, m z x ≥ m x y ∧ m y z ≥ m x y ∧ z ≠ x ∧ z ≠ y

-- Split Cycle defeat: positive margin + no blocking cycle

def SCSimpleDefeat (m : MarginFun A) (x y : A) : Prop :=

  m x y > 0 ∧ HasNoBlockingCycle m x y

-- Split Cycle winners: undefeated alternatives

def SplitCycleWinners (m : MarginFun A) : A → Prop :=

  fun x => ∀ y, ¬ SCSimpleDefeat m y x

#check @HasNoBlockingCycle @HasNoBlockingCycle : {A : Type} → MarginFun A → A → A → Prop

#check @SCSimpleDefeat @SCSimpleDefeat : {A : Type} → MarginFun A → A → A → Prop

#check @SplitCycleWinners @SplitCycleWinners : {A : Type} → MarginFun A → A → Prop

--% env 21

Raw input

{"cmd": "-- Split Cycle (Holliday & Pacuit 2023)\n-- The finest Condorcet-consistent, acyclic voting rule\n\n-- Simplified: x defeats y if margin(x,y) > 0\n-- and no blocking cycle exists (simplified to 3-cycles here)\n-- In Peters: arbitrary-length cycles via List A\n\nvariable {A : Type}\n\n-- Blocking cycle (simplified to 3-cycles)\n-- A 3-cycle z -> x -> y -> z blocks x -> y if margins are >= margin(x,y)\ndef HasNoBlockingCycle (m : MarginFun A) (x y : A) : Prop :=\n  \u00ac \u2203 z : A, m z x \u2265 m x y \u2227 m y z \u2265 m x y \u2227 z \u2260 x \u2227 z \u2260 y\n\n-- Split Cycle defeat: positive margin + no blocking cycle\ndef SCSimpleDefeat (m : MarginFun A) (x y : A) : Prop :=\n  m x y > 0 \u2227 HasNoBlockingCycle m x y\n\n-- Split Cycle winners: undefeated alternatives\ndef SplitCycleWinners (m : MarginFun A) : A \u2192 Prop :=\n  fun x => \u2200 y, \u00ac SCSimpleDefeat m y x\n\n#check @HasNoBlockingCycle\n#check @SCSimpleDefeat\n#check @SplitCycleWinners", "env": 20}

Raw output

{"messages":
 [{"severity": "info",
   "pos": {"line": 23, "column": 0},
   "endPos": {"line": 23, "column": 6},
   "data": "@HasNoBlockingCycle : {A : Type} → MarginFun A → A → A → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 24, "column": 0},
   "endPos": {"line": 24, "column": 6},
   "data": "@SCSimpleDefeat : {A : Type} → MarginFun A → A → A → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 25, "column": 0},
   "endPos": {"line": 25, "column": 6},
   "data": "@SplitCycleWinners : {A : Type} → MarginFun A → A → Prop"}],
 "env": 21}

Interpretation de Split Cycle

L’idee cle de Split Cycle est d’affaiblir les relations de defaite : on ne retient la defaite de x sur y que si aucune marge dans un cycle contenant x et y n’est >= la marge de x sur y.

Intuition : si la marge de x sur y est 3, mais qu’il existe un cycle x -> y -> z -> x avec des marges >= 3, alors la defaite de x sur y est “bloquee” par le cycle. On ne peut pas affirmer que x bat y sans affirmer simultanement que y bat z et z bat x.

Axiomes verifiees pour Split Cycle (Peters)

Axiome	Statut	Fichier
Condorcet Consistency	Prouve	`SplitCycle/Condorcet.lean`
Monotonicite	Prouve	`SplitCycle/Monotonicity.lean`
Pareto	Prouve	`SplitCycle/Pareto.lean`
Neutrite	Prouve	`SplitCycle/Neutrality.lean`
Smith	Prouve	`SplitCycle/Smith.lean`
Clones	Prouve	`SplitCycle/Clones.lean`
Indépendance	Prouve	`SplitCycle/Independence.lean`
Renversement	Prouve	`SplitCycle/Reversal.lean`

Split Cycle est unique : c’est la règle la plus fine satisfaisant Condorcet + acyclicite + une autre propriete naturelle (voir Holliday & Pacuit 2023 pour les details).

7. Règles de Vote Formalisees

DominikPeters verifie systematiquement les axiomes pour 15+ règles de vote, grace au meta-framework @[scAxiom] / @[scRule].

Tableau comparatif des règles

Règle	Axiomes verifiees
Split Cycle	Condorcet, Monotonicity, Pareto, Neutrality, Smith, Clones, Reversal, Independence
Schulze	Condorcet, Monotonicity, Neutrality, Smith, Clones, Reversal, Transitivity
Black	Condorcet, Monotonicity, Neutrality, Pareto, Reversal, Smith
Copeland	Condorcet, Monotonicity, Neutrality, Pareto, Reversal, Smith
Minimax	Condorcet, Monotonicity, Neutrality, Pareto, Reversal, Majority
Borda	Monotonicity, Neutrality, Pareto, Participation, Reinforcement
Plurality	Monotonicity, Majority
IRV	CondorcetLoser, Majority, MutualMajority, Clones
Baldwin	Condorcet, CondorcetLoser, Smith
Coombs	Condorcet, CondorcetLoser, Majority
Top Cycle	Condorcet, Monotonicity, Smith, MutualMajority
Uncovered Set	Condorcet, Monotonicity, Neutrality, Smith, Clones

12 règles, 14 axiomes distincts. Chaque verification est une preuve formelle en Lean 4.

8. Theoreme de Duggan-Schwartz

Le theoreme de Duggan-Schwartz etend Gibbard-Satterthwaite aux règles multi-gagnants (qui peuvent sélectionner plusieurs candidats). Il utilise deux notions de non-manipulabilite : optimiste et pessimiste.

-- Duggan-Schwartz: extension to multi-winner rules

-- Optimist strategyproof: can't improve best possible outcome
def IsOptimistSP {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] (f : VotingRule V A) : Prop :=
  ∀ (P : VotingProfile V A) (v : V) (fake : StrictPref A),
    let P' := fun w : V => if w = v then fake else P w
    ¬ ∃ y, f P' y ∧ ∀ x, f P x → (P v).lt y x

-- Pessimist strategyproof: can't improve worst possible outcome
def IsPessimistSP {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] (f : VotingRule V A) : Prop :=
  ∀ (P : VotingProfile V A) (v : V) (fake : StrictPref A),
    let P' := fun w : V => if w = v then fake else P w
    ¬ ∃ x, f P x ∧ ∀ y, f P' y → (P v).lt y x

/-- **Duggan-Schwartz (2000)**: A non-trivial, surjective voting rule
    satisfying both optimist and pessimist strategyproofness
    has a "nominating set" (coalition of <= 3 voters controlling outcome).
    Full proof: SocialChoice.Impossibilities.DugganSchwartz -/
theorem duggan_schwartz_sketch
    {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] [Inhabited V] [Inhabited A]
    (f : VotingRule V A)
    (hf_opt : IsOptimistSP f)
    (hf_pess : IsPessimistSP f)
    (h_three : ∃ a b c : A, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) :
    ∃ (G : V → Prop), True := by sorry

#check @IsOptimistSP
#check @IsPessimistSP
#check @duggan_schwartz_sketch

-- Duggan-Schwartz: extension to multi-winner rules

-- Optimist strategyproof: can't improve best possible outcome

def IsOptimistSP {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] (f : VotingRule V A) : Prop :=

  ∀ (P : VotingProfile V A) (v : V) (fake : StrictPref A),

    let P' := fun w : V => if w = v then fake else P w

    ¬ ∃ y, f P' y ∧ ∀ x, f P x → (P v).lt y x

-- Pessimist strategyproof: can't improve worst possible outcome

def IsPessimistSP {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] (f : VotingRule V A) : Prop :=

  ∀ (P : VotingProfile V A) (v : V) (fake : StrictPref A),

    let P' := fun w : V => if w = v then fake else P w

    ¬ ∃ x, f P x ∧ ∀ y, f P' y → (P v).lt y x

/-- **Duggan-Schwartz (2000)**: A non-trivial, surjective voting rule

    satisfying both optimist and pessimist strategyproofness

    has a "nominating set" (coalition of <= 3 voters controlling outcome).

    Full proof: SocialChoice.Impossibilities.DugganSchwartz -/

theorem duggan_schwartz_sketch🟨 declaration uses `sorry`

    {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] [Inhabited V] [Inhabited A]

    (f : VotingRule V A)

    (hf_opt : IsOptimistSP f)

    (hf_pess : IsPessimistSP f)

    (h_three : ∃ a b c : A, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) :

    ∃ (G : V → Prop), True := by sorry

#check @IsOptimistSP @IsOptimistSP : {V A : Type} → [DecidableEq V] → [DecidableEq A] → VotingRule V A → Prop

#check @IsPessimistSP @IsPessimistSP : {V A : Type} → [DecidableEq V] → [DecidableEq A] → VotingRule V A → Prop

#check @duggan_schwartz_sketch @duggan_schwartz_sketch : ∀ {V A : Type} [inst : DecidableEq V] [inst_1 : DecidableEq A] [Inhabited V] [Inhabited A]
  (f : VotingRule V A), IsOptimistSP f → IsPessimistSP f → (∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) → ∃ G, True

--% env 22

--% prove 5

Raw input

{"cmd": "-- Duggan-Schwartz: extension to multi-winner rules\n\n-- Optimist strategyproof: can't improve best possible outcome\ndef IsOptimistSP {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] (f : VotingRule V A) : Prop :=\n  \u2200 (P : VotingProfile V A) (v : V) (fake : StrictPref A),\n    let P' := fun w : V => if w = v then fake else P w\n    \u00ac \u2203 y, f P' y \u2227 \u2200 x, f P x \u2192 (P v).lt y x\n\n-- Pessimist strategyproof: can't improve worst possible outcome\ndef IsPessimistSP {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] (f : VotingRule V A) : Prop :=\n  \u2200 (P : VotingProfile V A) (v : V) (fake : StrictPref A),\n    let P' := fun w : V => if w = v then fake else P w\n    \u00ac \u2203 x, f P x \u2227 \u2200 y, f P' y \u2192 (P v).lt y x\n\n/-- **Duggan-Schwartz (2000)**: A non-trivial, surjective voting rule\n    satisfying both optimist and pessimist strategyproofness\n    has a \"nominating set\" (coalition of <= 3 voters controlling outcome).\n    Full proof: SocialChoice.Impossibilities.DugganSchwartz -/\ntheorem duggan_schwartz_sketch\n    {V A : Type} [DecidableEq V] [DecidableEq A] [Inhabited V] [Inhabited A]\n    (f : VotingRule V A)\n    (hf_opt : IsOptimistSP f)\n    (hf_pess : IsPessimistSP f)\n    (h_three : \u2203 a b c : A, a \u2260 b \u2227 b \u2260 c \u2227 a \u2260 c) :\n    \u2203 (G : V \u2192 Prop), True := by sorry\n\n#check @IsOptimistSP\n#check @IsPessimistSP\n#check @duggan_schwartz_sketch", "env": 21}

Raw output

{"sorries":
 [{"proofState": 5,
   "pos": {"line": 25, "column": 33},
   "goal":
   "V A : Type\ninst✝³ : DecidableEq V\ninst✝² : DecidableEq A\ninst✝¹ : Inhabited V\ninst✝ : Inhabited A\nf : VotingRule V A\nhf_opt : IsOptimistSP V A inst✝³ inst✝² f\nhf_pess : IsPessimistSP V A inst✝³ inst✝² f\nh_three : ∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c\n⊢ ∃ G, True",
   "endPos": {"line": 25, "column": 38}}],
 "messages":
 [{"severity": "warning",
   "pos": {"line": 19, "column": 8},
   "endPos": {"line": 19, "column": 30},
   "data": "declaration uses `sorry`"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 27, "column": 0},
   "endPos": {"line": 27, "column": 6},
   "data":
   "@IsOptimistSP : {V A : Type} → [DecidableEq V] → [DecidableEq A] → VotingRule V A → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 28, "column": 0},
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   "data":
   "@IsPessimistSP : {V A : Type} → [DecidableEq V] → [DecidableEq A] → VotingRule V A → Prop"},
  {"severity": "info",
   "pos": {"line": 29, "column": 0},
   "endPos": {"line": 29, "column": 6},
   "data":
   "@duggan_schwartz_sketch : ∀ {V A : Type} [inst : DecidableEq V] [inst_1 : DecidableEq A] [Inhabited V] [Inhabited A]\n  (f : VotingRule V A), IsOptimistSP f → IsPessimistSP f → (∃ a b c, a ≠ b ∧ b ≠ c ∧ a ≠ c) → ∃ G, True"}],
 "env": 22}

Interpretation de Duggan-Schwartz

Le theoreme de Duggan-Schwartz montre que même les règles multi-gagnants sont vulnerables :

Manipulation optimiste : un electeur peut ameliorer le meilleur candidat elu en mentant
Manipulation pessimiste : un electeur peut ameliorer le pire candidat elu en mentant
Si une règle est non-triviale et surjective, elle doit avoir un “nominating set” (petite coalition controlant le résultat)

Ce theoreme est plus general que Gibbard-Satterthwaite : il s’applique même aux règles qui peuvent eligir plusieurs candidats.

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